9.4 拋物線（精練）（教師版）

9.4拋物線（精練）1．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）圖1是世界上單口半徑最大、靈敏度最高的射電望遠(yuǎn)鏡“中國天眼”——口徑拋物面射電望遠(yuǎn)鏡，反射面的主體是一個(gè)拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為拋物面），其邊緣距離底部的落差約為156.25米，它的一個(gè)軸截面開口向上的拋物線C的一部分，放入如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知該拋物線上點(diǎn)P到底部水平線（x軸）距離為，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令拋物線方程為且，由題設(shè)在拋物線上，則，得，又且，則P到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為米.故選：A2．（2023春·河北廊坊）已知拋物線，過點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，則直線，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之積為（

）A． B．8 C．4 D．【答案】A【解析】設(shè)l的方程為，聯(lián)立，得，則，所以，所以．故選：A3．（2023秋·海南·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與交于，兩點(diǎn)，且，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】令，則，故，所以，所以，故準(zhǔn)線為，則.故選：B4．（2023·四川資陽·統(tǒng)考三模）已知拋物線C：，過點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率是（

）A． B．4 C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則作差得.因?yàn)椋訮是線段AB的中點(diǎn)，所以，則直線l的斜率.故選：A5．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)為，則直線l的斜率為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】易知直線l的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，，則，兩式相減得，整理得，因?yàn)镸N的中點(diǎn)為，則，所以，即直線l的斜率為3．故選：C．6．（2023·四川成都·樹德中學(xué)校考模擬預(yù)測）為：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，且在第一象限，若，且直線斜率為，則的面積（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】

如圖，設(shè)點(diǎn)，，所以，由題意，所以，得，或（舍去），所以，，故選：B7．（2023春·廣東汕頭·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為為上一動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的值為4B．當(dāng)時(shí)，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為C．的最小值為3D．的最大值為【答案】ACD【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，，故，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，由可得，所以，所以拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，整理得：，故B錯(cuò)誤；對于C，如圖，過點(diǎn)作準(zhǔn)線于點(diǎn)，則由拋物線定義可知：，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，和最小，最小值為，故C正確；

對于D，由題意得：，連接并延長，交拋物線于點(diǎn)，此點(diǎn)即取最大值的點(diǎn)，此時(shí)，其他位置的點(diǎn)，由三角形兩邊之差小于第三邊得：，故的最大值為，故D正確.

故選：ACD8．（2023·河北·校聯(lián)考一模）（多選）拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)不在拋物線上，且滿足的最小值為，則的值可以為（

）A． B．3 C． D．【答案】ABC【解析】

如上圖所示，若A在拋物線內(nèi)，易知，拋物線的準(zhǔn)線為，過P作PE垂直于拋物線準(zhǔn)線，垂足為E，過A作AB垂直于拋物線準(zhǔn)線，垂足為B，交拋物線于，由拋物線的定義知，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，即重合時(shí)取得最小值，，又A在拋物線內(nèi)，故，所以，即；若A在拋物線外，連接AF交拋物線于G點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取得最小值，此時(shí)即.

綜上.故選：ABC9．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)F（2，0）作斜率為的弦AB，其中點(diǎn)A在第一象限，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】拋物線方程為，設(shè)直線的方程，代入得，設(shè)，則，對A：顯然不關(guān)于軸對稱，故，A錯(cuò)誤；對B：，所以，B正確；對C：，C錯(cuò)誤；對D：，D正確.故選：BD10．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線上有點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，為等邊三角形，則點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【解析】拋物線焦點(diǎn)為，點(diǎn)在準(zhǔn)線上，在等邊中，，因此長等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即有與拋物線準(zhǔn)線垂直，

令拋物線準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)，則，由軸，得，于是，令，則，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：11．（2022秋·廣東梅州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)，則C的方程為.【答案】或.【解析】由題意得，設(shè)，則由拋物線的定義得，則，所以圓心的橫坐標(biāo)為，其半徑也為，所以圓與y軸相切，又因?yàn)橐訫F為直徑的圓過點(diǎn)，所以切點(diǎn)為，所以圓心為，則，又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以，即，解得或，所以拋物線方程為：或.故答案為：或.12．（2023春·廣東廣州）已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到軸的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和最小值為.【答案】【解析】由題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，由拋物線的定義可知點(diǎn)到軸的距離即為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，故點(diǎn)到軸的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，根據(jù)圓的性質(zhì)可知點(diǎn)到軸的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點(diǎn)共線（、在之間）時(shí)取等號.

故答案為：.13．（2023·福建）已如，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為.【答案】3【解析】依題意，設(shè)，有，圓的圓心，半徑，于是，

因此，表示拋物線上的點(diǎn)到y(tǒng)軸距離與到定點(diǎn)的距離的和，而點(diǎn)在拋物線內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)是過點(diǎn)垂直于y軸的直線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值3，所以的最小值為3.故答案為：3.14．（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┮阎菕佄锞€上一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【解析】由題可知，過拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作直線的垂線交直線于，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，為拋物線焦點(diǎn).由，得，所以，如圖所示則動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為所以,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即,(為點(diǎn)到直線的距離).所以到直線的距離為所以，所以.所以的最小值為.故答案為：.15．（2024秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到焦點(diǎn)F的距離為．【答案】4【解析】因?yàn)樵谏?，故，A到準(zhǔn)線的距離為，故A到焦點(diǎn)F的距離為4.故答案為：416．（2024秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為．【答案】2【解析】因?yàn)樵趻佄锞€C：上，所以，解得，故拋物線C的準(zhǔn)線為，所以點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.17．（2022秋·陜西渭南）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為3，則弦AB的長為．【答案】10【解析】設(shè)，則，由拋物線方程可知，由線段的中點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為3得，，∴故答案為：.18．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）過拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為.【答案】【解析】易知，拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，

所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，則，故，，又，即，即，所以，，可得，，解得.此時(shí)，又因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，故的面積為.故答案為：.19．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）已知拋物線上兩點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對稱，則直線AB的斜率為.【答案】2【解析】設(shè)，代入拋物線，得，則①，因?yàn)閮牲c(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對稱，則，所以由①得，直線AB的斜率為2.則直線AB：與代入拋物線聯(lián)立，得，，解得.所以直線AB的斜率為2.故答案為：2.20．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若l的傾斜角為，則線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離是．【答案】3【解析】由題意，拋物線為，則，即直線為，∴將直線方程代入拋物線整理得：，設(shè)，，則，故線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為代入直線，得，∴線段的中點(diǎn)到軸的距離是.故答案為：3.21．（2023秋·廣東深圳·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）過拋物線C：焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且，若M為AB的中點(diǎn)，則M到y(tǒng)軸的距離為.【答案】【解析】作出拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)、在上的射影分別是、，連接、，過作于，設(shè)，則，由點(diǎn)、分別在拋物線上，結(jié)合拋物線的定義，得，，因此，中，，得所以，直線的傾斜角，得直線的斜率．直線的方程為，代入，可得，或，為的中點(diǎn)，，∴到軸的距離為，故答案為：

22．（2023·人大附中?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，，AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，則．【答案】【解析】由拋物線定義知：，而AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，即，所以，即.故答案為：23．（2023秋·課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，則，若點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，可得，即，拋物線方程為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為，過作直線的垂線，垂足為，，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且最小值為（即到準(zhǔn)線的距離）.故答案為：；

24．（2023·江蘇）設(shè)點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到直線的距離之和的最小值；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)4【解析】（1）如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，由拋物線的定義知點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.于是，問題轉(zhuǎn)化為在曲線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到的距離之和最小.顯然，連接與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，故最小值為＝.

（2）如圖，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，

此時(shí)，，那么,即最小值為4.25．（2023·江蘇）若位于軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)到的距離比它到軸的距離大，點(diǎn)，求的最小值，并求出點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】最小值為,【解析】由題意可知，動(dòng)點(diǎn)到的距離與它到直線的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，拋物線方程為，由于點(diǎn)M在拋物線上，所以|MF|等于點(diǎn)M到其準(zhǔn)線l的距離|MN|，

過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，于是.當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即取最小值，這時(shí)的縱坐標(biāo)為2，可設(shè)，代入拋物線方程得，即.26（2023秋·課時(shí)練習(xí)）當(dāng)k為何值時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)？僅有一個(gè)公共點(diǎn)？無公共點(diǎn)？【答案】答案見解析【解析】由，得.當(dāng)時(shí)，方程化為一次方程，該方程只有一解，原方程組只有一組解，∴直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，二次方程的判別式，當(dāng)時(shí)，得，，∴當(dāng)或時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)；由得，此時(shí)直線與拋物線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；由得或，此時(shí)直線與拋物線無公共點(diǎn)．綜上，當(dāng)或時(shí)，直線與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，直線與拋物線無公共點(diǎn)．27．（2023秋·湖北隨州·高三隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)校考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心為C的動(dòng)圓過點(diǎn)，且在軸上截得的弦長為4，記C的軌跡為曲線E．(1)求E的方程；(2)已知及曲線E上的兩點(diǎn)B和D，直線AB，AD的斜率分別為，，且，求證：直線BD經(jīng)過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）設(shè)圓心，半徑為，因?yàn)閳A心為C的動(dòng)圓過點(diǎn)，所以，因?yàn)閳A心為C的動(dòng)圓在軸上截得的弦長為4，所以，所以，即，所以曲線E是拋物線.（2）證明：由題意點(diǎn)坐標(biāo)適合，即點(diǎn)A在E上，由題意可知BD斜率不會為0，設(shè)直線：，聯(lián)立，消去并整理得，需滿足，即，設(shè)，，則，，

因?yàn)?，，所以，所以，將，代入得，即，所以直線：，即，所以直線BD經(jīng)過定點(diǎn).1．（2023·河南·模擬預(yù)測）P為拋物線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)．如下圖，，的最小值為5．若直線與拋物線交于點(diǎn)N，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過點(diǎn)作于，過作于，交拋物線于，連接，如圖，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)取等號，所以的最小值為，解得，即有，由得點(diǎn)，因此，在中，由余弦定理得，則，令外接圓半徑為，由正弦定理得，則，所以外接圓的面積為.故選：D2．（2023秋·河南鄭州·高三?？奸_學(xué)考試）（多選）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)F為，過點(diǎn)的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．的最小值為3B．C的準(zhǔn)線方程為C．D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為【答案】ABD【解析】如圖：對于A,B，由拋物線的焦點(diǎn)為，則，即，其準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，易知，故選項(xiàng)A正確，B正確；由題意可知，過點(diǎn)的直線的方程可設(shè)為，代入拋物線,可得，，則直線始終與拋物線圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè),則，當(dāng)時(shí)，取到最小值，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由C可得直線的方程為，由，可知到直線的距離等于到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),，則當(dāng)時(shí)，，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.

3．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知O為拋物線的頂點(diǎn)，直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M，N分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，則下列說法正確的是（

）A．若直線l過焦點(diǎn)F，則N，O，P三點(diǎn)不共線B．若直線l過焦點(diǎn)F，則C．若直線l過焦點(diǎn)F，則拋物線C在M，N處的兩條切線的交點(diǎn)在某定直線上D．若，則直線l恒過點(diǎn)【答案】BCD【解析】設(shè)直線，聯(lián)立方程，得設(shè)，，則選項(xiàng)A，若直線l過焦點(diǎn)F，則，，又，，，三點(diǎn)共線，A錯(cuò)；

選項(xiàng)B，由拋物線的定義和平行線的性質(zhì)知：，又，，所以B對；選項(xiàng)C，設(shè)與拋物線相切的切線方程為，則化簡得．由，可得，即，所以與拋物線相切的切線方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程可得，則，所以過的切線方程為．同理，過的切線方程為，聯(lián)立，得：拋物線在點(diǎn)M，N處的切線的交點(diǎn)在定直線上，所以C對；

選項(xiàng)D，因?yàn)?，，將韋達(dá)定理代入得：.所以直線l恒過點(diǎn)，所以D對.故選：BCD.4．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，，直線左邊的拋物線上存在一點(diǎn)，則（

）A． B．C．若點(diǎn)，則 D．當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，面積為【答案】ACD【解析】對于A，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，消去x化簡得：，∴，代入拋物線方程得：，A正確；對于B，∵，解得，所以，B錯(cuò)誤；對于C：分別做、于、點(diǎn)，弦的中點(diǎn)于，所以，，，，所以，所以以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，由選項(xiàng)B得，時(shí)，，得，時(shí)，，得，所以圓心，所以與準(zhǔn)線的切點(diǎn)為，所以點(diǎn)在圓外，所以是銳角，即，C正確；

對于D：直線方程為，斜率為，當(dāng)過點(diǎn)的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)，所以，得，所以點(diǎn)，此時(shí)，所以面積的最大值為，當(dāng)斜率為時(shí)，同理求得面積為，D正確.

故選：ACD.5．（2023·全國·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，圓，直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．若，則 D．為定值【答案】BD【解析】對于A，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，得，所以A錯(cuò)誤，對于B，設(shè)，由，得，則，所以，因?yàn)橹本€恒過圓心，所以，所以，所以，所以B正確，對于C，因?yàn)橹本€過拋物線的焦點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，所以，解得，所以C錯(cuò)誤，對于D，因?yàn)橹本€過拋物線的焦點(diǎn)，所以，所以為定值，所以D正確，故選：BD

6．（2023秋·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l為其準(zhǔn)線，點(diǎn)A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不是原點(diǎn)O），線段與x軸交于點(diǎn)M，連接并延長交準(zhǔn)線于點(diǎn)D，則（

）A．若點(diǎn)M為C的焦點(diǎn)，則直線平行于x軸B．若點(diǎn)M為C的焦點(diǎn)，則線段的長度的最小值為4C．若，則點(diǎn)M為C的焦點(diǎn)D．若與的面積之積為定值，則點(diǎn)M為C的焦點(diǎn)【答案】AB【解析】直線的斜率不為0，設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)M在線段上，所以，

聯(lián)立直線和拋物線方程得，則，所以，，直線的方程為，得，又因?yàn)?，故，對于A，若為焦點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，A選項(xiàng)正確；對于B，若為焦點(diǎn)，則，，則，B選項(xiàng)正確；對于C，若，有，即，所以，解得或0（舍去），C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D，，只需M橫坐標(biāo)為定值即可，故D錯(cuò)誤.故選：AB7．（2023秋·河北唐山）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，連接并延長，交拋物線于點(diǎn)，若中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則當(dāng)最大時(shí)，．【答案】16【解析】由題可得拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.設(shè)，則由拋物線定義可得，又由題可得中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則.則.則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，則為等邊三角形，即直線AD斜率為或.如圖，設(shè)此時(shí)AD方程為，將其與拋物線聯(lián)立有.設(shè)D，則由韋達(dá)定理有.再由拋物線定義有.故答案為：.

8．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【解析】由題可知，過拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作直線的垂線交直線于，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，為拋物線焦點(diǎn)，由，得，所以，如圖所示則動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即(此時(shí)為點(diǎn)到直線的距離)，所以到直線的距離為，所以，所以.所以的最小值為.故答案為：9．（2023秋·陜西西安·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，，且.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率存在的直線過點(diǎn)且交拋物線于，兩點(diǎn)，若直線，交拋物線于，兩點(diǎn)（、與、不重合），求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由題設(shè)，則，，又，故，整理得，解得.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）若直線不過點(diǎn)，如圖，

設(shè)，，，，由題意可知直線的斜率存在且不為0，則直線的斜率，所以直線的方程為，即，由直線過定點(diǎn)，可得同理直線的方程為，過焦點(diǎn)，可得，的方程，過焦點(diǎn)，可得.直線的方程為，由，得，所以，即.又因?yàn)?，所?令，解得，故直線恒過定點(diǎn).若直線過點(diǎn)，直線即為直線，其方程為，即，顯然直線過點(diǎn).綜上，直線過定點(diǎn).10．（2024秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知拋物線C：焦點(diǎn)為，直線l與拋物線C交于，兩點(diǎn)，且，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．(1)求拋物線C的方程；(2)求證：直線l過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由題設(shè)，則，所以拋物線方程為.（2）令l：，，，聯(lián)立得：，則，，

，解得或，由得：，故，∴l(xiāng)：過定點(diǎn).11．（2023·寧夏銀川·?？寄M預(yù)測）已知拋物線和圓，傾斜角為的直線過焦點(diǎn)，且與相切.(1)求拋物線的方程；(2)動(dòng)點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)在上，若在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，設(shè)，證明點(diǎn)在定直線上，并求該定直線的方程.【答案】(1)；(2)證