河北省衡水中學(xué)高三第十次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題

2017—2018學(xué)年度第一學(xué)期高三十?？荚嚁?shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（每小題5分，共60分.下列每小題所給選項只有一項符合題意，請將正確答案的序號填涂在答題卡上）1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，則?AB={x|x≤1}，故選：B．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】設(shè)z=x+yi，，∴∴在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限故選：D．3.已知中，，，則的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵，

∴化為．可得：B為銳角，C為鈍角．

∴===≤=，當(dāng)且僅當(dāng)tanB=時取等號．

∴tanA的最大值是故選A點睛：本題考查了三角形內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、和差公式、基本不等式的性質(zhì)，屬于綜合題是三角和不等式的結(jié)合.4.設(shè)，為的展開式的第一項（為自然對數(shù)的底數(shù)），，若任取，則滿足的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意，s=，∴m==e，則A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，畫出A={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面區(qū)域，任?。╝，b）∈A，則滿足ab＞1的平面區(qū)域為圖中陰影部分，如圖所示：計算陰影部分的面積為S陰影==（x﹣lnx）=e﹣1﹣lne+ln1=e﹣2．所求的概率為P=，故選：C．5.函數(shù)的圖象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】函數(shù)y=是偶函數(shù)，排除B．當(dāng)x=10時，y=1000，對應(yīng)點在x軸上方，排除A，當(dāng)x＞0時，y=x3lgx，y′=3x2lgx+x2lge，可知x=是函數(shù)的一個極值點，排除C．故選：D．6.已知一個簡單幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為，則該幾何體的表面積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】該幾何體是一個棱錐與四分之一的圓錐的組合體，其表面積為，，所以，故選D．7.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題易知：，∴故選：A點睛：利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個實數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當(dāng)都不相同時，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來進行比較大小，另一方面注意特殊值的應(yīng)用，有時候要借助其“橋梁”作用，來比較大小．........................8.執(zhí)行如下程序框圖，則輸出結(jié)果為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意得：則輸出的S=.故選：C9.如圖，設(shè)橢圓：的右頂點為，右焦點為，為橢圓在第二象限上的點，直線交橢圓于點，若直線平分線段于，則橢圓的離心率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如圖，設(shè)AC中點為M，連接OM，則OM為△ABC的中位線，于是△OFM∽△AFB，且，即=可得e==．故答案為：．點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.10.設(shè)函數(shù)為定義域為的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點的和為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意，函數(shù)，，則，可得，即函數(shù)的周期為4，且的圖象關(guān)于直線對稱．在區(qū)間上的零點，即方程的零點，分別畫與的函數(shù)圖象，兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于直線對稱，方程的零點關(guān)于直線對稱，由圖象可知交點個數(shù)為6個，可得所有零點的和為6，故選A．點睛：對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．11.已知函數(shù)，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意易得：∴函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，∴由可得∴為奇函數(shù)，∴的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，即為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，∴∴故選：A12.已知直線：，若存在實數(shù)使得一條曲線與直線有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段長度恰好等于，則稱此曲線為直線的“絕對曲線”.下面給出的四條曲線方程：①；②；③；④.其中直線的“絕對曲線”的條數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由y=ax+1﹣a=a（x﹣1）+1，可知直線l過點A（1，1）．對于①，y=﹣2|x﹣1|，圖象是頂點為（1，0）的倒V型，而直線l過頂點A（1，1）．所以直線l不會與曲線y=﹣2|x﹣1|有兩個交點，不是直線l的“絕對曲線”；對于②，（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以A為圓心，半徑為1的圓，所以直線l與圓總有兩個交點，且距離為直徑2，所以存在a=±2，使得圓（x﹣1）2+（y﹣1）2=1與直線l有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段的長度恰好等于|a|．所以圓（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是直線l的“絕對曲線”；對于③，將y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4，得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0．x1+x2=,x1x2=．若直線l被橢圓截得的線段長度是|a|，則化簡得．令f（a）=．f（1），f（3）．所以函數(shù)f（a）在（1，3）上存在零點，即方程有根．而直線過橢圓上的定點（1，1），當(dāng)a∈（1，3）時滿足直線與橢圓相交．故曲線x2+3y2=4是直線的“絕對曲線”．對于④將y=ax+1﹣a代入.把直線y=ax+1a代入y2=4x得a2x2+（2a2a24）x+（1a）2=0，

∴x1+x2=，x1x2=．

若直線l被橢圓截得的弦長是|a|，則a2=（1+a2）[（x1+x2）24x1x2]=（1+a2）化為a616a2+16a16=0，

令f（a）=a616a2+16a16，而f（1）=15<0，f（2）=16>0．

∴函數(shù)f（a）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有零點，即方程f（a）=0有實數(shù)根，當(dāng)a∈（1，2）時，直線滿足條件，即此函數(shù)的圖象是“絕對曲線”．

綜上可知：能滿足題意的曲線有②③④．

故選：C．點睛：本題以新定義“絕對曲線”為背景，重點考查了二次曲線弦長的度量問題，本題綜合性較強，需要函數(shù)的零點存在定理作出判斷.二、填空題：（本大題共4小題，每題5分，共20分）13.已知實數(shù)，滿足，且，則實數(shù)的取值范圍_______．【答案】【解析】如圖，作出可行域：，表示可行域上的動點與定點連線的斜率，顯然最大值為，最小值為∴故答案為：點睛：本題考查的是線性規(guī)劃問題，解決線性規(guī)劃問題的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域;二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯;三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.14.雙曲線的左右焦點分別為、，是雙曲線右支上一點，為的內(nèi)心，交軸于點，若，且，則雙曲線的離心率的值為__________．【答案】【解析】可設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由I為△PF1F2的內(nèi)心，可得=2，則|QF1|=m，若|F1Q|=|PF2|=m，又PQ為∠F1PF2的角平分線，可得，則n=4c﹣m，又m﹣n=2a，n=m，解得m=4a，n=2a，=2，即c=a，則e==．故答案為：．15.若平面向量，滿足，則在方向上投影的最大值是________．【答案】【解析】由可得：∴在方向上投影為故最大值為：16.觀察下列各式：；；；；……若按上述規(guī)律展開后，發(fā)現(xiàn)等式右邊含有“”這個數(shù)，則的值為__________．【答案】【解析】由題意可得第n個式子的左邊是n3，右邊是n個連續(xù)奇數(shù)的和，設(shè)第n個式子的第一個數(shù)為an，則有a2﹣a1=3﹣1=2，a3﹣a2=7﹣3=4，…an﹣an﹣1=2（n﹣1），以上（n﹣1）個式子相加可得an﹣a1=，故an=n2﹣n+1，可得a45=1981，a46=2071，故可知2017在第45個式子，故答案為：45三、解答題：（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）17.已知等差數(shù)列中，公差，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若為數(shù)列的前項和，且存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】試題分析：（1）由題意可得解得即可求得通項公式；(2),裂項相消求和，因為存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.求出的最大值即可解得的取值范圍.試題解析：（1）由題意可得即又因為，所以所以.（2）因為，所以.因為存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.又（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.所以，即實數(shù)的取值范圍是.18.為了解學(xué)生寒假期間學(xué)習(xí)情況，學(xué)校對某班男、女學(xué)生學(xué)習(xí)時間進行調(diào)查，學(xué)習(xí)時間按整小時統(tǒng)計，調(diào)查結(jié)果繪成折線圖如下：（1）已知該校有名學(xué)生，試估計全校學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)不足小時的人數(shù).（2）若從學(xué)習(xí)時間不少于小時的學(xué)生中選取人，設(shè)選到的男生人數(shù)為，求隨機變量的分布列.（3）試比較男生學(xué)習(xí)時間的方差與女生學(xué)習(xí)時間方差的大小.（只需寫出結(jié)論）【答案】(1)240人(2)見解析（3）【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，由折線圖分析可得20名學(xué)生中有12名學(xué)生每天學(xué)習(xí)不足4小時，進而可以估計校400名學(xué)生中天學(xué)習(xí)不足4小時的人數(shù)；（2）學(xué)習(xí)時間不少于4本的學(xué)生共8人，其中男學(xué)生人數(shù)為4人，故X的取值為0，1，2，3，4；由古典概型公式計算可得X=0，1，2，3，4的概率，進而可得隨機變量X的分布列；（3）根據(jù)題意，分析折線圖，求出男生、女生的學(xué)習(xí)時間方差，比較可得答案．試題解析：（1）由折線圖可得共抽取了人，其中男生中學(xué)習(xí)時間不足小時的有人，女生中學(xué)習(xí)時間不足小時的有人.∴可估計全校中每天學(xué)習(xí)不足小時的人數(shù)為：人.（2）學(xué)習(xí)時間不少于本的學(xué)生共人，其中男學(xué)生人數(shù)為人，故的所有可能取值為，，，，.由題意可得；；；；.所以隨機變量的分布列為∴均值.（3）由折線圖可得.19.如圖所示，四棱錐的底面為矩形，已知，，過底面對角線作與平行的平面交于.（1）試判定點的位置，并加以證明；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)為的中點，見解析(2)【解析】試題分析：（1）由平面得到，結(jié)合為的中點，即可得到答案；（2）求出平面EAC的法向量和平面DAC的法向量，由此利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．試題解析：（1）為的中點，證明如下：連接，因為平面，平面平面，平面，所以，又為的中點，所以為的中點.（2）連接，因為四邊形為矩形，所以.因為，所以.同理，得，所以平面，以為原點，為軸，過平行于的直線為軸，過平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）.易知，，，，，，則，.顯然，是平面的一個法向量.設(shè)是平面的一個法向量，則，即，取，則，所以，所以二面角的余弦值為.點睛：(1)求解本題要注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計算．(2)設(shè)m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與<m，n>互補或相等.求解時一定要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．20.在平面直角坐標(biāo)平面中，的兩個頂點為，，平面內(nèi)兩點、同時滿足：①；②；③.（1）求頂點的軌跡的方程；（2）過點作兩條互相垂直的直線，，直線，與的軌跡相交弦分別為，，設(shè)弦，的中點分別為，.①求四邊形的面積的最小值；②試問：直線是否恒過一個定點？若過定點，請求出該定點，若不過定點，請說明理由.【答案】（1）；（2）①的最小值的，②直線恒過定點.【解析】試題分析：（1）由可得為的重心，設(shè)，則，再由，可得為的外心，在軸上，再由∥，可得，結(jié)合即可求得頂點的軌跡的方程；（2）恰為的右焦點．當(dāng)直線，的斜率存在且不為0時，設(shè)直線的方程為．聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得的縱坐標(biāo)得到和與積．①根據(jù)焦半徑公式得、，代入四邊形面積公式，再由基本不等式求得四邊形面積的最小值；②根據(jù)中點坐標(biāo)公式得的坐標(biāo)，得到直線的方程，化簡整理令解得值，可得直線恒過定點；當(dāng)直線，有一條直線的斜率不存在時，另一條直線的斜率為0，直線即為軸，過點（.試題解析：（1）∵∴由①知∴為的重心設(shè)，則，由②知是的外心∴在軸上由③知，由，得，化簡整理得：．（2）解：恰為的右焦點，①當(dāng)直線的斜率存且不為0時，設(shè)直線的方程為，由，設(shè)則，①根據(jù)焦半徑公式得，又，所以，同理，則，當(dāng)，即時取等號．②根據(jù)中點坐標(biāo)公式得，同理可求得，則直線的斜率為，∴直線的方程為，整理化簡得，令，解得∴直線恒過定點，②當(dāng)直線有一條直線斜率不存在時，另一條斜率一定為0，直線即為軸，過點，綜上，的最小值的，直線恒過定點．點睛：（1）在圓錐曲線中研究范圍，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時，常從以下方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系；③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；⑤利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.（2）定點的探索與證明問題：①探索直線過定點時，需考慮斜率存在不存在，斜率存在可設(shè)出直線方程，然后利用條件建立等量關(guān)系進行消元，借助于直線系的思想找出定點；②從特殊情況入手，先探求定點再證明與變量無關(guān).21.已知函數(shù).（1）當(dāng)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知，，均為正實數(shù)，且，求證.【答案】(1)(2)(3)見解析【解析】試題分析：1）求導(dǎo)函數(shù)，可得切線的斜率，求出切點的坐標(biāo)，可得函數(shù)y=f（x）的圖象在x=0處的切線方程；（2）先確定﹣1≤a＜0，再根據(jù)函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，構(gòu)造=（x+1）ln（x+1）﹣x，證明h（x）在（0，1）上的值域為（0，2ln2﹣1），即可求實數(shù)a的取值范圍；（3）由（2）知，當(dāng)a=﹣1時，在（0，1）上單調(diào)遞增，證明，即從而可得結(jié)論．試題解析：（1）當(dāng)時，則，則，∴函數(shù)的圖象在時的切線方程為.（2）∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴在上無解，當(dāng)時，在上無解滿足，當(dāng)時，只需，∴①，∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立，即在上恒成立.設(shè)，∵，∴，則在上單調(diào)遞增，∴在上的值域為.∴在上恒成立，則②綜合①②得實數(shù)的取值范圍為.（3）由（2）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，于是當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，即，同理有，，三式相加得.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程是，以