4.3 等比數列（精練）（解析版）-人教版高中數學精講精練選擇性必修二

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】4.3等比數列（精練）1等比數列基本量的運算1．（2022高二下·平谷期末）已知等比數列滿足，則等于（）A．±32 B．-32 C．±64 D．-64【答案】D【解析】根據題意，設等比數列的公比為，若，，則有，解得，故.故答案為：D.2．（2022高二下·鎮(zhèn)江期末）已知數列滿足，且，則數列的前四項和的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設是首項為2、公比為的等比數列，即，所以.故答案為：C3．（2022高二下·昆明期末）在等比數列中，，，則（）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】在等比數列中，由得，所以，，所以。故答案為：D.4．（2022焦作開學考）已知等比數列中，，，則（）A．27 B．9 C．±9 D．+27【答案】A【解析】因為數列為等比數列，所以，可得；因為，所以，，，所以.故答案為：A.5．（2022遵義開學考）已知正項等比數列的前n項和為，若，，則（）A．80 B．81 C．243 D．242【答案】D【解析】設數列公比是，則，由，因，故解得，所以．故答案為：D．6．（2022高二下·邢臺期末）設單調遞增的等比數列滿足，，則公比（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】因為為等比數列，所以，所以，則，又單調遞增，所以，解得：，，則，因為，所以．故答案為：A7．（2022高二下·營口期末）等比數列中，已知：，，則公比（）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】因為是等比數列，所以，故，故答案為：B8．（2022·內江模擬）已知等比數列的公比為q，前n項和為．若，，則（）A．3 B．2 C．-3 D．-2【答案】A【解析】將等式與作差得，，因此，該等比數列的公比，故答案為：A.9．（2021高二上·深圳期末）已知等比數列{an}的前n項和為S，若，且，則S3等于（）A．28 B．26 C．28或-12 D．26或-10【答案】C【解析】由可得，即，所以，又因為，解得，所以，即，當時，，所以，當時，，所以。故答案為：C10．（2022湖州）已知等比數列的公比為正數，且，，則（）A．4 B．2 C．1 D．【答案】D【解析】設等比數列的公比為（），由題意得，且，即，，因為，所以，，故答案為：D11．（2022武漢開學考）設正項等比數列的前項和為，若，則（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】設正項等比數列的公比為q（q>0），則由得，即，即，即，解得（舍去）.由得，即，將代入得，解得，則。故答案為：A.12．（2022·江蘇·高二課時練習）在等比數列中，(1)已知，，求q和；(2)已知，，求和；(3)已知，，求q和.【答案】(1)當時，,當時，；(2)，；(3)當時，,當時，.【解析】(1)解：，解得：，當時，,當時，.(2)解：,解得：，所以(3)解：，解得：或，當時，,當時，.2等比數列的中項性質及應用1．（2022·黑龍江）數列在各項為正數的等比數列中，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，對任意的，，由等比中項的性質可得，則.因此，.故選：C.2．（2022·甘肅）在等比數列中，，，則（

）A．2 B．±2 C．2或 D．【答案】A【解析】設的公比為q，由，則，解得（舍去），故，所以，.故選：A.3．（2022·四川）若a，b，c為實數，數列是等比數列，則b的值為（

）A．5 B． C． D．【答案】B【解析】設等比數列的公比為，所以，根據等比數列的性質可知，解得.故選：B4．（2022·廣東）在等差數列中，若，，則和的等比中項為（

）.A． B．6 C． D．36【答案】C【解析】根據等差數列的性質：若則可得，所以，所以和的等比中項為.故選：C.5．（2022·江蘇）三個實數成等差數列，首項是，若將第二項加、第三項加可使得這三個數依次構成等比數列，則的所有取值中的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設原來的三個數為、、，由題意可知，，，，且，所以，，即，解得或.則的所有取值中的最小值是.故選：D.6．（2022·陜西）已知等差數列的公差是，若，，成等比數列，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為等差數列的公差為2，且，，成等比數列，所以，即，解得，故選：A7.（2022·云南）數列為等比數列，，，命題，命題是、的等比中項，則是的（

）條件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】因為數列為等比數列，且，，若，則，則是、的等比中項，即；若是、的等比中項，設的公比為，則，因為，故，即.因此，是的充要條件.故選：A.3等比數列前n項和的性質1．（2022·河南）在等比數列中，已知前n項和，則a的值為（

）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】B【解析】，由于是等比數列，所以，即.故選：B2．（2022·安徽?。┮阎缺葦盗械那?項和為2，前4項和為8，則它的前6項和為（

）A．12 B．22 C．26 D．32【答案】C【解析】設等比數列的前n項和為，公比為q,則,則，而，故，所以數列前6項和為，故選：C.3．（2022·全國·高二課時練習）已知各項為正的等比數列的前5項和為3，前15項和為39，則該數列的前10項和為（

）A． B． C．12 D．15【答案】C【解析】由等比數列的性質可得也為等比數列，又，故可得即，解得或，因為等比數列各項為正，所以，故選：C4．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高二階段練習）設等比數列中，前n項和為，已知，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，且也成等比數列，因為，，所以，所以8，-1，S9-S6成等比數列，所以8(S9-S6)=1，即，所以.故B，C，D錯誤.故選：A.5．（2022·四川省內江市第二中學高二開學考試（文））等比數列{an}的前n項和為Sn，公比為q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，則S9＝（）A．50 B．100 C．146 D．128【答案】C【解析】根據題意：S3＝a1+a2+a3＝2，S6＝9S3＝18，則S6﹣S3＝18﹣2＝16，根據等比數列的性質可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6構成等比數列，故，即S9﹣S6＝128，故S9＝S6+128＝146，故選：C．6．（2022·寧夏·平羅中學）等比數列的前n項和為，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為且為等比數列，故為等比數列，故，解得，故選：B.7．（2022·福建省連城縣第一中學高二階段練習）已知一個項數為偶數的等比數列，所有項之和為所有偶數項之和的倍，前項之積為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得所有項之和是所有偶數項之和的倍，所以，，故設等比數列的公比為，設該等比數列共有項，則，所以，，因為，可得，因此，.故選：C.8．（2022·全國·高二課時練習）在等比數列中，若，且公比，則數列的前100項和為______．【答案】450【解析】在等比數列中，公比，則有，而，于是得，所以數列的前100項和．故答案為：4509．（2022·全國·高二課時練習）已知正項等比數列共有項，它的所有項的和是奇數項的和的倍，則公比______.【答案】【解析】設等比數列的奇數項之和為，偶數項之和為，則，由，得，因為，所以，所以，.故答案為：.10．（2022廣東）已知一個等比數列首項為1，項數是偶數，其奇數項之和為341，偶數項之和為682，則這個數列的項數為_________【答案】10【解析】設等比數列項數為項，公比為，則，，由，解得，因為是公比為的等比數列，則，即，解得，故答案為:10.4等比數列的證明或判斷1．（2022·福建省福州屏東中學高三階段練習）已知數列滿足，，，求證：數列是等比數列；【答案】證明見解析【解析】因為，,所以是首項為1，公比為的等比數列；2.（2022·廣東）已知數列滿足，設，證明：數列為等比數列；【答案】見解析【解析】證明：因為，所以，因為，所以，所以，因為，所以，所以數列是以1為首項，為公比的等比數列3.（2022·寧夏）在數列中，，，，求證：是等比數列；【答案】證明見解析【解析】由得：，又，數列是以為首項，為公比的等比數列.4．（2022·江西·瑞金市第三中學高三階段練習（文））已知數列中，且．(1)求證：數列為等比數列；(2)求數列的前n項和．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因為，，所以，又因為，所以數列是首項為2，公比為2的等比數列．（2）由（1）得，，所以，，．5．（2022·北京豐臺·高二期中）已知數列滿足，，.(1)請寫出數列的前5項；(2)證明數列是等比數列；(3)求數列的通項公式.【答案】(1)，，，，；(2)證明見解析；(3).【解析】(1)解：因為數列滿足，，.所以，，，，所以數列的前5項為：，，，，；(2)解：，，因此，數列是等比數列；(3)解：由于，所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，，因此，.6．（2022·重慶·西南大學附中高二階段練習）在數列中，表示其前項和，滿足，求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；【答案】證明見解析；；【解析】，，，整理可得：，，又當時，，解得：，，數列是以為首項，為公比的等比數列，，數列的通項公式為；7（2022·全國·高三專題練習）已知數列滿足，證明：數列為等比數列.【答案】證明見解析【解析】證明：當時，，則.因為，①所以，②由②①得，化簡可得，，所以數列是一個公比為的等比數列.8．（2022·上海·華師大二附中高二階段練習）數列滿足，數列，數列(1)求證:數列是等比數列；(2)求數列的通項公式．【答案】(1)證明見解析；(2)，.【解析】(1)由題設，且，即且，而，所以且，則是首項為，公比為的等比數列，得證.(2)由（1）可得：，故，則，所以.則的通項公式為.5等比數列的單調性1．（2022·全國·高二課時練習）（多選）關于遞增等比數列，下列說法正確的是（

）．A．當時， B．當時，C．當時， D．【答案】AC【解析】A．當，時，從第二項起，數列的每一項都大于前一項，所以數列遞增，正確；B．當，時，為擺動數列，故錯誤；C．當，時，數列為遞增數列，故正確；D．，當時，，此時，當時，，，故錯誤故選AC．2．（2022高二下·西城期末）在等比數列{}中，．記，則數列{}（）A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】A【解析】設等比數列為q，則等比數列的公比，所以，則其通項公式為：，所以，令，所以當或時，t有最大值，無最小值，即有最大值，無最小值，結合前面，當為正數時，為正數，當為負數時，為負數，所以當時，有最小項，當時，有最大項.故答案為：A.3．（2022·北京·清華附中高二階段練習）已知數列是無窮項等比數列，“”是“單調遞增”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【解析】因為單調遞增，所以，所以必要性成立；因為數列是無窮項等比數列，且，所以，當時，則解得，此時，所以，即；當時，則解得，此時，所以，即，綜上所述，即單調遞增，所以充分性成立，則“”是“單調遞增”的充分必要條件，故選：C4（2022·湖南）（多選）等比數列的公比為，其前項的積為，并且滿足條件，，．給出下列結論其中正確的結論是（

）A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的【答案】ABD【解析】對于A，，，即，，又，又，，且，，故A正確；對于B，，，即，故B正確；對于C，由于，而，故有，故C錯誤；對于D，由題可知，所以當時，，即，當時，，即，∴T99的值是Tn中最大的，故D正確.故選：.5．（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知等比數列滿足，公比，且，，則（

）A． B．當時，最小C．當時，最小 D．存在，使得【答案】AC【解析】對A，∵，，∴，又，，∴，故A正確；對B，C，由等比數列的性質，，故，，，∴，∵，，，∴，，∴，故當時，最小，B錯誤，C正確；對D，當時，，故，故D錯誤.故選：AC．6等比數列的實際應用1．（2022沈陽月考）中國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則該人最后一天走的路程為（）A．6里 B．5里 C．4里 D．3里【答案】A【解析】記每天走的路程里數為，可知是公比的等比數列，由，得，解得：，.故答案為：A．2．（2022·四川）中國古代數學著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔仔細算相還”.其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”.則下列說法正確的是（

）A．該人第五天走的路程為14里B．該人第三天走的路程為42里C．該人前三天共走的路程為330里D．該人最后三天共走的路程為42里【答案】D【解析】由題意可知該人每天走的路程構成了公比為的等比數列，設數列前n項和為，則，故，解得，則，故，該人第五天走的路程為12里，A錯誤；，該人第三天走的路程為48里，B錯誤；，該人前三天共走的路程為里，C錯誤；由（里），可知該人最后三天共走的路程為42里，D正確，故選：D3．（2022·河南濮陽·高二期末（理））5G是第五代移動通信技術的簡稱，其意義在于萬物互聯，即所有人和物都將存在于有機的數字生態(tài)系統(tǒng)中，它把以人為中心的通信擴展到同時以人與物為中心的通信，將會為社會生活與生產方式帶來巨大的變化．目前我國最高的5G基站海拔6500米．從全國范圍看，中國5G發(fā)展進入了全面加速階段，基站建設進度超過預期．現有8個工程隊共承建10萬個基站，從第二個工程隊開始，每個工程隊所建的基站數都比前一個工程隊少，則第一個工程隊承建的基站數（單位：萬）約為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，8個工程隊所建的基站數依次成等比數列，比為，記第一個工程隊承建的基站數為（萬），則，．故選：B．4．（2022·北京順義·高二期末）中國古代數學名著《九章算術》中有這樣一個問題：今有牛?馬?羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬?”馬主曰：“我馬食半牛，”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛，馬，羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟，羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半，”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例償還，他們各應償還多少？試問：該問題中牛主人應償還（

）斗粟A． B． C． D．【答案】B【解析】設牛主人應償還x斗粟，則馬主人應償還斗粟，羊主人應償還斗粟，所以，解得：.故選：B5．（2022·安徽·合肥一中高二期末）在流行病學中，基本傳染數是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數.初始感染者傳染個人，為第一輪傳染，這個人中每人再傳染個人，為第二輪傳染，…….一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定.注射新冠疫苗后可以使身體對新冠病毒產生抗體，但是正常情況下不能提高人體免疫力，據統(tǒng)計最新一輪的奧密克戎新冠變異株的基本傳染數，感染周期為4天，設從一位感染者開始，傳播若干輪后感染的總人數超過7200人，需要的天數至少為（

）A．4 B．12 C．16 D．20【答案】C【解析】依題意，每輪感染人數依次組成公比為9的等比數列，經過n輪傳播感染人數之和為：，得，顯然是遞增數列，而，則，而每輪感染周期為4天，所以需要的天數至少為16.故選：C6．（2022·陜西·漢臺中學模擬預測（文））我國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關，初行健步不為難．次日腳痛減一半，六朝才得到其關．要見每朝行里數，請公仔細算相還．”意思是：有一個人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完．則此人最后一天走的路程是（

）A．192里 B．96里 C．12里 D．6里【答案】D【解析】設第天走的路程為，，所以此人每天走的路程可構成等比數列，依題可知，公比為，所以，解得，．所以（里）故選：D．7．（2022·內蒙古·滿洲里市教研培訓中心模擬預測（理））直播帶貨是一種直播和電商相結合的銷售手段，目前受到了廣大消費者的追捧，針對這種現狀，某傳媒公司決定逐年加大直播帶貨的資金投入，若該公司今年投入的資金為萬元，并在此基礎上，以后每年的資金投入均比上一年增長，則該公司需經過（

）年其投入資金開始超過萬元.（參考數據：，，）A． B． C． D．【答案】C【解析】設該公司經過年投入的資金為萬元，則，由題意可知，數列是以為首項，以為公比的等比數列，所以，，由可得，因此，該公司需經過年其投入資金開始超過萬元.故選：C.8．（2022·福建莆田）芝諾是古希臘著名的哲學家，他曾提出一個著名的悖論，史稱芝諾悖論．芝諾悖論的大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜的競賽中，他的速度為烏龜的十倍，烏龜在他前面100米爬，他在后面追，但他不可能追上烏龜．原因是在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發(fā)點，當阿喀琉斯追了100米時，烏龜已經向前爬了10米．于是一個新的起點產生了；阿喀琉斯必須繼續(xù)追，而當他追完烏龜爬的這10米時，烏龜又向前爬了1米，阿喀琉斯只