數(shù)列新定義解答題專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

數(shù)列新定義解答題專項(xiàng)訓(xùn)練數(shù)列新定義解答題專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024·廣東韶關(guān)·二模）記上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為函數(shù)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列，且數(shù)列滿足.(1)求；(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列并求；(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對任意的恒成立，求t的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析，(3)【詳解】（1）因?yàn)?，則，從而有，由，則，則，解得則有，所以；（2）由，則，所以，故（非零常數(shù)），且，所以數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；（3）由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得：，因?yàn)椴坏仁綄θ我獾暮愠闪?，又且單調(diào)遞增，所以對任意的恒成立，令，x∈0,+∞，則，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，又，且，，，則，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，原式化簡為，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，原式化簡為，所以當(dāng)時(shí)，，所以；綜上可知，.2．（2024·廣東梅州·二模）已知an是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，即；前項(xiàng)的最小值記為，即，令（），并將數(shù)列稱為an的“生成數(shù)列”．(1)若，求其生成數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；(3)若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，是等差數(shù)列．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)殛P(guān)于單調(diào)遞增，所以，，于是，的前項(xiàng)和．（2）由題意可知，，所以，因此，即是單調(diào)遞增數(shù)列，且，由“生成數(shù)列”的定義可得．（3）若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，是等差數(shù)列．當(dāng)是一個(gè)常數(shù)列，則其公差必等于0，，則，因此是常數(shù)列，也即為等差數(shù)列；當(dāng)是一個(gè)非常數(shù)的等差數(shù)列，則其公差必大于0，，所以要么，要么，又因?yàn)槭怯烧麛?shù)組成的數(shù)列，所以不可能一直遞減，記，則當(dāng)時(shí)，有，于是當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，…，因此存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，…是等差數(shù)列．綜上，命題得證．3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）若無窮項(xiàng)數(shù)列滿足（，，為常數(shù)，且），則稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)設(shè)，，若首項(xiàng)為1的數(shù)列為“數(shù)列”，求；(2)若首項(xiàng)為1的等比數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(3)設(shè)，，若首項(xiàng)為1的數(shù)列為“數(shù)列”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求所有滿足的值.【答案】(1)(2)答案見解析(3)1【詳解】（1）由題意有，，，，則，，，，，，，，，，…一般有，，,所以.（2）數(shù)列bn是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為，又bn為數(shù)列，，，當(dāng)時(shí)，，，.有，又，，，于是得，解得，有或，當(dāng)時(shí)，，，bn為數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，，bn為數(shù)列，當(dāng)時(shí)，則，，構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，即，有，解得，于是得，，，bn為數(shù)列，所以①當(dāng)，，是大于1的任意正整數(shù)，則，；②當(dāng)，，，則，.（3）依題意，，，，數(shù)列為“數(shù)列”，則，，，，，，，，，，，…，，，，是公差為1的等差數(shù)列，且,所以且,所以數(shù)列是以首項(xiàng)為9，公比為2的等比數(shù)列，所以,即,即,所以所以，即，化簡得，代入，等式成立.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，方程無解，綜上所述，滿足成立的值為1.4．（2024·廣東·模擬預(yù)測）定義：任取數(shù)列中相鄰的兩項(xiàng)，若這兩項(xiàng)之差的絕對值為1，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)1”.已知項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，且數(shù)列具有“性質(zhì)1”.(1)若，且，寫出所有可能的的值；(2)若，證明：“”是“”的充要條件；(3)若，證明：或.【答案】(1)；；(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）依題意，若，此時(shí)；若，此時(shí)；若，此時(shí).（2）必要性：因?yàn)椋蕯?shù)列為等差數(shù)列，所以，公差為-1，所以；充分性：由于，累加可得，，即，因?yàn)?，故上述不等式的每個(gè)等號(hào)都取到，所以，所以，綜上所述，“”是“”的充要條件.（3）令，依題意，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以為偶?shù)，所以為偶數(shù)；所以要使，必須使為偶數(shù)，即4整除，亦即或，當(dāng)時(shí)，比如或，時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，比如或，時(shí)，有；當(dāng)或時(shí)，不能被4整除，.5．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知集合，其中且，，若對任意的，都有，則稱集合A具有性質(zhì)．(1)集合具有性質(zhì)，求m的最小值；(2)已知A具有性質(zhì)，求證：；(3)已知A具有性質(zhì)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值，并說明理由．【答案】(1)20(2)證明見解析(3)8，理由見解析【詳解】（1）不妨設(shè)，①當(dāng)時(shí)，由，不滿足題意；②當(dāng)時(shí)，由性質(zhì)定義知：，且，所以m的最小值為20；經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.（2）由題設(shè)，，且，所以，，所以，得證.（3）由（2）知：，同（2）證明得且．故，又，所以在上恒成立，當(dāng)，取，則，解得，矛盾；當(dāng)，則，即.經(jīng)計(jì)算集合，綜上，集合A中元素個(gè)數(shù)的最大值為8．6．（2024·廣東·一模）數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計(jì)算，是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其主要研究對象包括向量和矩陣.對于平面向量，其模定義為.類似地，對于行列的矩陣，其?？捎上蛄磕Ｍ卣篂椋ㄆ渲袨榫仃囍械谛械诹械臄?shù)，為求和符號(hào)），記作，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對于矩陣，其矩陣模.弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)等前沿領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.(1)，，矩陣，求使的的最小值.(2)，，，矩陣求.(3)矩陣，證明：，，.【答案】(1)10(2)(3)證明見解析【詳解】（1）由題意得.若，則，即.因式分解得.因?yàn)?，所?所以使的的最小值是10.（2）由題得第1對角線上的平方和為，第2對角線上的平方和為，第對角線上的平方和為，第對角線上的平方和為，所以所以.（3）由題意知，證明等價(jià)于證明，注意到左側(cè)求和式，將右側(cè)含有的表達(dá)式表示為求和式有故只需證成立，即證成立，令，則需證成立，記，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，即成立，所以原不等式成立.7．（2024·廣東茂名·二模）有無窮多個(gè)首項(xiàng)均為1的等差數(shù)列，記第個(gè)等差數(shù)列的第項(xiàng)為，公差為.(1)若，求的值；(2)若為給定的值，且對任意有，證明：存在實(shí)數(shù)，滿足，；(3)若為等比數(shù)列，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）由題意得，又，所以；（2）證明：因?yàn)椋?，即，所以，因此，所以，又，即，因此，所以存在?shí)數(shù)，滿足；（3）證明：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，其中為的公比，于是，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，因此，又，所以，因此，即，所?8．（2024·廣東惠州·一模）約數(shù)，又稱因數(shù)．它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù)．設(shè)正整數(shù)共有個(gè)正約數(shù)，記為，，…，，（）．(1)當(dāng)時(shí)，若正整數(shù)的個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請寫出一個(gè)的值；(2)當(dāng)時(shí)，若，，…，構(gòu)成等比數(shù)列，求證：；(3)記，求證：．【答案】(1)或（首項(xiàng)為1，公比為質(zhì)數(shù)的等比數(shù)列的第四項(xiàng)均可）(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）（1）當(dāng)時(shí)，正整數(shù)的4個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，如1，2，4，8為8的所有正約數(shù)，即；或1，3，9，27為27的所有正約數(shù)，即；或1，5，25，125為125的所有正約數(shù)，即；（首項(xiàng)為1，公比為質(zhì)數(shù)的等比數(shù)列的第四項(xiàng)均可）（2）由題意可知，，，且，因?yàn)?，，…，?gòu)成等比數(shù)列，不妨設(shè)其公比為，則，所以，化簡得：，所以，又因?yàn)?，所以，所以公比，所以，又因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以；?）由題意知，，，，，所以，因?yàn)椋?，，所以，因?yàn)?，，所以所以，即?．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）若集合的非空子集滿足：對任意給定的，若，有，則稱子集是的“好子集”.記為的好子集的個(gè)數(shù).例如：的7個(gè)非空子集中只有不是好子集，即.記表示集合的元素個(gè)數(shù).(1)求的值；(2)若是的好子集，且.證明：中元素可以排成一個(gè)等差數(shù)列；(3)求的值.【答案】(1)11(2)證明見解析(3)6【詳解】（1）的全部非空子集為，，，，，，，，，，，，，，，其中好子集有，，，，，，，，，，，共有11個(gè).所以.（2）將的元素從小到大排列，即，，其中.首先對任意的，若和奇偶性相同，則，所以，而，集合中和中間沒有項(xiàng)，故產(chǎn)生矛盾!即對任意的，和奇偶性相反，則對任意的，和奇偶性必相同，于是由題意，因，則，而且，所以.即對任意的，，即.由的任意性知，是一個(gè)等差數(shù)列.（3）記.首先證明中包含1的好子集個(gè)數(shù)為.的好子集分為兩類：包含1的和不包含1的.因?yàn)橹胁话?的好子集每個(gè)元素均減去1即為的好子集，的每個(gè)好子集每個(gè)元素均加上1即為的好子集，所以的不包含1的好子集與的好子集一一對應(yīng)，其個(gè)數(shù)為.故包含1的好子集個(gè)數(shù)為.同理可證：中包含1的好子集個(gè)數(shù)為，這也恰是中包含1但不包含的好子集個(gè)數(shù).于是中包含1且包含的好子集的個(gè)數(shù)為故題目所求的為的包含1，2024的所有好子集的個(gè)數(shù).顯然，是好子集.若好子集中除了1，2024外至少還有一個(gè)元素，則由（2）可知，中元素從小到大排列可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)為.設(shè)公差為，因?yàn)椋?，所以為的小于的正約數(shù)，故.而每一個(gè)都唯一對應(yīng)一個(gè)的包含1，2024的好子集，這樣的子集有5個(gè).因此.10．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，對于，定義集合，設(shè)為集合中的元素個(gè)數(shù)，特別規(guī)定：若時(shí)，．(1)若，寫出，及的值；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)集合，，求證：且．【答案】(1)，，；(2)；(3)證明見解析.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，由得，，所以，由得，，所以；?）由題可知，所以，即，若，則，，所以，，與bn是等差數(shù)列矛盾，所以，設(shè)，因?yàn)閍n是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以，假設(shè)存在使得，設(shè)，由得，由得，，與bn是等差數(shù)列矛盾，所以對任意都有，所以數(shù)列an是等