9.2 橢圓（精講）（教師版）

9.2橢圓（精講）一．橢圓的定義1.定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．2.焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2.3.焦距：兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|.4.半焦距：焦距的一半．5.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：(1)若a＞c，則集合P為橢圓；(2)若a＝c，則集合P為線段；(3)若a＜c，則集合P為空集.二．橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)為2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸和y軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)離心率e＝eq\f(c,a)(0＜e＜1)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2一.若點(diǎn)P在橢圓上，F(xiàn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則1.b≤|OP|≤a；2.a－c≤|PF|≤a＋c.二.焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫作焦點(diǎn)三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中：(1)當(dāng)r1＝r2時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大；(2)S＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為bc.三．標(biāo)準(zhǔn)方程1.利用定義法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，要注意條件2a＞|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形(焦點(diǎn)位置)，再定量，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)應(yīng)用①方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1與eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ(λ＞0)有相同的離心率.②與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)共焦點(diǎn)的橢圓系方程為eq\f(x2,a2＋k)＋eq\f(y2,b2＋k)＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰當(dāng)運(yùn)用橢圓系方程，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便.四．橢圓離心率建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下：1.直接求出a，c，利用離心率公式e＝eq\f(c,a)求解．2.由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．3.構(gòu)造a，c的齊次式．離心率e的求解中可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系式，從而求得e.五．弦長(zhǎng)(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解．(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|(k≠0)．六．直線與橢圓位置關(guān)系的方法(1)研究直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)問題；(2)對(duì)于過定點(diǎn)的直線，也可以通過定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點(diǎn)．考點(diǎn)一橢圓的定義及應(yīng)用【例1-1】（2023春·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓為兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為4，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】設(shè)橢圓的焦距為，則，的周長(zhǎng)為，解得，故選：D【例1-2】（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【解析】由橢圓，得，，.

設(shè)，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.【一隅三反】1．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【解析】因?yàn)?所以四邊形是平行四邊形.所以.由橢圓的定義得.所以.故選：C

2．（2024秋·廣東廣州·高三華南師大附中?？奸_學(xué)考試）橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以，所以，則當(dāng)最大時(shí)，面積最大，此時(shí)點(diǎn)位于橢圓的上下端點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，所?故選：C.

3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意橢圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，可得，

則①，即，由余弦定理得，，故，②聯(lián)立①②，解得：，而，所以，即，故選：B考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（2023秋·課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點(diǎn)在軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)和；(2)經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)Q.(3)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)；(4)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)和；(5)焦點(diǎn)在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點(diǎn)．【答案】(1)(3)(4)(5)【解析】（1）由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于橢圓經(jīng)過點(diǎn)和，∴，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)橢圓方程為，則，∴橢圓方程為.（3）由題意知，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，易知，∴，又，∴，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（4）∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，∴可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)和，∴，解之得，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（5）根據(jù)題意可知，又焦點(diǎn)在y軸上，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴由橢圓的定義可得，即，∴，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【一隅三反】1．（2023秋·課時(shí)練習(xí)）若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意，方程表示橢圓，則，解得或，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：B2（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）以下方程表示橢圓的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A選項(xiàng)，方程，即，表示圓，不是橢圓，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，方程，即，方程中間是減號(hào)，不是橢圓，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，方程，即，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，方程右邊不是，不是橢圓，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C3．（2023秋·廣東）已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（

）A．6 B．C．24 D．【答案】D【解析】橢圓化為：，顯然，有，而橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，因此，所以.故選：D4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）F，A分別為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6，且，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．1或D．1或【答案】D【解析】當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，，因?yàn)椋?，，所以，所以橢圓方程為；同理，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓方程為.故選：D考點(diǎn)三離心率【例3-1】（2023秋·陜西西安·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，若焦距為4，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題得，即，由焦距為4得，解得，可得橢圓方程為，所以，，所以離心率為.故選：B.【例3-2】（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為，，P，Q為C上兩點(diǎn)，，若，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，.在中得：，即.因此，，，在中得：，故，所以.故選：D【一隅三反】1．（2022秋·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，離心率，解得：.故選：C.2．（2023秋·四川成都·高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、半短軸長(zhǎng)、半焦距分別為，，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓，又點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，該圓內(nèi)含于橢圓，即，，，．故選：A．

3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【【解析】依題意，直線的斜率為，設(shè)，則，且，由兩式相減得：，于是，解得，此時(shí)橢圓，顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，符合要求，所以橢圓的離心率.故選：A考點(diǎn)四直線與橢圓的位置關(guān)系【例4-1】．（2023秋·課時(shí)練習(xí)）若直線與橢圓有唯一公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)．【答案】【解析】直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去，得①.方程①的判別式.因?yàn)橹本€l與橢圓C有唯一公共點(diǎn)．則，解得.故答案為：.【例4-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓上點(diǎn)P(1,1)處的切線方程是．【答案】【解析】∵橢圓，∴y>0時(shí)，，∴，∴x＝1時(shí)，，即切線斜率，∴橢圓上點(diǎn)P(1,1)處的切線方程是，即．故答案為：．【一隅三反】1．（2023春·上海閔行）直線與橢圓恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍是．【答案】【解析】橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，由題意得，則若恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，故答案為：.2．（2022秋·江西南昌·）如果直線l：與橢圓C：總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】直線l：過定點(diǎn)，因?yàn)橹本€l：與橢圓C：總有公共點(diǎn)，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上，則有，故答案為：3．（2023·全國(guó)·專題練習(xí)）直線與橢圓(m>0)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，則m＝，點(diǎn)P的坐標(biāo)是.【答案】【解析】法1：聯(lián)立方程得，得，所以，得，所以.法2：設(shè)，則處切線，可化為，比對(duì)得，代入橢圓方程得：，得.得，所以，得，所以.法3：橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦點(diǎn).由橢圓的定義知，橢圓上每一個(gè)點(diǎn)P，均滿足，橢圓上外部的每一個(gè)點(diǎn)P，均滿足，直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，則對(duì)于直線上任意一點(diǎn)，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)在處時(shí)，取得最小值.求得關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以，因此，橢圓方程為，P的坐標(biāo)是.故答案為：；考點(diǎn)五弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦的問題【例5-1】（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，弦被點(diǎn)平分．(1)求直線的方程；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)橄冶稽c(diǎn)平分，所以設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)則，兩式相減得：），所以直線的斜率，故直線的方程為（2），聯(lián)立橢圓與直線方程得所以，所以，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以．

【例5-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P恰為弦AB的中點(diǎn)，則直線l的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，則，，且，，作差得，所以，即直線l的斜率是．故選：C．【一隅三反】1．（2023秋·河南鄭州·高三?？奸_學(xué)考試）已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)若過橢圓C的左焦點(diǎn)，傾斜角為的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)(2)【解析】1）依題意得，，所以，，所以橢圓C的方程為.（2）因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線，聯(lián)立，消去并整理得，，設(shè)，，則，，所以，所以.

2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓的方程為．【答案】【解析】由題意，在橢圓中，一個(gè)焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓的方程為,∴，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為,弦中點(diǎn)為∵直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，，∴即∴.∴，解得：∴橢圓的方程為：，故答案為：.故答案為：.

考點(diǎn)六直線與橢圓的綜合運(yùn)用【例6】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓的方程為．【答案】【解析】由題意，在橢圓中，一個(gè)焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓的方程為,∴，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為,弦中點(diǎn)為∵直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，，∴即∴.∴，解得：∴橢圓的方程為：，故答案為：.故答案為：.

【一隅三反】1．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·?？寄M預(yù)測(cè)）橢圓的離心率，過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為，求直線與直線的斜率之積.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因?yàn)闄E圓的離心率，所以，即，又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，所以橢圓的方程為；（2）如圖所示：