2022年初升高暑期數(shù)學(xué)講義16 對(duì)數(shù)（重難點(diǎn)突破）【含答案】

專題16對(duì)數(shù)

一、考情分析

二、基礎(chǔ)知識(shí)

【知識(shí)點(diǎn)一、對(duì)數(shù)】

1.對(duì)數(shù)的概念

(1)對(duì)數(shù)：一般地，如果優(yōu)=N5>0,且。工1),那么數(shù)x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作其中

。叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)常用對(duì)數(shù)：通常我們將以為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把logmV記為IgN.

(3)自然對(duì)數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常使用以無(wú)理數(shù)e=2.71828……為底數(shù)的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)稱為自然

對(duì)數(shù)，并把logeN記為InN.

2.對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系

當(dāng)?>0,且時(shí)，a"=NoZ?=log”N,即

["a>0aWlLAT

0b=N<-----------?b=ic&N

|tN>0?

3.對(duì)數(shù)的性質(zhì)

根據(jù)對(duì)數(shù)的概念，知對(duì)數(shù)log.N(a>(),且awl)具有以下性質(zhì)：

(1)負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)，即N〉0;

(2)1的對(duì)數(shù)等于0,即log.1=0；

(3)底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1,即log"=l.

【知識(shí)點(diǎn)二、對(duì)數(shù)的運(yùn)算】

1.基本性質(zhì)

若。>0,且a/1,N>0,貝IJ

(1)小。、;

b

(2)logwa=.

2.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果〃>0,且awl,M>0,N>0,那么：

(1)\oga(MN)=；

⑵1。*=----;

(3)log“AT=(〃eR).

【知識(shí)點(diǎn)三、換底公式及公式的推廣】

1.對(duì)數(shù)的換底公式

logN

log^Nn—S>0,且bwl;c>0、且cwl;N>0).

log加

【注】速記口訣：

換底公式真神奇，換成新底可任意，

原底加底變分母，真數(shù)加底變分子.

2.公式的推廣

(1)logrtb=-1—(其中a>0且。;/?0且;

10gM

(2)log,」h"=log”b(其中a>0且〃工1；Zx>0)；

tn

(3)log?=—logZ?(其中a>0且；b>0)；

anfl

(4)log1b=-\o^ab(其中。>0且〃Hl;6>0);

(5)logab?\ogbc-logt.d=logadi其中a,b,。均大于。且不等于I,辦0)

三、題型分析

1.對(duì)數(shù)的概念

解決使對(duì)數(shù)式有意義的參數(shù)問(wèn)題,只要注意滿足底數(shù)和真數(shù)的條件，然后解不等式（組）即可.對(duì)

數(shù)的概念是對(duì)數(shù)式和指數(shù)式互化的依據(jù)，在互化過(guò)程中應(yīng)注意對(duì)數(shù)式和指數(shù)式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

例1.⑴、（2021?上海高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果。>0,awl,M>0,N>0,那么

n

k）g“M+logaN=；logrtM-logrtN=;log,M=.

【答案】log,MNlog噂Mog”M

【分析】

直接根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)填與答案即可；

【詳解】

M

n

解:log”M+log”N=log。MN.logaM-log（/N=log”—,log.M=nlogaM

故答案為:log”MN；log；〃log“M

（2）、（2022?浙江?臺(tái)州市書生中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）log2l=（）

A.—2B.—C.；D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】

由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可

【詳解】

2

log2-i=log22-=-2,

故選：A

⑶、（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）使log“（2-初）有意義的實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.（!.+?>）B.（O,1）U（L田）C.（0,|1D.停+00）

【答案】C

_1I11

由對(duì)數(shù)的概念可知：27q=（可轉(zhuǎn)化為10827：=-：，故C正確；

由對(duì)數(shù)的概念可知：￡=5可轉(zhuǎn)化為1。氐5=1,故D正確；

故選：ACD.

【變式訓(xùn)練1?3】、（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）若1。/叫（"女）有意義，則實(shí)數(shù)&的取值范圍是.

【答案】（T0）U（0,l）

【解析】

【分析】

結(jié)合對(duì)數(shù)性質(zhì)建立不等關(guān)系，即可求解.

【詳解】

1I>0

若1啷+.（1-2）有意義,則滿足解得&￡（-1,0）50,1）.

1-^>0

故答案為：（-l,0）U（0J）

2.對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算和化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)，所以要熟記對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)恒等式，化簡(jiǎn)的原

則是：

（1）盡量將真數(shù)化為“底數(shù)”一致的形式；

（2）將同底的多個(gè)對(duì)數(shù)的和（差）合成積（商）的對(duì)數(shù)；

（3）將積（商）的對(duì)數(shù)分成若干個(gè)對(duì)數(shù)的和（差）.運(yùn)算時(shí)要靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)的相關(guān)公式求解，如log,〃=

1（4>0,且〃工1）,log/logb”1等.

例2.（1）、（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)高二期末）計(jì)算：/2一］og5310g925等于.

【答案】1

【解析】

【分析】

由對(duì)數(shù)的定義、對(duì)數(shù)的換底公式計(jì)算.

【詳解】

加,1-1cl—ln321n5-.?

e-10^310^25=2--.—=2-1=1

故答案為：I.

（2）.（2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí)）下列各等式正確的為（）

A.Iog231og25=log2（3x5）

B.lg3+lg4=lg（3+4）

C.log,-=log,x-log,y

y

D.lgV^=—igw（m>0,n>\,

n

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷各選項(xiàng)等式兩邊是否相等即可.

【詳解】

A：log2（3x5）=log23+log25rlog231og25,錯(cuò)誤；

B:Ig3+lg4=lg（3x4）^lg（3+4）1錯(cuò)誤;

（2：當(dāng)乂y均為負(fù)數(shù)時(shí)，等式右邊無(wú)意義，錯(cuò)誤；

D：1g痂=-lgm且加>0,正確.

n

故選：D

【變式訓(xùn)練2?1】.（2022?北京朝陽(yáng)?高二期末）計(jì)算:21og93+log315-log35=

【答案】2

【解析】

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

【詳解】

解:21og93+log315-log35=2xl+log3y=1+1=2,

故答案為：2.

【變式訓(xùn)練2?2】.（2021?江蘇,高一專題練習(xí)）（多選題）下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）

A21og110+log10.25=2

8

B1嗎271。8”81嗎5=§

C.lg2+lg50=10

D/%+⑥(2-6)-(log2&)2=]

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐項(xiàng)運(yùn)算檢驗(yàn)，即可判斷各選項(xiàng)是否運(yùn)算錯(cuò)誤.

【詳解】

解：

21022

對(duì)于A^110+log10.25=logI(10x0.25)=logi5=-2所以選項(xiàng)人錯(cuò)誤；

5555

Q3Q3

對(duì)于BJ嗎27」*8」唱5=1導(dǎo)3懸12.言lo5=E3x3=￡9所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,愴2+愴50=愴100=2,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,log.國(guó)(2-6)-(豌2垃)2=-1-(52=一(，所以選項(xiàng)D正確.

故選：ABC.

例3、(2022?山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高二期末)化簡(jiǎn)求值：

(l)27^+2(e-l)°+-^-16^；

(2)lgV5+lgV20+lg^-lg25.

4

【答案】⑴7+6⑵-1

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)指數(shù)鬲的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

(2)根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可化簡(jiǎn)求值.

12￡

52

(I)27u2.(e_ir+_!_-16=(3少+2+石-2-(2，)，=3+2+75-2-2=7

(2)1g75+lgV20+1g-1g25=1g(逐x聞)x；+25=IgflOx^-x^j=IglO-'=

【變式訓(xùn)練3?1】、(2021?廣東?珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí))計(jì)算：

Ig8+lgl25_

-log3xlog4.

2igVioigo.i23

7

【答案】（l）5（2）-8

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的運(yùn)算法則計(jì)算；

（2）由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和換底公式計(jì)算.

(1)

原式=Vx(23)^+1+(-Y=2r+1+1=2+-=-；

⑵

lg(8xl25)-log,3x-!5^=_6-2=-8

式

原1

2-log23

3.換底公式的應(yīng)用

換底公式即將底數(shù)不同的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對(duì)數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行化簡(jiǎn)、計(jì)算或證明.換底公式應(yīng)用時(shí)究

竟換成什么為底，由已知條件來(lái)確定，一般換成以10為底的常用對(duì)數(shù)或以e為底的自然對(duì)數(shù).

例4.（1）、（2021?天津高考真題）若2"=5占=10,則L+?=（）

ab

A.-1B.Ig7C.1D.log710

【答案】C

【分析】

由已知表示出凡R再由換底公式可求.

【詳解】

???2"=5〃=10，.-.6f=log210,Z?=log510,

1111

二.—F—=-----------1--------------=lg2+lg5=lgl0=l

ablog210log、10

故選：C.

（2）、（2022?河北武強(qiáng)中學(xué)高二期末）（多選題）已知2。=3b=6,則人滿足（）

A.a>hB.—+—<1C.ab>4D.a+b>4

ab

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由對(duì)數(shù)與指數(shù)的互換公式可得。=log26,^=10g36,由作差法結(jié)合對(duì)數(shù)的換底公式可判斷選項(xiàng)A,由對(duì)數(shù)

運(yùn)算可判斷B；由均值不等式結(jié)合由選項(xiàng)B推出的結(jié)論可判斷選項(xiàng)C,D.

【詳解】

由2"=3〃=6,則a=log26,^=log36,則4>0,〃>0,

所以?6=log,6—log36=9-蹩Jg6（lg37g2）＞0所以A正確;

1g2lg3Ig21g3

l+l=log62+log63=l,所以B不正確;

由（因?yàn)闃?biāo)/?,故等號(hào)不成立），則必>4,故C正確；

4+/?=（〃+〃）['+!]=2+2+g>2+2、卜乂3=4（因?yàn)闃?biāo)b,故等號(hào)不成立），故D正確.

\ab）abNab

故選：ACD.

【變式訓(xùn)練4.1】、（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（多選題）設(shè)a,b,c都是正數(shù)，且4“=6〃=9"則下列結(jié)論

正確的是（）

?21

A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC.4'爐=4".9'D.-=-——

cba

【答案】ACD

【解析】

【分析】

設(shè)4“=6〃=9「=入根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，利用換底公式及指數(shù)孱的運(yùn)算法則，逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)得答案.

【詳解】

解：設(shè)4"=6"=9'=，＞1,則a=logj,3=log/,c=log”.

lg/lg/

所以2+2+9二眄+眄

calog9flog4rJg￡Jg￡

Ig9lg4

2

Ig9Jg4Ig9+lg4lg（9x4）|g6.

1g6Ig6lg6Ig6lg6

即2+2=2,所以LL?,所以L'L故D正確；

cacabcba

由2+^=2,所以ab+bc=2ac,故A正確，B錯(cuò)誤；

ca

因?yàn)?".9,=44”=（4“丫，4〃.夕=（4x9）"=（62）"=（6"丫，

又4“=6〃=9，，所以（4"J=（6"）［即4〃.y=4“.9，，故C正確；

故選:ACD

4.比較大小

例5.⑴、（2021?雙峰縣第一中學(xué)高二期末）已知a=ln2.1,^=log3e,c=log754,則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】C

【解析】

【分析】

三個(gè)對(duì)數(shù)底數(shù)不同，真數(shù)也不同，選取中間值比較大小

【詳解】

a=E2.3n2-4"必=空

?7.39

In7.5In7.5

ln2-^^-=ln2|1-2.cIn7.5-2.cIn7.5-Ine2八

=ln2------------=In2----------------->0

In7.5IIn7.5In7.5In7.5

即M2>鬻’所以〃

又e3a20.09,2.1、19.45

a-p—3

所以j=lne4=lnVey>in也不=ln2.1，所以

又e"54.3,所以方=log,e=logs本>log,格==

所以卜>。，所以6>a>c

故選：C

3

（2）、（2022?江蘇南京?高三開學(xué)考試）已知〃^=log930,c=1,則。也。的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【解析】

【分析】

利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性比較得b>c,c>%即得解.

【詳解】

33

解：由題得/?=log930>log927=log99^=-=c,

23

2

a=log47<log48=log44=-=c,

所以avcv）.

故選：C

05

【變式訓(xùn)練54】、（2022?四川攀枝花?高一期末）已知〃=1嗚8,b=2sin2tc=2,則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

【答案】D

【解析】

【分析】

進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算可求出根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得出2?2>2或吟并得出2"$=夜弓，從而

可得出a,C,b的大小關(guān)系.

【詳解】

05

：log48=1,2sin2>2sin-y^=>/3>|,2=V2<—,:.b>a>c.

故選：D.

【變式訓(xùn)練5-2】、（2022山西晉中一模（文））設(shè)a=log2（）.3,b-lg九,<*=log,1,貝IJ（）

A.a<c<bB.b<a<cC.c<b<aD.a<b<c

【答案】D

【解析】

【分析】

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷出〃力，。三個(gè)數(shù)的范圍，可得答案.

【詳解】

因?yàn)閍=log2（）.3vlog21=0,即a<0,

0=lgl<Z?=lg^-<lgl0=l,即0<bvl,

。=啕；=晦3>1%2=1,

Q3

即所以力<c,

故選:D

5.對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例6.（2022?江西?金溪一中高二期末（文））為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，全國(guó)各地對(duì)生態(tài)

環(huán)境的保護(hù)意識(shí)持續(xù)增強(qiáng)，某化工企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣需要通過(guò)過(guò)濾使廢氣中的污染物含量減少到不

高于最初的20%才達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn).已知在過(guò)濾過(guò)程中，廢氣中污染物含量,v：?jiǎn)挝唬簃g/L,）與時(shí)間，（單

位：h；的關(guān)系式為y=N°e-"（％,女為正常數(shù)，%表示污染物的初始含量），實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)廢氣經(jīng)過(guò)5h的過(guò)濾,

其中的污染物被消除了40%.則該企業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要達(dá)標(biāo)排放需要經(jīng)過(guò)的過(guò)濾時(shí)間至少約為（）

（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)In3al.l,ln5al.6）

A.12hB.16hC.26hD.33h

【答案】B

【解析】

【分析】

利用函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合條件可求出常數(shù)左的值，然后結(jié)合排放標(biāo)準(zhǔn)即可求出結(jié)論.

【詳解】

由題意，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)廢氣經(jīng)過(guò)5h的過(guò)濾，其中的污染物被消除了40%,

vy=%e",

??.(1_40%)為=獷，

:.0.6=e'5\

即—5k=In0.6,

k=-^In0.6,

k,

當(dāng)y=20%%時(shí)，2O%yo=yoe-,

即ln0.2=|xln0.6,

._51n0.2_5x(-In5)5x(-1.6)

即該企業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要達(dá)標(biāo)排放需要經(jīng)過(guò)的過(guò)濾時(shí)間至少約為16h.

故選：B.

【變式訓(xùn)練6?1】、(2022?河南安陽(yáng)?高二階段練習(xí)(理))德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾是集合論的創(chuàng)始人，以其名字命

名的“康托爾塵埃''作法如下：第一次操作，將邊長(zhǎng)為1的正方形分成9個(gè)邊長(zhǎng)為:的小正方形，保留靠角的

4個(gè)，刪除其余5個(gè)；第二次操作，將第一次剩余的每個(gè)小正方形繼續(xù)9等分，并保留每個(gè)小正方形靠角的

4個(gè)，其余正方形刪除；以此方法繼續(xù)下去，經(jīng)過(guò)〃次操作后，若要使保留下來(lái)的所有小正方形的面積之和

不超過(guò)小，則至少需要操作的次數(shù)為.(Ig2=0.3010.Ig3=0.4771)

【答案】18

【解析】

【分析】

依題意，第〃次操作后共保留4"個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)為"，即可得到保留下來(lái)的所有小正方形面積之和，

從而得到不等式，再兩邊取對(duì)數(shù)，根據(jù)換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得，

【詳解】

解：依題意，第〃次操作后共保留4"個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)為"，所以保留下來(lái)的所有小正方形面積之和為

若使得,工表，兩邊取對(duì)數(shù)可得〃之號(hào)，即

lg9

心201g2=1。愴2=10x0.3010

-21g3-21g2Ig3-lg20.4771-0.3010,

所以至少操作18次；

故答案為：18

例7,(2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí))我們都處于有聲世界之中.音量大小的單位是分貝(dB),對(duì)于一個(gè)強(qiáng)度

,22

為/的聲波，音量的定義是〃=101g：,這里/。是人耳能聽到的聲音的最低聲波強(qiáng)度，/o=lO-W/m.

⑴如果/=lW/m2,求相應(yīng)的分貝值；

(2)70dB時(shí)的聲音強(qiáng)度/是60dB時(shí)聲音強(qiáng)度廣的多少倍？

【答案】(1)120dB；

⑵10倍.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題設(shè)音量公式，將/-IW/m:代入求值即可.

(2)由題設(shè)可得/=io器巴將〃=70dB、〃=60dB代入求出對(duì)應(yīng)的/、f,即可知它們的倍數(shù)關(guān)系.

(1)

由題設(shè)，/=lW/m2時(shí)〃=101g&=101gl0i2=i20(dB).

10~

⑵

由題設(shè)，，7=10(lg/Tgl0*)=101g/+120,貝"=]0言

所以〃=70dB時(shí),Z=10-5；〃=60dB時(shí),f=10^；

所以"=肉=10,即70dB時(shí)的聲音強(qiáng)度/是60dB時(shí)聲音強(qiáng)度廠的10倍

壓力

例8.(2022?湖南?高課時(shí)練習(xí))大氣壓強(qiáng).=它的單位是“帕斯卡”(Pa.lPa=lN/m2),已知

受力面積

大氣壓強(qiáng)〃(Pa)隨高度〃(m)的變化規(guī)律是〃=〃oe-叱P“是海平面大氣壓強(qiáng)，k=0.000126mT.當(dāng)?shù)馗?/p>