9.3 雙曲線（精講）（教師版）

9.3雙曲線（精講）一.雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)若a<c，則集合P為雙曲線；(2)若a＝c，則集合P為兩條射線；(3)若a>c，則集合P為空集.二．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)性質(zhì)圖形焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實(shí)軸：線段A1A2，長(zhǎng)：2a；虛軸：線段B1B2，長(zhǎng)：2b；實(shí)半軸長(zhǎng)：a，虛半軸長(zhǎng)：b離心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c關(guān)系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)三.等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝eq\r(2).四．直線與雙曲線的位置關(guān)系和弦長(zhǎng)1.判斷直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：將直線方程代入雙曲線方程，消元，得關(guān)于x或y的一元二次方程．當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí)，直線與雙曲線相交于某支上一點(diǎn)，這時(shí)直線平行于一條漸近線；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，用判別式Δ來判定．2.弦長(zhǎng)公式設(shè)直線y＝kx＋b與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2).一．求標(biāo)準(zhǔn)方程1.定義法：根據(jù)雙曲線的定義確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，求出雙曲線方程，即“先定型，再定量”2.待定系數(shù)法：先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根據(jù)條件求解．3.常用設(shè)法：①與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共漸近線的方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；②若雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，則雙曲線的方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．二.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法1.直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.2.列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.3.雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線可由eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0即得兩漸近線方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0.4.雙曲線的漸近線的相關(guān)結(jié)論(1)若雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x(a＞0，b＞0)，即eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，則雙曲線的方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).(2)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于虛半軸長(zhǎng)b.(3)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線y＝±eq\f(b,a)x的斜率k與離心率e的關(guān)系：e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(1＋k2).三.圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形的相關(guān)結(jié)論(1)焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中①當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大.②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b時(shí)，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為bc.③焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c).若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ為∠F1PF2.考點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用【例1-1】（2023·陜西渭南）如果雙曲線上一點(diǎn)到它的右焦點(diǎn)的距離是，那么點(diǎn)到它的左焦點(diǎn)的距離是（

）A． B． C．或 D．不確定【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，則；則，由雙曲線定義可得，即，所以或，由于，故點(diǎn)到它的左焦點(diǎn)的距離是或，故選：C【例1-2】（2023·廣東潮州）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線的右支上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以要求的最小值，只需求的最小?如圖,連接交雙曲線的右支于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)A位于點(diǎn)處時(shí)，最小，最小值為.故的最小值為.

故選：C【例1-3】（2023·江蘇）設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的周長(zhǎng)等于，．【答案】22【解析】在雙曲線中，實(shí)半軸長(zhǎng)，半焦距，則，顯然，又，解得，所以的周長(zhǎng)等于，.故答案為：22；【一隅三反】1．（2023·江蘇）（多選）設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在雙曲線上，且，則（）A．5 B．3C．7 D．6【答案】BC【解析】由雙曲線的定義可知，即，所以或．故選：BC．2．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【解析】由題意知，.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由是雙曲線右支上的點(diǎn)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.又，則.所以，的最小值為.故答案為：.

3．（2023·全國(guó)·課堂例題）P為雙曲線右支上一點(diǎn)，M，N分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為.【答案】5【解析】雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，分別為兩圓的圓心，

兩圓的半徑分別為，，易知，，故的最大值為.故答案為：5考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2-1】（2023秋·課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，曲線上的動(dòng)點(diǎn)到的距離之差為6，則曲線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可得,由雙曲線定義可知，所求曲線方程為雙曲線一支，且,即，所以.又因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以曲線方程為.故選:A.【例2-2】（2024秋·浙江·高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知等軸雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)雙曲線的方程為（），代入點(diǎn)，得，故所求雙曲線的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：A．【例2-3】（2023·江蘇）下列選項(xiàng)中的曲線與共焦點(diǎn)的雙曲線是（）A． B．1C．1 D．1【答案】D【解析】雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，半焦距，對(duì)于A，方程，即，是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，而半焦距為，A不是；對(duì)于B，C，方程、都是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，BC不是；對(duì)于D，方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，半焦距為，D是.故選：D【一隅三反】（2023·江蘇）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，經(jīng)過點(diǎn)；(2)與雙曲線1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)；(3)過點(diǎn)P，Q且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．(4)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是,雙曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于；(5)焦點(diǎn)在軸上，經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．(6)虛軸長(zhǎng)為12，離心率為；(7)焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且過點(diǎn)；(8)頂點(diǎn)間距離為6，漸近線方程為y＝±x.(9)以直線為漸近線，過點(diǎn)；(10)與橢圓有公共焦點(diǎn)，離心率為.【答案】(1)．(2)(3)(4)(5)(6)或(7)(8)或(9)(10)【解析】（1）由，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得，不符合題意；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得．故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）法一：∵雙曲線1的焦點(diǎn)在軸上，∴設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴，即．①∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，∴．②由①②得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．法二：設(shè)所求雙曲線的方程為．∵雙曲線過點(diǎn)，∴，解得或（舍去）．故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（3）設(shè)雙曲線的方程為．∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（4）由已知得，即,∵，∴.∵焦點(diǎn)在軸上，∴所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是;（5）設(shè)雙曲線的方程為，則,∴雙曲線方程為.（6）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.由題意知，且，，，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（7），，.又∵焦點(diǎn)在軸上，∴設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，.把點(diǎn)代入方程，解得.∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（8）設(shè)以為漸近線的雙曲線方程為（），當(dāng)時(shí)，，，得；當(dāng)時(shí)，，，得；∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.（9）方法一：由題意可設(shè)所求雙曲線方程為，由題意，得解得，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；方法二：由題意可設(shè)所求雙曲線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程解得，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（10）方法一：由橢圓方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，即且焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)?，所以，則，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；方法二：因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在x軸上，所以可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)?，所以，解得，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.考點(diǎn)三離心率與漸近線【例3-1】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的焦距為，則的漸近線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得：，解得：，即雙曲線的方程為，所以的漸近線方程是.故選：A.【例3-2】（2023·河南·校聯(lián)考二模）已知雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，，，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為.由題意，點(diǎn)在雙曲線的右支上，，，由余弦定理得，解得，即，，根據(jù)雙曲線定義得，解得，故雙曲線的離心率.故選：D【例3-3】（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：（，），斜率為的直線l過原點(diǎn)O且與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，P為第二象限上的點(diǎn)，連接PF，，QF，，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和直線l的對(duì)稱性知，四邊形為平行四邊形.因?yàn)橐訮Q為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，即四邊形為矩形，由直線l的斜率為，得，又，則是等邊三角形，所以.在中，，則，故，又由雙曲線定義知，所以，則.故選：B.【一隅三反】1．（2023·廣西桂林）雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】化已知雙曲線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，可知焦點(diǎn)在y軸，且a＝3，b＝2，故漸近線方程為.故選：A．2．（2023春·新疆巴音郭楞）設(shè)、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作軸的垂線與相交于、兩點(diǎn)，若為正三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，因?yàn)檩S，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則為線段的中點(diǎn)，

因?yàn)闉榈冗吶切危瑒t，所以，，所以，，則，所以，，則，因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.3．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┮阎请p曲線C：的左焦點(diǎn)，，直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】雙曲線的漸近線為，又，，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的一條漸進(jìn)線平行，所以，即，所以，又，所以，所以，解得或（舍去），所以，故選：B考點(diǎn)四直線與雙曲線的位置關(guān)系【例4-1】（2023湖南）已知雙曲線，直線，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍，使：(1)直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn)．【答案】(1)或或；(2)或(3)或【解析】（1）聯(lián)立，消整理得，（*）因?yàn)橹本€l與雙曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以，整理得解得：或或.（2）當(dāng)即時(shí)，直線l與雙曲線的漸近線平行，方程（*）化為，故方程（*）有唯一實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線相交，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足題意．當(dāng)時(shí)，因?yàn)橹本€l與雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則，解得；綜上，或.（3）因?yàn)橹本€l與雙曲線C沒有公共點(diǎn)，所以，解得：或.【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值可以是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】雙曲線的漸近線方程為，直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，又直線過原點(diǎn)則則的取值可以是.故選：B．2．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)和雙曲線，過點(diǎn)且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．無數(shù)條【答案】A【解析】由題意可得，雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn).①若直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，合乎題意；②若直線的斜率存在，則當(dāng)直線平行于漸近線時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).若直線的斜率為，則直線的方程為，此時(shí)直線為雙曲線的一條漸近線，不合乎題意.綜上所述，過點(diǎn)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有條.故選：A.3．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，若直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】雙曲線可得，，，所以雙曲線的漸近線方程為，右焦點(diǎn)為，因?yàn)橹本€與只有一個(gè)交點(diǎn)，所以直線與雙曲線的漸近線平行，所以，解得.故選：B.4（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）過點(diǎn)且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）條．A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由雙曲線得其漸近線方程為．①過點(diǎn)且分別與漸近線平行的兩條直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；②設(shè)過點(diǎn)且與雙曲線相切的直線為，聯(lián)立，化為得到，解得．則切線分別與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．綜上可知：過點(diǎn)且與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有4條．故選:.考點(diǎn)五弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦【例5-1】（2023·全國(guó)·課堂例題）過雙曲線的右焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)．【答案】8【解析】由雙曲線，得，，焦點(diǎn)為，傾斜角，法一：直線斜率，直線方程為，聯(lián)立消得，，由韋達(dá)定理知，代入弦長(zhǎng)公式，得.法二：.故答案為：8.【例5-2】（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線，與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【解析】由題意得雙曲線左焦點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于橫軸時(shí)，不符合題意，雙曲線漸近線方程為；故可設(shè)，與雙曲線聯(lián)立可得，，由弦長(zhǎng)公式知，則或.故存在四條直線滿足條件.故選：D【例5-3】（2023·福建）已知雙曲線過點(diǎn)作一直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，并使P為AB的中點(diǎn)，則直線AB的斜率為（）A．3 B．4C．5 D．6【答案】D【解析】設(shè)，，則有與，兩式相減得：，即，又因?yàn)闉锳B的中點(diǎn)，所以，得到，即直線AB的斜率為6.故選：D.【一隅三反】1．（2023·安徽）過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，兩式相減得直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選：A2．（2023春·河南周口）過點(diǎn)作斜率為1的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，則有，兩式做差后整理得，由已知，，又，，得故選：B3．（2023河北）經(jīng)過點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且為中點(diǎn)．(1)求直線的方程．(2)求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)，代入雙曲線方程得，兩式相減得，即，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以直線的斜率為所以的方程為，即，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以直線的方程為；（2）將代入中得，故，所以.考點(diǎn)六直線與雙曲線的綜合運(yùn)用【例6】（2023秋·安徽）已知雙曲線C：（，）的離心率為2，在C上.(1)求雙曲線C的方程；(2)不經(jīng)過點(diǎn)P的直線l與C