7.4 空間距離（精講）（教師版）

7.4空間距離（精講）一．點到線的距離1.概念：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離；設(shè)AP＝，直線l的一個單位方向向量為，則向量AP在直線l上的投影向量AQ＝，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝|AP|2-|AQ二．兩異面直線間的距離：即兩條異面直線公垂線段的長度.三．點到平面的距離：已知平面α的法向量為，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度.因此四．直線到平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離；五．兩個平面間的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.一．求點面距常見方法方法一：作點到面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離方法二：等體積法方法三：向量法二.向量法求兩異面直線的距離分別以這兩條異面直線上任意兩點為起點和終點的向量為，與這兩條異面直線都垂直的法向量為，則兩條異面直線間的距離就是在方向上的正射影向量的模，設(shè)為d，從而由公式求解.考點一點線距【例1-1】（2023春·江西南昌）如圖，是棱長為的正方體，若在正方體內(nèi)部且滿足，則到的距離為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】以A為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，，且為銳角，，點到的距離.故選：D.【例1-2】（2023·江蘇徐州·?？寄M預測）在空間直角坐標系中，直線的方程為，空間一點，則點到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，直線的方程為，即，則直線的方向向量為，又因為過點，，，則，故在上的射影為：，故點到直線的距離為：.故選：D.【一隅三反】1．（2023春·廣東茂名·高三校考階段練習）菱形的邊長為4，，E為AB的中點（如圖1），將沿直線DE翻折至處（如圖2），連接，，若四棱錐的體積為，點F為的中點，則F到直線BC的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】連接，因為四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，因為E為AB的中點，所以，所以，因為，平面，所以平面，因為菱形的邊長為4，所以，所以直角梯形的面積為，設(shè)四棱錐的高為，則，得，所以，所以平面，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，所以所以，所以F到直線BC的距離為，故選：A

2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是a，且，，E為的中點，則點E到直線的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】在平行六面體中，不妨設(shè)，，．,，，，所以，，，所以E到直線的距離為，故選：A考點二線線距【例2】（2023·全國·高三專題練習）長方體中，，，為的中點，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，設(shè)與的公垂線的一個方向向量為，則，取，得，，即，又，所以異面直線與之間的距離為．故選：D．【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習）在長方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，以為原點，所在直線為軸如圖建立空間直角坐標系則設(shè)直線與的公垂線的方向向量為則不妨令又則異面直線與之間的距離故選：D2．（2023·全國·高三專題練習）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值．在棱長為1的正方體中，直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)為直線上任意一點，過作，垂足為，可知此時到直線距離最短設(shè)，，則，，，，即，，即，，，，當時，取得最小值，故直線與之間的距離是.故選：B.3．（2023·全國·高三專題練習）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在長方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，則，則，，設(shè)和的公垂線的方向向量，則，即，令，則，，.故選：D.考點三點面距【例3-1】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；(2)若為側(cè)棱的中點，且平面與平面所成角的余弦值為，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）取中點，連接，為正三角形，則，面面，面面，面，則面，

面，故，又，面，，所以面，面，故，則平行四邊形為矩形.（2）如下圖，以為原點，為軸，為軸建立坐標系，設(shè)，則，，，，，所以，，

設(shè)面的法向量為，則，令，則，設(shè)面的法向量為，則，令，則，由，解得，則面的法向量為，，點到平面的距離.【例3-2】（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預測）如圖，在四面體中，．點為棱上的點，且，三棱錐的體積為．

(1)求點A到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【解析】（1）取中點，連接，因為，所以，又平面，所以平面，而平面，所以，由已知，所以，由平面平面，得平面平面，因此在平面內(nèi)的射影就是直線，設(shè)在面的射影為，則在直線上，由題意知,則,所以，所以，又因為，所以與重合，所以平面，以為原點，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，

所以點坐標為，．設(shè)平面的一個法向量是，則，取，則，即，所以點A到平面的距離．（2）設(shè)平面的法向量為，則，取，則，故，所以，由于平面與平面夾角范圍為，所以平面與平面夾角的余弦值是．【一隅三反】1．（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期中）如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，為等邊三角形，面底面ABCD，E為AD的中點.

(1)求證：；(2)在線段BD上存在一點F，使直線AP與平面PEF所成角的正弦值為.①確定點F的位置；②求點C到平面PEF的距離.【答案】(1)證明見解析(2)①點的位置是線段上靠近的三等分點；②【解析】（1）取中點，連接，,為等邊三角形,,面底面，面底面，面，面，，，，又，面，面，，

（2）①如圖以為原點，為軸，為軸建立空間

直角坐標系.設(shè)，，，，,,，，，，，設(shè)是平面的一個法向量則有，令解得：因為直線與平面所成角的正弦值為即解得，所以點的位置是線段上靠近的三等分點，②，，，點到平面的距離.2．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）在如圖所示的圓錐中，已知為圓錐的頂點，為底面的圓心，其母線長為6，邊長為的等邊內(nèi)接于圓錐底面，且.

(1)證明：平面平面；(2)若為中點，射線與底面圓周交于點，當二面角的余弦值為時，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因為為圓錐的頂點，為底面的圓心，所以面.又因為面，所以，即.因為為外接圓圓心，且為正三角形，所以.又因為且，面，所以面，因為面，所以面面.（2）作交于，取中點為.因為，，所以.因為面，，面，所以，.如圖，以點為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系.因為，，所以，，所以，，，，.由，得，，，，.設(shè)面的法向量為，則，取，則，，所以.設(shè)面的法向量為，則,取，則，，所以.由，且，解得，所以，.又因為，所以，所以到面的距離.

考點四面面距【例4】（2023·全國·高三專題練習）在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為A． B．C． D．【答案】B【解析】建立如圖所示的直角坐標系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量，則，即，解得，故，顯然平面平面，所以平面與平面之間的距離．【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點．求：(1)直線與平面的距離；(2)平面與平面的距離．【答案】(1)(2)【解析】1）解：因為平面，四邊形為正方形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，因為、分別為、的中點，則，平面，平面，平面，因為且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，，、平面，平面平面，平面，平面，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，直線與平面的距離為.（2）解：因為平面平面，則平面與平面的距離為.2．（2023·全國·高三專題練習）直四棱柱中，底面為正方形，邊長為，側(cè)棱，分別為的中點，分別是的中點．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）法一:證明：連接分別為的中點，分別是的中點，，平面，平面，平面，平行且等于，是平行四邊形，，平面，平面，平面，，平面平面；法二:如圖所示，建立空間直角坐標系，

則，，，，，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，平面平面，（2）法一:平面與平面的距離到平面的距離．中，，，，由等體積可得，．法二:設(shè)平面的一個法向量為，則，則可取，，平面與平面的距離為3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點．(1)求證：平面平面EFG；(2)求平面與平面EFG間的距離．【答案】(1)證明見詳解；(2)﹒【解析】（1）∵E是AB中點，F(xiàn)是BC中點，∴連接AC得，EF∥AC，∵是平行四邊形，∴，又平面平面，∥平面，同理，連接可得，可得EG∥平面，與平面EFG，∴平面∥平面EFG﹒（2）如圖：以D為原點，DA、DC、分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系Oxyz﹒則∴，設(shè)平面的法向量為，則，取，則平面與平面EFG間的距離為﹒4．（2023·全國·高三專題練習）底面為菱形的直棱柱中，分別為棱的中點.(1)在圖中作一個平面，使得，且平面.（不必給出證明過程，