6.3 二項(xiàng)式定理（解析版）人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三

6.3二項(xiàng)式定理考法一二項(xiàng)式的展開式【例1-1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）求的展開式．【答案】答案見解析【解析】．【例1-2】（2023·黑龍江）（

）.A．1 B．－1C．(－1)n D．3n【答案】C【解析】原式=.故選：C.【一隅三反】1．（2023·甘肅）若對(duì)，恒成立，其中，則（

）A． B．0 C．2 D．3【答案】C【解析】由，得，所以，.故選：C.2．（2023·安徽安慶）如果，則.【答案】【解析】依題意，，解得，.故答案為：（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（1）求的展開式（2）求的展開式；（3）化簡(jiǎn)．【答案】（1）（2）答案見解析；（3）【解析】（1）.（2）.（3）原式.考法二二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)【例2-1】（2024·四川綿陽(yáng)）的展開式中，x的系數(shù)為（

）A． B． C．5 D．10【答案】A【解析】的展開式的通項(xiàng)為．令，得．的系數(shù)為．故選：A．【例2-2】．（2024·湖南）二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，所以常數(shù)項(xiàng)為，故選：A【例2-3】（2024·云南）寫出展開式中的一個(gè)有理項(xiàng)為.【答案】（答案不唯一）【解析】展開式的通項(xiàng)公式為所以展開式中的有理項(xiàng)分別為：時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.故答案為：（四個(gè)有理項(xiàng)任寫其一均可）.【一隅三反】1．（2024·河南）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．672 B． C． D．5376【答案】D【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，令，得，所以二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：D2．（2024安徽）展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，令，得．∴，依題意，∴．故選：A.3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）的展開式中，有理項(xiàng)是第項(xiàng)．【答案】3【解析】的展開式的通項(xiàng)，其中，當(dāng)為有理項(xiàng)時(shí)，為整數(shù)，結(jié)合，所以，即有理項(xiàng)是展開式中的第3項(xiàng)，故答案為：3考法三兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的系數(shù)【例3-1】（2024·廣東廣州）在展開式中的系數(shù)為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】顯然，則展開式第項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以展開式中含的項(xiàng)為，即展開式中的系數(shù)為0.故選：B【例3-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）的展開式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為，所以．令，解得，．令，解得．由題意，可知，所以．故選：D．【一隅三反】1．（2023·湖北）若的展開式中的的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)（

）A．8 B．7 C．9 D．10【答案】B【解析】由題意知，展開式的通項(xiàng)公式為，故的系數(shù)為，解得.故選：B．2．（2024·廣東·）的展開式中的系數(shù)為.【答案】【解析】的展開式中的項(xiàng)為：，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：3．（2024·山東濱州）的展開式中的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】的通項(xiàng)公式為，令得，，此時(shí)，令得，，此時(shí)，故的系數(shù)為故答案為：考法四三項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)【例4-1】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．721 B．-61 C．181 D．-59【答案】D【解析】=的展開式的通項(xiàng)公式為=，其中的展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，，常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，，，常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，，，常數(shù)項(xiàng)為；故常數(shù)項(xiàng)為++.故選：D【例4-2】（2023·廣東廣州）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】由于，所以的展開式中含的項(xiàng)為，所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：【一隅三反】1（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為．【答案】92【解析】，又展開式的通項(xiàng)，展開式的通項(xiàng)，所以含的項(xiàng)為則含的系數(shù).故答案為：.2．（2024·福建）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C．70 D．72【答案】C【解析】方法一：展開式中，第項(xiàng)，所以常數(shù)項(xiàng)為，方法二：展開式中，第項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，展開式中常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，展開式中常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，，所以的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為70，故選：C．3．（2023上·河北唐山）的展開式中的系數(shù)為（

）A．208 B． C．217 D．【答案】B【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可得，的展開式中，含的項(xiàng)為.所以，的展開式中的系數(shù)為.故選：B.考法五（二項(xiàng)式）系數(shù)的最值【例5-1】（2023上·遼寧朝陽(yáng)·高三建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在二項(xiàng)式的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是（

）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng)C．第5項(xiàng) D．第3項(xiàng)和第4項(xiàng)【答案】B【解析】二項(xiàng)式的展開式共有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第4項(xiàng).故選：B.【例5-2】（2023·四川雅安）的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是（

）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)【答案】C【解析】依題意，的展開通項(xiàng)公式為，其系數(shù)為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，才能取得最小值，又由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，是的最大項(xiàng)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即第6項(xiàng)的系數(shù)最小.故選：C．【一隅三反】1．（2022·重慶）（多選）若的展開式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)【答案】BC【解析】的展開式的通項(xiàng)為，因?yàn)檎归_式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，，所以，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)；故選：BC．2．（2024·海南）在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為和，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】7【解析】，因?yàn)橄禂?shù)最大的項(xiàng)為和，所以為奇數(shù)，，且，解得．所以含項(xiàng)的系數(shù)為．故答案為：73．（2023·上海嘉定）已知的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為．【答案】【解析】設(shè)系數(shù)最大的項(xiàng)為，則，解得，因?yàn)榍覟檎麛?shù)，所以，此時(shí)最大的項(xiàng)為.故答案為：4．（2023·上海）二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為．【答案】【解析】展開式通項(xiàng)公式為，且為整數(shù).要想系數(shù)最大，則為偶數(shù)，其中，，，，顯然系數(shù)最大項(xiàng)為.故答案為：考法六（二項(xiàng)式）系數(shù)和--賦值法【例6-1】（2023·廣東佛山）（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，令，則，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則，令，則，所以，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)B可知，，，所以，故D正確.故選：ACD.【例6-2】（2023·廣東佛山）（多選）若，其中為實(shí)數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】令可得，A正確.，其展開式的第三項(xiàng)是，所以，B不正確.令可得，所以，D不正確.令可得，與相減可得，C正確.故選：AC【一隅三反】1．（2023·河北）（多選）若，則（

）A．B．C．D．【答案】BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，所以B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以，D正確．故選：BD．2．（2023·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）（多選）的展開式中第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則以下判斷正確的是（

）A．第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 B．所有奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為C． D．【答案】AC【解析】由題意，可得，所以，對(duì)于A中，根據(jù)二項(xiàng)式定理的性質(zhì)，可得中間項(xiàng)第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以A正確；對(duì)于B中，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得所有奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，對(duì)于C中，令，可得，令，可得，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由，可得，即，令，可得，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.3．（2024·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）（多選）若，其中為實(shí)數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】令，則原式轉(zhuǎn)化為，對(duì)A，令，得，故A正確；對(duì)B，由二項(xiàng)式定理得，故B錯(cuò)誤；對(duì)CD，令，得，令，得，所以，所以，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC考法七余數(shù)與小數(shù)【例7-1】（2023下·河南鄭州·高二校聯(lián)考期中）除以所得的余數(shù)是.【答案】22【解析】法一：由，前9項(xiàng)可以被整除，而，故余數(shù)為.法二：由，而，故余數(shù)為.故答案為：【例7-2】．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）將精確到0.01的近似值是．【答案】0.96【解析】因?yàn)?，且將精確到0.01，故近似值為0.96故答案為：0.96【一隅三反】1．（2023安徽）1.028的近似值是.(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)【答案】1.172【解析】由題意得：.故答案為：1.1722．（2023上·河北）除以1000的余數(shù)是．【答案】24【解析】因?yàn)?，所以除?000的余數(shù)是：.故答案為：243．（2023下·江蘇淮安·高二江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）今天是星期日，經(jīng)過(guò)7天后還是星期日，那么經(jīng)過(guò)天后是（

）A．星期日 B．星期一 C．星期三 D．星期四【答案】B【解析】,因?yàn)槟鼙徽?，所以除以余，所以?jīng)過(guò)天后是星期一.故選：B.4.（2024·甘肅武威）干支紀(jì)年是中國(guó)古代的一種紀(jì)年法.分別排出十天干與十二地支如下：天干：甲

乙

丙

丁

戊

己

庚

辛

壬

癸地支：子

丑

寅

卯

辰

巳

午

未

申

酉

戌

亥把天干與地支按以下方法依次配對(duì)：把第一個(gè)天干“甲”與第一個(gè)地支“子”配出“甲子”，把第二個(gè)天干“乙”與第二個(gè)地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，則再?gòu)牡谝粋€(gè)天干開始循環(huán)使用.已知2023年是癸卯年，則年以后是年.【答案】丙午【解析】因?yàn)?，所以年以后地支為“午?因?yàn)?，又因?yàn)槌?0余數(shù)為3，所以年以后天干為“丙”，故年以后是丙午年.故答案為：丙午考法八楊輝三角的應(yīng)用【例8】（2023·廣東廣州）（多選）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.該表蘊(yùn)含著許多的數(shù)學(xué)規(guī)律，下列結(jié)論正確的是（

）第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行1

6

15

20

15

6

1……

……A．B．，，，C．從左往右逐行數(shù)，第項(xiàng)在第行第個(gè)D．第行到第行的所有數(shù)字之和為【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由組合數(shù)的計(jì)算性質(zhì)，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，第行共有項(xiàng)，從左往右逐行數(shù)，第行最后一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)為，因?yàn)?，且，所以，從左往右逐行?shù)，第項(xiàng)在第行第個(gè)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，第行所有項(xiàng)之和為，所以，第行到第行的所有數(shù)字之和為，D錯(cuò).故選：AC.【一隅三反】1．（2023·山東青島·高二校聯(lián)考期中）（多選）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對(duì)楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結(jié)論正確的是（

）

A．B．第2023行的第1012個(gè)和第1013個(gè)數(shù)最大C．第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第7個(gè)數(shù)D．第34行中從左到右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)之比為2：3【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，，，故A正確；B選項(xiàng)，由圖可知：第行有個(gè)數(shù)字，如果是奇數(shù)，則第和第個(gè)數(shù)字最大，且這兩個(gè)數(shù)字一樣大；如果是偶數(shù)，則第個(gè)數(shù)字最大，故第2023行的第1012個(gè)和第1013個(gè)數(shù)最大，故B正確；C選項(xiàng)，第6行，第7行，第8行的第7個(gè)數(shù)字分別為：1，7，28，其和為36；第9行第7個(gè)數(shù)字是84，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，依題意：第34行第14個(gè)數(shù)字是，第34行第15個(gè)數(shù)字是，所以，故D正確.故選：ABD.2．（2024上·江西·高二校聯(lián)考期末）楊輝三角（如下圖所示）是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2023行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】,由題意可得，第2行到第2023行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為,故選：B．3．（2023上·湖北）如圖，“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早500年左右．現(xiàn)從楊輝三角第20行隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，該數(shù)大于2023的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由楊輝三角的性質(zhì)知第20行的數(shù)為，一共有21個(gè)數(shù)，其中，由楊輝三角的對(duì)稱性可知，第20行中大于2023的數(shù)的個(gè)數(shù)為，故所求概率為.故選：A.單選題1．（2023·四川南充）二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B．60 C．210 D．【答案】B【解析】展開式的通項(xiàng)為，所以，常數(shù)項(xiàng)為，故選：B.2．（2023·河北）若，則（）A．1 B．0 C． D．【答案】C【解析】，當(dāng)且時(shí)，，因此，.故選：C.3．（2024上海）二項(xiàng)式的展開式中，其中是有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有（）A．4項(xiàng) B．7項(xiàng) C．5項(xiàng) D．6項(xiàng)【答案】D【解析】二項(xiàng)式的展開式中，通項(xiàng)公式為，，時(shí)滿足題意，共6項(xiàng)．故選：D.4．（2023安徽?。┰诘恼归_式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．7【答案】D【解析】因?yàn)樵诘恼归_式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大所以所以的展開式的通項(xiàng)令，得所以展開式中的系數(shù)為故選：D5．（2023安徽）展開式中的系數(shù)為（）A．15 B．20 C．30 D．35【答案】D【解析】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，所以展開式中含的項(xiàng)為和.因?yàn)?，所以展開式中的系數(shù)為35.故選：D6．（2023下·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）的展開式中，的系數(shù)為（

）A．20 B． C． D．15【答案】B【解析】，其展開式的通項(xiàng)為：，取得到的系數(shù)為．故選：B．7．（2023云南）在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的是第（）項(xiàng)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】在二項(xiàng)式的展開式中，通項(xiàng)公式為，故第r+1項(xiàng)的系數(shù)為，當(dāng)時(shí)，系數(shù)為正，因?yàn)?所以當(dāng)r＝4時(shí)，系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng).故選：C8．（2023·江西贛州·）在的展開式中，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．不存在常數(shù)項(xiàng) B．所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為32C．第3項(xiàng)和第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大 D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為1【答案】D【分析】根據(jù)給定的二項(xiàng)式，寫出展開式判斷A；利用二項(xiàng)式性質(zhì)判斷BC；利用賦值法計(jì)算判斷D作答.【詳解】，因此在的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，A正確；的展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為，B正確；的展開式的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等，并且最大，C正確；當(dāng)時(shí)，的展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為，D錯(cuò)誤.故選：D多選題9．（2024·遼寧遼陽(yáng)）若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該展開式中共有6項(xiàng) B．各項(xiàng)系數(shù)之和為1C．常數(shù)項(xiàng)為 D．只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大【答案】BD【解析】因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)之和為64，即有，所以，則該展開式中共有7項(xiàng)，A錯(cuò)誤；令，得該展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1，B正確；通項(xiàng)，令，得，，C錯(cuò)誤；二項(xiàng)式系數(shù)最大的是，它是第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，D正確．故選：BD.10．（2023·遼寧朝陽(yáng)）已知2，n，8成等差數(shù)列，則在的展開式中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．二項(xiàng)式系數(shù)之和為32 B．各項(xiàng)系數(shù)之和為1C．常數(shù)項(xiàng)為40 D．展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為80x【答案】ABD【解析】由題意可得：，則，對(duì)于選項(xiàng)A：二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：令，可得各項(xiàng)系數(shù)之和為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C、D：因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為：，所以，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為80x，故D正確；故選：ABD.11．（2022上·遼寧本溪·高二?？计谀┤?，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由題意，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，，B，C錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，所以，D正確.故選：AD．12．（2023下·河北滄州·高二統(tǒng)考期中）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因?yàn)?，令可得，令可得①，所以，故A正確；令可得②，①②得，故B錯(cuò)誤；①②得，又展開式的通項(xiàng)為（且），所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)展開式系數(shù)為負(fù)數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)展開式系數(shù)為正數(shù)，即，，所以，故C正確；將兩邊對(duì)求導(dǎo)可得：，再令可得，故D正確；故選：ACD填空題13．（2023下·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）已知，則的值為．【答案】【解析】由，可得則，即，解得．故答案為：.14．（2023下·山西呂梁·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）被4除的余數(shù)為.【答案】1【解析】因?yàn)?，?024可以被4整除，所以余數(shù)為1.故答案為：1.15．（2023·北京）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】的展開式的通項(xiàng)（，1，2，…，8）．當(dāng)時(shí)，其展開式的常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，其展開式中的系數(shù)為，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：16．（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）展開式中各項(xiàng)的系數(shù)可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角，其性質(zhì)是以下各行每個(gè)數(shù)是它正上方和左?右兩邊三個(gè)數(shù)的和（不足3個(gè)數(shù)時(shí)，用0補(bǔ)上），則的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為.【答案】【解析】根據(jù)題意，可得廣義楊輝三角如圖所示，可知的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為項(xiàng)的系數(shù)為30，所以的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：解答題17．（2023·廣東梅州）在二項(xiàng)式的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)各項(xiàng)系數(shù)之和；(3)所有偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和；(4)系數(shù)絕對(duì)值之和.【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）設(shè)二項(xiàng)式系數(shù)之和為（2）設(shè)，則各項(xiàng)系數(shù)之和為，令得（3）由（2）知令可得:將兩式相減,可得:，故所有偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為.（4）方法一:令則方法二:即為展開式中各項(xiàng)系數(shù)和，令得故系數(shù)絕對(duì)值之和為.18．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）（1）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）若的展開式中的系數(shù)為，求a的值；（3）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（4）若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，求展開式中的系數(shù)．【答案】答案見詳解【解析】（1）設(shè)的展開式通項(xiàng)為：，則，當(dāng)時(shí)，；故的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為672；（2）設(shè)的展開式通項(xiàng)為：，則，當(dāng)時(shí)，結(jié)合題意知此時(shí)；故a的值為2；（3）設(shè)的展開式通項(xiàng)分別為：，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為；（4）令，則由題意可知，設(shè)的展開式通項(xiàng)為，則，當(dāng)時(shí)，，故展開式中的系數(shù)為21.19．（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）從①第4項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)之比是；②第3項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，再解決補(bǔ)充完整的題目．已知（），且的二項(xiàng)展開式中，____．(1)求的值；(2)①求二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)；②求的值．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)①；②．【解析】（1）若選擇①第4項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)之比是，則有，化簡(jiǎn)可得，求得或（舍去）．若選擇②第3項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36，則有，化簡(jiǎn)可得，求得或（舍去）．（2）由（1）可得，①的二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)為．②二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，所以、、、、為正數(shù)，、、、為負(fù)數(shù)．在中，令．再令，可得，∴．20．（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）在