四川省綿陽市東辰學校2023-2024學年高一上學期入學測試數(shù)學試題

數(shù)學試卷（時間：120分鐘，總分：150分）一、選擇題（每小題3分，共30分）1.2007年3月5日，溫家寶總理在政府工作報告中講到，全國財政安排農(nóng)村義務(wù)教育經(jīng)費1840億元，全部免除了西部地區(qū)和部分中部地區(qū)農(nóng)村義務(wù)教育階段5200萬名學生的學雜費，為3730萬名貧困家庭學生免費提供教科書，對780萬名寄宿學生補助了生活費．在這組數(shù)據(jù)中，全部免除學雜費的學生人數(shù)用科學記數(shù)法表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的定義即可求解．【詳解】52000000，選故：B．2.一名考生步行前往考場，10分鐘走了總路程的，估計步行不能準時達，于是他改乘出租車趕往考場，他的行程與時間關(guān)系如圖所示（假定總路程為1），則他到達考場所花的時間比一直步行提前了（）A.20分鐘 B.22分鐘 C.24分鐘 D.26分鐘【答案】C【解析】【分析】先求出他改乘出租車趕往考場的速度和到考場的時間，再求出步行到達考場的時間，進而即可求出答案．【詳解】他改乘出租車趕往考場的速度是，所以到考場所用的時間是(分鐘)，考生10分鐘走了總路程的，所以考生的步行速度為，所以考生步行到達考場的時間是(分鐘)，(分鐘)，所以他到達考場所花的時間比一直步行提前了24分鐘，故選：C．3.由小到大排列一組數(shù)據(jù)，，，，，其中每個數(shù)據(jù)都小于，則對于樣本1，，，，，的中位數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)計算即可求解.【詳解】由于小到大排列一組數(shù)據(jù)，，，，，其中每個數(shù)據(jù)都小于，所以，則，將1，，，，，從小到大排列為，，，1，，，故中位數(shù)為.故選：C4.已知反比例函數(shù)的圖象上有兩點，，且，則的值是（）A.正數(shù) B.負數(shù) C.非正數(shù) D.不能確定【答案】D【解析】【分析】當時，該函數(shù)圖象位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，分類討論的符號即可求解．【詳解】因為反比例函數(shù)，所以在各自象限內(nèi)隨的增大而增大，因為，所以有三種情況，，，，當時，，，當時，，，當時，，，所以時，的值不確定，故選：D．5.一個正方體的表面涂滿了顏色，按如圖所示將它切成27個大小相等的小立方塊，設(shè)其中僅有個面涂有顏色的小立方塊的個數(shù)為，則，，之間的關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖示：每個面最中間的正方形所在的小立方體只有一個面被涂色，每條棱的中間段所在的小立方體有兩個面被涂色，每個頂點所在的小立方體有三個面被涂色，即可得出，進而求解．【詳解】根據(jù)圖示：每個面最中間的正方形所在的小立方體只有一個面被涂色，即；每條棱的中間段所在的小立方體有兩個面被涂色，即；每個頂點所在的小立方體有三個面被涂色，即，所以，故選：D．6.如圖，在函數(shù)的圖象上取點，作軸于，作軸于點，為原點，且矩形的面積為2，則符合條件的點共有（）個.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】設(shè)點的坐標為，由圖象得，代入，根據(jù)一元二次方程的判別式，即可判斷【詳解】設(shè)點的坐標為，由圖象得，當時，代入得：，解得：.當時，代入得：，因為，所以方程有兩個不等的根.所以符合條件的點有4個.故選：D7.如圖，有一矩形紙片，，，將紙片向右折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為，再將以DE為折痕向右折疊，與交于點，則的面積為（）A.10 B.8 C.6 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的圖形，利用折疊的性質(zhì)求出即可求出的面積.【詳解】依題意，第一次折疊后，是等腰直角三角形，四邊形是矩形，有，，；第二次折疊后，是等腰直角三角形，，因此，所以的面積.故選：B8.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A.①②③ B.②③ C.①④ D.③④【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象即可判斷①②，根據(jù)二次函數(shù)圖象得出的符號，結(jié)合二次函數(shù)對稱軸公式即可判斷③④．【詳解】由題意得，當，故①錯誤；當，故②正確；又，，所以，即，故③正確；由圖象可知，，所以，故④錯誤，故選：B．9.世界杯足球賽小組賽，每個小組4個隊進行單循環(huán)比賽，每場比賽勝隊得3分，敗隊得0分，平局時兩隊各得1分．小組賽完后，總積分最高的2個隊出線進入下輪比賽．如果總積分相同，還有按凈勝球數(shù)排序．一個隊要保證出線，這個隊至少要積（）分．A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】計算共有6場比賽，考慮勝，勝，勝，且勝的情況排除6分，再判斷7分滿足條件，得到答案.【詳解】一共有場比賽，考慮情況：勝，勝，勝，且勝，則均6分，故6分不能保證出線.若得7分，則保證對其他3隊不敗，最多有一隊也是7分，至少排名第二，保證出線.故選：C.10.已知一個三角形的三邊長分別為，另一個三角形的三邊長分別為，其中.若兩個三角形的最小內(nèi)角相等，則的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將的三角形分成兩個等腰三角形，邊長為的三角形與邊長為的三角形相似，可得，計算可求得.【詳解】三角形內(nèi)，小邊對小角，所以邊長為的三角形最小的內(nèi)角為頂角，邊長為的三角形最小的內(nèi)角為底角，由題意，這兩個角相等．如圖，將的三角形分成兩個等腰三角形，即，故題干中對應(yīng)為的邊長，即，所以，顯然，即所以，令，所以，所以，解得或（舍去），所以故選：A.二、填空題（每小題4分，共32分）11.有五張不通明的卡片為，，，，，除正面的數(shù)不同外，其余都相同，將它們背面朝上洗勻后，從中隨機抽出一張卡片，抽到寫有無理數(shù)卡片的概率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義及概率公式即可求解．【詳解】由題可知，無理數(shù)有和，共2張，故從中隨機抽出一張卡片，抽到寫有無理數(shù)卡片的概率為，故答案為：12.函數(shù)的圖象如圖所示，在同一直角坐標系內(nèi)，如果將直線沿軸向上平移2個單位后，那么所得直線與函數(shù)的圖象的交點共有______個.【答案】2【解析】【分析】作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】在同一坐標系中，作出函數(shù)和的圖象，如下：將沿軸向上平移2個單位后的圖象如圖，根據(jù)圖象可知：所得直線與函數(shù)的圖象的交點共有2個，分別為和2,1.故答案為：213.有八個球編號是①至⑧，其中有六個球一樣重，另外兩個球都輕1克，為了找出這兩個輕球，用天平稱了三次，結(jié)果如下：第一次①②比③④重，第二次⑤⑥比⑦⑧輕，第三次①③⑤和②④⑧一樣重.那么，兩個輕球的編號是______.【答案】④⑤【解析】【分析】根據(jù)前兩次稱量可知輕球分別在③，④中或⑤，⑥中，結(jié)合第三次稱量即可求解.【詳解】根據(jù)第一次①②比③④重，可知輕球應(yīng)該在③，④中，根據(jù)第二次⑤⑥比⑦⑧輕，可知輕球應(yīng)該在⑤，⑥中，根據(jù)第三次①③⑤和②④⑧一樣重，可知①，③，⑤與②，④，⑧要么均為重量相同的6個球中之一，要么①，③，⑤與②，④，⑧中各有1個輕球，若①，③，⑤與②，④，⑧要么均為重量相同的6個球中之一，這與第一次稱相矛盾，故①，③，⑤與②，④，⑧中各有1個輕球，結(jié)合輕球分別在③，④中或⑤，⑥中，故輕球應(yīng)該是④⑤，故答案為：④⑤14.如圖，在矩形中，，，動點從點出發(fā)，以秒的速度向終點移動，動點從點出發(fā)以秒的速度向終點移動，則移動到第______秒時，可使的面積最大.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意，列出函數(shù)關(guān)系，即可由二次函數(shù)性質(zhì)求解最值.【詳解】設(shè)移動秒時，面積最大，此時，，所以，故當時，面積最大，故答案為：415.如圖所示，點為正方形的邊上的一點，為邊的延長線上一點，且．若正方形的邊長為2，且，的面積為，請寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式為____________．【答案】【解析】【分析】由正方形性質(zhì)及三角形面積公式即可求解．【詳解】因為，所以，因為四邊形是正方形，且邊長為2，所以，，所以，故答案為：．16.若關(guān)于的分式方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解，則實數(shù)________．【答案】1【解析】【分析】按照一般步驟解方程，用含a的代數(shù)式表示x，由方程無解，得最簡公分母為0，代入即可求解a．【詳解】分式方程去分母得，，解得，因為方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解，所以，即，所以，解得，故答案為：1．17.平面上兩點的距離為（且為定值），又點到某直線的距離分別為，則這樣的直線共有______條．【答案】3【解析】【分析】分別以為圓心，為半徑作圓，則兩圓外切，由題意得直線與兩圓相切，求解公切線的條數(shù)即可.【詳解】如圖，分別以為圓心，為半徑作圓，因為，所以和外切，又因為點到某直線的距離分別為，所以該直線為和的公切線，所以這樣的直線有3條，如圖所示，故答案為：318.對自然數(shù)，定義新運算，使其滿足，．則______________．【答案】16【解析】【分析】根據(jù)定義新運算的第二種運算方法，把逐步轉(zhuǎn)化為相乘的形式，再根據(jù)第一種運算方法求出，然后代入進行計算即可求解．【詳解】，因為，所以，所以，故答案為：16．三、解答題（共88分）19.（1）計算：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)根式的計算以及特殊角的三角函數(shù)值即可求解，（2）先化簡，再整體代入求解.【詳解】（1）原式.（2）原式，原式.20.如圖，在中，為邊上一點，且.（1）求證：；（2）若平分，，求的度數(shù).【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明、、來證得.（2）先證得為等邊三角形，然后結(jié)合（1）求得.【小問1詳解】是平行四邊形，，，，，，，.【小問2詳解】，，，為等邊三角形，，，，由（1）知，.21.把一個六個面分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6有正方體骰子隨意擲一次，各個數(shù)字所在面朝上的機會均相等.（1）若拋擲一次，則朝上的數(shù)字大于4的概率是多少？（2）若連續(xù)拋擲兩次，第一次所得的數(shù)為，第二次所得的數(shù)為.把作為點的橫、縱坐標，那么點在函數(shù)的圖象上的概率又是多少？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由古典概型的概率公式即可求解，（2）利用列表法列舉所有基本事件，即可由概率公式求解.【小問1詳解】依題意可知：隨意擲一次正方體骰子，面朝上的數(shù)可能出現(xiàn)的結(jié)果有1、2、3、4、5、6共6種，而且它們出現(xiàn)的可能性相等.滿足數(shù)字大于4（記為事件）的有2種.所以.【小問2詳解】依題意列表分析如下：第二次第一次

1234561（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）2（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）3（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6）4（4,1）（42）（4,3）（4,4）（4,5）（4,6）5（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（5,6）6（6,1）（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）由表可以看出，可能出現(xiàn)的結(jié)果有36種，而且它們出現(xiàn)的可能性相等，所得點（記為事件）的有（1,2）和（2,5）兩種情況，所以在函數(shù)的圖象上的概率為.22.如圖，在平面直角坐標系中，矩形的面積為15，邊比大2，為的中點，以為直徑的交軸于點，過點作于．（1）求的長；（2）求證：為的切線；（3）小明在解答本題時，發(fā)現(xiàn)是等腰三角形．由此，他斷定：“直線上一定存在除點以外的點，使也是等腰三角形，且點一定在外”．你同意他的看法嗎？請充分說明理由．【答案】（1）（2）證明見解析（3）不同意，理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，則，根據(jù)矩形面積列出方程求解即可；（2）連接，證明，進而得出，結(jié)合即可證明；（3）分兩種情況進行分析：①；②，求出兩種情況下使為等腰三角形時點的坐標，判斷它與圓的位置關(guān)系，由此解答．【小問1詳解】在矩形中，設(shè)，則，依題意得，解得：，（不合題意，舍去），所以，．【小問2詳解】連接，如圖所示，在矩形中，，，在和中，因為，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，因為，所以，因為點在上，為的半徑，所以為切線．【小問3詳解】不同意，理由如下：①當時，以點為圓心，以為半徑畫弧交直線于和兩點，過點作于點，，因為，所以，所以，則點；同理可得：；②當時，以點為圓心，以為半徑畫弧交直線于和兩點，同上可求得，因為,半徑，所以，在內(nèi)，，在外，，在外，，在外，因此，在直線上，除了點外，既存在內(nèi)的點，又存在外的點、、，它們分別使為等腰三角形．23.如圖，已知為的邊上一點，以為頂點的的兩邊分別交射線于兩點，且（為銳角）．當以點為旋轉(zhuǎn)中心，邊與重合的位置開始，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（保持不變）時，兩點在射線上同時以不同的速度向右平行移動．設(shè)，，的面積為．若，．（1）當旋轉(zhuǎn)（即）時，求點移動的距離；（2）求證：；（3）寫出與之間的關(guān)系式；（4）試寫出隨變化的函數(shù)關(guān)系式，并確定的取值范圍．【答案】（1）2（2）證明見解析（3）（4），【解析】【分析】（1）當旋轉(zhuǎn)到時，點移動到點，點移動的距離，根據(jù)圖形計算即可；（2）已知兩三角形兩角對應(yīng)相等，即可證相似；（3）可由（2）問的三角形相似即可得到與之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）根據(jù)圖形得出的關(guān)系式，然后在圖形內(nèi)根據(jù)的取值范圍確定的取值范圍．【小問1詳解】且為銳角，，即，初始狀態(tài)時，為等邊三角形，，當旋轉(zhuǎn)到時，點移到點，，，，在中，，，點移動的距離是2．【小問2詳解】證明：在和中，∵，．【小問3詳解】由（2）得，所以，，，過點作，垂足為，在中，，，在中，，，即．【小問4詳解】在中，邊上的高為，，，，即，又，的取值范圍為，是的正比例函數(shù)且比例系數(shù)，，即．24.已知關(guān)于的方程①．（1）若方程①有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍？（2）若、，方程①所對應(yīng)的函數(shù)的圖象與線段只有一個交點，求實數(shù)的取值范圍？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分兩種情況討論，時為一元一次方程；時為一元二次方程，由列出不等式求解即可；（2）分類討論，當時，得出一次函數(shù)與線段無交點；當，為二次函數(shù)，根據(jù)題意列出不等式組，求解即可．【小問1詳解】