8.4 統(tǒng)計案例（精練）（教師版）

8.4統(tǒng)計與統(tǒng)計案例（精練）1（2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某學(xué)校組建了演講，舞蹈，合唱，繪畫，英語協(xié)會五個社團，全校2000名學(xué)生每人都參加且只參加其中二個社團，校團委從這2000名學(xué)生中隨機選取部分學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的兩個統(tǒng)計圖：

則選取的學(xué)生中，參加繪畫社團的學(xué)生數(shù)為（

）A．20 B．30 C．40 D．45【答案】A【解析】選取的學(xué)生中，合唱的比例為，所以繪畫的比例為，所以選取的學(xué)生中，參加繪畫社團的學(xué)生數(shù)為.故選:A.2．（2024秋·湖北武漢·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）公司邀請用戶參加某產(chǎn)品的試用并評分，滿意度為10分的有1人，滿意度為9分的有1人，滿意度為8分的有2人，滿意度為7分的有4人，滿意度為5分和4分的各有1人，則該產(chǎn)品用戶滿意度評分的平均數(shù)?眾數(shù)?中位數(shù)?85%分位數(shù)分別為（

）A．8分，7分，7分，9分B．8分，7分，7分，8.5分C．7.2分，7分，7分，9分D．7.2分，7分，7分，8.5分【答案】C【解析】把10個數(shù)據(jù)從小到大排列：4，5，7，7，7，7，8，8，9，10，故平均數(shù)為：（分），出現(xiàn)次數(shù)最多的是7，因此眾數(shù)為7分，中位數(shù)為（分），又，所以85%分位數(shù)在第9位，即9分.故選：C.3．（2023·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預(yù)測）“說文明話、辦文明事、做文明人，樹立城市新風(fēng)尚！創(chuàng)建文明城市，你我共同參與！”為宣傳創(chuàng)文精神，華強實驗中學(xué)高一（2）班組織了甲乙兩名志愿者，利用一周的時間在街道對市民進行宣傳，將每天宣傳的次數(shù)繪制成如下頻數(shù)分布折線圖，則以下說法不正確的為（

）

A．甲的眾數(shù)小于乙的眾數(shù) B．乙的極差小于甲的極差C．甲的方差大于乙的方差 D．乙的平均數(shù)大于甲的平均數(shù)【答案】D【解析】由圖可知，甲志愿者的宣傳次數(shù)分別為：4，5，6，3，4，3，3，乙志愿者的宣傳次數(shù)分別為：5，4，4，5，4，3，3，甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，故D錯誤，甲的眾數(shù)為3，乙的眾數(shù)為4，故甲的眾數(shù)小于乙的眾數(shù)，故A正確；甲的極差為3，乙的極差為2，則乙的極差小于甲的極差，故B正確；甲的方差為，乙的方差為，故甲的方差大于乙的方差，故C正確．故選：D．4．（2023春·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）2023年考研成績公布不久，對某?！败浖こ獭睂I(yè)參考的200名考生的成績進行統(tǒng)計，可以得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，，，，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表值，則下列說法中不正確的是（

）

A．這200名學(xué)生成績的眾數(shù)為370分B．這200名學(xué)生成績的平均分為377分C．這200名學(xué)生成績的70%分位數(shù)為386分D．這200名學(xué)生成績在中的學(xué)生有30人【答案】C【解析】顯然眾數(shù)是370，故A正確；平均分為，故B正確；設(shè)70%分位數(shù)為，則，得，故C錯誤；，故D正確.故選：C5．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？家荒＃┠承履茉雌嚿a(chǎn)公司，為了研究某生產(chǎn)環(huán)節(jié)中兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計樣本數(shù)據(jù)得到如下表格：由表格中的數(shù)據(jù)可以得到與的經(jīng)驗回歸方程為，據(jù)此計算，下列選項中殘差的絕對值最小的樣本數(shù)據(jù)是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由表格數(shù)據(jù)知：，，，經(jīng)驗回歸方程為；對于A，殘差的絕對值為；對于B，殘差的絕對值為；對于C，殘差的絕對值為；對于D，殘差的絕對值為；殘差絕對值最小的樣本數(shù)據(jù)是.故選：C.6（2023秋·云南保山·高三統(tǒng)考期末）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，中醫(yī)藥全面參與疫情防控救治，做出了重要貢獻(xiàn).某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：研發(fā)投入（億元）12345產(chǎn)品收益（億元）3791011用最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗回歸直線方程是，相關(guān)系數(shù)（若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高），下列說法不正確的有（

）A．變量與正相關(guān)且相關(guān)性較強B．C．當(dāng)時，的估計值為40.3D．相應(yīng)于點的殘差為0.8【答案】D【解析】對于A，由相關(guān)系數(shù)可知變量與正相關(guān)且相關(guān)性較強，故A正確；對于B，由表中數(shù)據(jù)可得，所以，解得，故B正確；對于C，關(guān)于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程可得，，故C正確；對于D，相應(yīng)于點的殘差為，故錯誤.故選：D.7．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若需要刻畫預(yù)報變量和解釋變量的相關(guān)關(guān)系，且從已知數(shù)據(jù)中知道預(yù)報變量隨著解釋變量的增大而減小，并且隨著解釋變量的增大，預(yù)報變量大致趨于一個確定的值，為擬合和之間的關(guān)系，應(yīng)使用以下回歸方程中的（，為自然對數(shù)的底數(shù)）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A：因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且，所以隨著的增大而增大，不合題意，故A錯誤；對于B：因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且，所以隨著的增大而減小，當(dāng)解釋變量，，不合題意，故B錯誤；對于C：因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且，所以隨著的增大而減小，當(dāng)解釋變量，，不合題意，故C錯誤；對于D：因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減且，所以隨著的增大而減小，當(dāng)解釋變量，，故D錯誤；故選：D．8．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）某醫(yī)院護士對甲、乙兩名住院病人一周內(nèi)的體溫進行了統(tǒng)計，其結(jié)果如圖所示，則下列說法正確的有（

）

A．病人甲體溫的極差為B．病人乙的體溫比病人甲的體溫穩(wěn)定C．病人乙體溫的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)都為D．病人甲體溫的上四分位數(shù)為【答案】BC【解析】對于選項A：病人甲體溫的最大值為，最小值為，故極差為，故A錯誤；對于選項B：病人乙的體溫波動較病人甲的小，極差為，也比病人甲的小，因此病人乙的體溫比病人甲的體溫穩(wěn)定，故B正確；對于選項C：病人乙體溫按照從小到大的順序排列為：，病人乙體溫的眾數(shù)、中位數(shù)都為，病人乙體溫的平均數(shù)為：，故C正確；對于選項D：病人甲體溫按照從小到大的順序排列為：，又，病人甲體溫的上四分位數(shù)為上述排列中的第6個數(shù)據(jù)，即，故D錯誤．故選：BC．9．（2023春·山東菏澤·高三校考開學(xué)考試）（多選）一組樣本數(shù)據(jù)，且成等差數(shù)列，其中是最小值，是最大值，則下列各選項正確的是（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D．的極差不大于的極差【答案】ABD【解析】對于選項A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，則，因為數(shù)據(jù)且成等差數(shù)列，確定，所以判斷,故A正確；對于選項B：不妨設(shè)，可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；對于選項C：因為是最小值，是最大值，則的波動性不大于的波動性，即的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，例如：，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，顯然，即；故C錯誤；對于選項D：不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；故選：ABD.10．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)校考開學(xué)考試）（多選）若甲組樣本數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為3，乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，下列說錯誤的是（

）A．的值不確定B．乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為甲組樣本數(shù)據(jù)方差的2倍C．兩組樣本數(shù)據(jù)的極差可能相等D．兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等【答案】ABC【解析】對選項A，由題意可知，，故A錯誤；對選項B，易知乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為甲組樣本數(shù)據(jù)方差的倍，故B錯誤；對選項C，不妨設(shè)，則甲組數(shù)據(jù)的極差為，乙組數(shù)據(jù)的極差為，又已知甲組數(shù)據(jù)各不相同，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的極差不相等，故C錯誤；對選項D，設(shè)甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，當(dāng)時，，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等，故D正確.故選：ABC.11．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）（多選）某公司經(jīng)營五種產(chǎn)業(yè)，為應(yīng)對市場變化，在五年前進行了產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，優(yōu)化后的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)使公司總利潤不斷增長，今年總利潤比五年前增加了一倍，調(diào)整前后的各產(chǎn)業(yè)利潤與總利潤的占比如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（

）

A．調(diào)整后傳媒的利潤增量小于雜志B．調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤有所下降C．調(diào)整后試卷的利潤增加不到一倍D．調(diào)整后圖書的利潤增長了一倍以上【答案】ABC【解析】設(shè)調(diào)整前的各產(chǎn)業(yè)利潤的總和為，則調(diào)整后的各產(chǎn)業(yè)利潤的總和為.對于選項A，調(diào)整前傳媒的利潤為，雜志的利潤為，調(diào)整后傳媒的利潤為，雜志的利潤為，則調(diào)整后傳媒的利潤增量為，雜志的利潤增量為，故選項A不正確；對于選項B，調(diào)整前房地產(chǎn)的利潤為，調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤為，故選項B不正確；對于選項C，調(diào)整前試卷的利潤為，調(diào)整后試卷的利潤為，且，故選項C不正確；對于選項D，調(diào)整前圖書的利潤為，調(diào)整后圖書的利潤為，且，故選項D正確.故選：ABC.12．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）大連市教育局為了解二十四中學(xué)、第八中學(xué)、育明中學(xué)三所學(xué)校的學(xué)生文學(xué)經(jīng)典名著的年閱讀量，采用樣本比例分配的分層隨機抽樣抽取了一個容量為120的樣本.其中，從二十四中學(xué)抽取容量為35的樣本，平均數(shù)為4，方差為9；從第八中學(xué)抽取容量為40的樣本，平均數(shù)為7，方差為15；從育明中學(xué)抽取容量為45的樣本，平均數(shù)為8，方差為21，據(jù)此估計，三所學(xué)校的學(xué)生文學(xué)經(jīng)典名著的年閱讀量的（

）A．均值為6.3 B．均值為6.5C．方差為17.52 D．方差為18.25【答案】BD【解析】設(shè)二十四中學(xué)、第八中學(xué)、育明中學(xué)三組數(shù)據(jù)中每個人的數(shù)據(jù)分別為,,，均值，方差，故選：BD13．（2023秋·廣西南寧·高三南寧市武鳴區(qū)武鳴高級中學(xué)校考開學(xué)考試）（多選）下列命題為真命題的有（

）A．若隨機變量的方差為，則B．已知關(guān)于的回歸直線方程為，則樣本點的殘差為C．若隨機變量，且，則D．根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)的獨立性檢驗，有的把握認(rèn)為與有關(guān)【答案】BC【解析】對于A，因為，所以，故A錯誤；對于B，由，得樣本點的殘差為，故B正確；對于C，若隨機變量，且，可得，則，故C正確；對于D，根據(jù)，故沒有的把握認(rèn)為與有關(guān)，故D錯誤．故選：BC．14．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）若為一組從小到大排列的數(shù)1，2，3，5，6，8的第六十百分位數(shù)，則的展開式中的系數(shù)為.【答案】【解析】由，得，于是展開式中含的項為，所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：15．（2024秋·浙江·高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知成對樣本數(shù)據(jù)中互不相等，且所有樣本點都在直線上，則這組成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)．【答案】【解析】因為所有樣本點都在直線上，顯然直線的斜率，所以樣本數(shù)據(jù)成負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為.故答案為：16．（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)校考二模）年月日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐留半年的太空飛行任務(wù)，標(biāo)志著中國空間站關(guān)鍵技術(shù)驗證階段圓滿完成．并將進入建造階段某地區(qū)為了激發(fā)人們對天文學(xué)的興趣，開展了天文知識比賽，滿分分（分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，這人按年齡分成組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有人．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人的第百分位數(shù)（中位數(shù)第百分位數(shù)）；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者．①若有甲（年齡），乙（年齡）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為和，據(jù)此估計這人中歲所有人的年齡的平均數(shù)和方差．【答案】(1)(2)①；②年齡的平均數(shù)為，方差約為【解析】（1）設(shè)第百分位數(shù)為，，，位于第四組：內(nèi)；方法一：由得：．方法二：由得：．（2）①由題意得，第四組應(yīng)抽取人，記為，，，甲；第五組抽取人，記為，乙，對應(yīng)的樣本空間為：，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，，乙，甲，甲乙，乙，共個樣本點．設(shè)事件為“甲、乙兩人至少一人被選上”，則有甲，乙，甲，乙，甲，乙，甲，甲乙，乙，共有個樣本點．；②設(shè)第四組的宣傳使者的年齡分別為，平均數(shù)分別為，方差分別為，設(shè)第五組的宣傳使者的年齡分別為，，平均數(shù)分別為，方差分別為，則，，，，可得，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為．則，即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，則.即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為；據(jù)此估計這人中年齡在歲的所有人的年齡的平均數(shù)為，方差約為．17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了提高鄉(xiāng)鎮(zhèn)居民收入，對山區(qū)進行大面積指導(dǎo)農(nóng)民種植黃茋、黨參、當(dāng)歸等藥材，同時在種植藥材附近種植草，讓牛羊吃，發(fā)展畜牧業(yè)，第二年將種植藥材的地改種草讓牛羊吃，將牛羊吃過的草地改種藥材，這樣藥材的生長主要依靠牛羊等有機肥來供給，提高藥效，同時增加農(nóng)民的經(jīng)濟收入.現(xiàn)將該鄉(xiāng)鎮(zhèn)某農(nóng)戶近7年（2016-2022年對應(yīng)年份代碼1-7）的種植藥材的收入金額繪成折線圖，同時統(tǒng)計出相關(guān)數(shù)據(jù)：，，，，.(1)根據(jù)圖中所給出的折線圖，判斷和哪一個更適合作為回歸模型；（給出判斷即可，不必說明理由）(2)求相關(guān)系數(shù)（保留兩位小數(shù)）并求藥材種植收入關(guān)于年份代碼的回歸直線方程；(3)若在生物學(xué)上將在藥材附近同時種植草稱作間作，將藥材和草每年輪流種植稱作輪作，根據(jù)題目所給信息，分析這兩種種植方式對當(dāng)?shù)鼐用袷杖氲挠绊?附：相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.【答案】(1)(2)，(3)答案見解析【解析】（1）因為折線圖更接近直線，所以更適合作為回歸模型.（2），，相關(guān)系數(shù)，根據(jù)題意，可得，，.種植藥材收入金額關(guān)于年份代碼的回歸直線方程為.（3）（答案不唯一，合理即可）①間作：藥材和草的間作一方面可以同時發(fā)展畜牧業(yè)來增加居民收入，另一方面可以實現(xiàn)土地的利用率，實現(xiàn)單位面積內(nèi)經(jīng)濟效益的最大化；②輪作：一方面牛羊糞等有機肥可以用來供給藥材的生長從而提高鄉(xiāng)鎮(zhèn)居民收入，另一方面可以調(diào)節(jié)土壤的肥沃能力，形成良性循環(huán)，進一步提高土地的生態(tài)效益和經(jīng)濟效益.17．（2022秋·四川遂寧·高三射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）文旅部門統(tǒng)計了某網(wǎng)紅景點在2022年3月至7月的旅游收入（單位：萬），得到以下數(shù)據(jù)：月份34567旅游收入1012111220(1)根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，求出關(guān)于之間的線性回歸方程；(2)為調(diào)查游客對該景點的評價情況，隨機抽查了200名游客，得到如下列聯(lián)表，請?zhí)顚懴旅娴牧新?lián)表，能否有99.9%的把握認(rèn)為“游客是否喜歡該網(wǎng)紅景點與性別有關(guān)聯(lián)”.喜歡不喜歡總計男100女60總計110參考公式：線性回歸方程：，其中，.臨界值表：【答案】(1)(2)表格見解析，有99.9%的把握認(rèn)為“游客是否喜歡該網(wǎng)紅景點與性別有關(guān)聯(lián)”.【解析】（1）由已知得：，，，則關(guān)于的線性回歸方程為：.（2）依題意可得列聯(lián)表如下：喜歡不喜歡總計男7030100女4060100總計11090200零假設(shè)：游客是否喜歡該網(wǎng)紅景點與性別無關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即有99.9%的把握認(rèn)為“游客是否喜歡該網(wǎng)紅景點與性別有關(guān)聯(lián)”.18．（2023秋·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）中央電視臺“國家品牌計劃”欄目組為了做好新能源汽車的品牌推介，利用網(wǎng)絡(luò)平臺對年齡（單位：歲）在內(nèi)的人群進行了調(diào)查，并從參與調(diào)查者中隨機選出600人，把這600人分為對新能源汽車比較關(guān)注和不太關(guān)注兩類，制成如下表格：年齡男性人數(shù)4012016080比較關(guān)注人數(shù)87211248女性人數(shù)107010020比較關(guān)注人數(shù)5498016(1)完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為性別與對新能源汽車的關(guān)注有關(guān)；比較關(guān)注不太關(guān)注總計男性女性總計(2)為了進一步了解不同性別的消費者對新能源汽車的關(guān)注情況，采用分層抽樣的方法從這600人中選出6人進行訪談，最后從這6人中隨機選出3人參與電視直播節(jié)目，記其中男性的人數(shù)為，求的分布列與期望．附：，其中．0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】(1)表格見解析，能；(2)分布列見解析，2.【解析】（1）由給定的數(shù)表知，男性總?cè)藬?shù)為400，其中比較關(guān)注的有240人，女性中比較關(guān)注的有150人，列聯(lián)表如下：比較關(guān)注不太關(guān)注總計男性240160400女性15050200總計390210600則所以能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為性別與對新能源汽車的關(guān)注有關(guān).（2）已知600人中男性與女性的比為，則所抽男性人數(shù)為人，所抽女性人數(shù)為人，依題意，的可能值為1，2，3，，因此，，，所以的分布列為：123期望為.20．（2023秋·陜西漢中·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）為加強學(xué)生對垃圾分類意義的認(rèn)識，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的垃圾分類的習(xí)慣，某校團委組織了垃圾分類知識問卷調(diào)查.從該校隨機抽取100名男生和100名女生參與該問卷