北京市房山區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

20232024學(xué)年北京市房山區(qū)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，150分．考試時長120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義計算.【詳解】在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)是，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，，由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，.故選：D2.在三棱柱中，為棱的中點(diǎn)．設(shè)，用基底表示向量，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計算可得.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，因為是的中點(diǎn)，，所以.故選：A3.兩條直線與之間的距離是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意代入兩平行線之間的距離公式即可得出結(jié)果.【詳解】由兩平行線之間的距離公式可得.故選：C4.設(shè)直線的方向向量為，兩個不同的平面的法向量分別為，則下列說法中錯誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用空間向量判定空間位置關(guān)系即可.【詳解】對于A，若兩個平面的法向量互相垂直，則兩個平面垂直，即A正確；對于B，若兩個不同的平面的法向量互相平行，則兩個平面互相平行，即B正確；對于C，若一直線的方向向量與一平面的法向量平行，則該直線垂直于該平面，即C正確；對于D，若一直線的方向向量與一平面的法向量垂直，則該直線平行于該平面或者在該面內(nèi)，即D錯誤.故選：D5.如圖，四棱錐中，底面是矩形，，平面，下列敘述中錯誤的是（）A.∥平面 B.C. D.平面平面【答案】C【解析】【分析】用線面平行判定定理得到選項A是正確的；先證平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理得到B選項正確；計算與的數(shù)量積，得到，從而得出選項C錯誤；由面面垂直的判定定理易證選項D正確．【詳解】對于選項A：在矩形中，∥，平面，平面，∥平面，故選項A正確；對于選項B：平面，平面，，在矩形中，，，平面，所以平面，而平面，，故選項B正確；對于選項C：因為平面，而平面，所以，所以，而，，在一般矩形中，與不垂直，所以，即，與不垂直，故選項C不正確；對于選項D：平面，平面，所以平面平面，故選項D正確．綜述：只有選項C不正確．故選：C.6.已知為拋物線上一點(diǎn)，到的焦點(diǎn)的距離為，到軸的距離為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由焦半徑的性質(zhì)即可得.【詳解】，故.故選：B.7.下列雙曲線中以為漸近線的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求出各個選項的漸近線，找到滿足漸近線為的方程即可.【詳解】對于選項A:由，焦點(diǎn)在軸上，易得,所以漸近線為，即，故選項A正確；對于選項B:由，焦點(diǎn)在軸上，易得,所以漸近線為，即，故選項B錯誤；對于選項C:由，焦點(diǎn)在軸上，易得,所以漸近線為，即，故選項C錯誤；對于選項D:由，焦點(diǎn)在軸上，易得,所以漸近線為，即，故選項D錯誤.故選：A.8.已知點(diǎn)，．若直線上存在點(diǎn)P，使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將問題化為直線與圓有交點(diǎn)，注意直線所過定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再應(yīng)用點(diǎn)線距離公式列不等式求k的范圍.【詳解】由題設(shè)，問題等價于過定點(diǎn)的直線與圓有交點(diǎn)，又圓外，所以只需，可得.故選：D9.已知雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為，，這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的和雙曲線的定義結(jié)合焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，在橢圓中，則，因為是以為底邊的等腰三角形，所以，由橢圓的定義可知，，所以，再由雙曲線的定義可得，所以，因為雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.10.如圖，在棱長為2的正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點(diǎn)Q，使得 B.存在點(diǎn)Q，使得平面C.三棱錐的體積是定值 D.存在點(diǎn)Q，使得PQ與AD所成的角為【答案】B【解析】【分析】A由、即可判斷；B若為中點(diǎn)，根據(jù)正方體、線面的性質(zhì)及判定即可判斷；C只需求證與面是否平行；D利用空間向量求直線夾角的范圍即可判斷.【詳解】A：正方體中，而P為線段的中點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，所以，故不可能平行，錯；B：若為中點(diǎn)，則，而，故，又面，面，則，故，，面，則面，所以存在Q使得平面，對；C：由正方體性質(zhì)知：，而面，故與面不平行，所以Q在線段上運(yùn)動時，到面的距離不一定相等，故三棱錐的體積不是定值，錯；D：構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則，，且，所以，，若它們夾角為，則，令，則，當(dāng)，則，；當(dāng)則；當(dāng)，則，；所以不在上述范圍內(nèi)，錯.故選：B第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．11.若直線與直線垂直，則的值為___．【答案】【解析】【分析】由兩直線垂直的條件求解.【詳解】結(jié)合題意：由兩直線垂直可得：解得：.故答案為：.12.復(fù)數(shù)的實(shí)部為__________．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡復(fù)數(shù)，由此可得出復(fù)數(shù)的實(shí)部.【詳解】，因此，復(fù)數(shù)的實(shí)部為.故答案為：.13.已知圓．則圓的圓心坐標(biāo)為___；若圓與圓內(nèi)切，則___．【答案】①.②.【解析】【分析】第一空：由圓標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出圓心坐標(biāo).第二空：由幾何關(guān)系表示出內(nèi)切即可.【詳解】圓心為，半徑；圓心為，半徑；設(shè)兩圓的圓心距為，則由幾何關(guān)系知兩圓內(nèi)切.故答案為：；.14.如圖，在正方體中，直線與直線所成角的大小為___；平面與平面夾角的余弦值為___．【答案】①.##②.【解析】【分析】根據(jù)線線角、面面角等知識求得正確答案.【詳解】由于，所以是異面直線與直線所成角或其補(bǔ)角，而四邊形是正方形，所以.連接交于，則，連接，由于，是的中點(diǎn)，所以，所以是平面與平面夾角，設(shè)正方體的邊長為，則，所以在直角三角形中，.故答案為：；15.已知直線，則與的交點(diǎn)坐標(biāo)為_____________；若直線不能圍成三角形，寫出一個符合要求的實(shí)數(shù)的值________________．【答案】①.②.答案不唯一（只需寫出中的一個即可）【解析】【分析】聯(lián)立方程組解得交點(diǎn)坐標(biāo)；列出直線不能圍成三角形的條件，分別解出即可.【詳解】解方程組，得，所以與的交點(diǎn)坐標(biāo)為；由得，直線恒過定點(diǎn)；若直線不能圍成三角形，只需經(jīng)過，或與平行，或與平行.當(dāng)經(jīng)過時，圖1所示，，；當(dāng)與平行時，圖2所示，，；當(dāng)與平行時，圖3所示，，.故答案為：；或或（只需寫出中的一個即可）.圖1圖2圖316.已知曲線，給出下列四個命題：①曲線關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對稱；②當(dāng)時，曲線共有四個交點(diǎn)；②當(dāng)時，③當(dāng)時，曲線圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界）兩點(diǎn)之間的距離的最大值是；④當(dāng)時，曲線圍成的區(qū)域面積大于曲線圍成的區(qū)域面積．其中所有真命題的序號是____________．【答案】①②③【解析】【分析】①將點(diǎn)代入方程，判斷方程是否滿足即可；②聯(lián)立曲線方程求得或，進(jìn)而求交點(diǎn)個數(shù)；③④由曲線是圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓，利用二次函數(shù)性質(zhì)求曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的范圍，結(jié)合對稱性即可判斷.【詳解】①設(shè)點(diǎn)在上，對于點(diǎn)，代入方程，也在上；對于點(diǎn)，代入方程，也在上；對于點(diǎn)，代入方程，也在上；所以曲線關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱，正確；②聯(lián)立可得，即或，當(dāng)時，都有，即存在交點(diǎn)；當(dāng)時，都有，即存在交點(diǎn)；綜上，共有四個交點(diǎn)，正確；③當(dāng)時，則，故，可得，曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)距離，當(dāng)時，結(jié)合對稱性知：曲線對圍成的平面區(qū)域內(nèi)（含邊界）兩點(diǎn)之間的距離的最大值是3，正確.④當(dāng)時，對于曲線是圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓，設(shè)曲線圍成的區(qū)域為，曲線圍成的區(qū)域為，設(shè)，則，故，故，故，故在的內(nèi)部，故的面積不大于的面積，故④錯誤.故答案為：①②③三、解答題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17.已知復(fù)數(shù)．（1）求；（2）若，求；（3）若，且是純虛數(shù)，求．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)模的計算公式直接求解；（2）利用復(fù)數(shù)除法進(jìn)行計算；（3）設(shè)，根據(jù)條件列方程求解即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】；【小問3詳解】設(shè)，則，所以①，因為是純虛數(shù)，所以②由①②聯(lián)立，解得或所以或．18.已知的三個頂點(diǎn)分別為．（1）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求中線所在直線的方程；（2）求邊上的高線的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段的中點(diǎn)為的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)斜式即得中線所在直線的方程；（2）由題意可得直線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式可得方程，然后由點(diǎn)到直線的距離公式代入可求得邊上的高線的長.【小問1詳解】設(shè)的坐標(biāo)為，則，，即，所以，則中線所在直線方程為，即．【小問2詳解】由題意得．則直線的方程為，即中，邊上的高線的長就是點(diǎn)到直線的距離．19.已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．（1）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）求弦長．【答案】（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為（2）16【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程即可；（2）直線與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)弦長公式求得弦長.小問1詳解】由拋物線的方程可知，拋物線開口向右，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．【小問2詳解】將代入，整理得．設(shè)，則，所以.20.如圖，在五面體中，四邊形是正方形，是等邊三角形，平面平面，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大??；（3）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理來證明線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量發(fā)求線面角；（3）先利用向量法求點(diǎn)到面的距離，然后利用體積公式求解棱錐體積.【小問1詳解】因為是等邊三角形，是的中點(diǎn)，所以．平面，又平面平面，平面平面，所以平面；【小問2詳解】記的中點(diǎn)為，易知兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則令，此時．設(shè)直線與平面所成角，則所以直線與平面所成角為；【小問3詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，則．由平面幾何知識，易知在直角梯形中，所以．21.已知橢圓C：（）的一個焦點(diǎn)為，一個頂點(diǎn)為．（1）求橢圓的方程和離心率；（2）已知直線與橢圓相切于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求的面積．【答案】（1）