專題5 構造函數證明不等式（解析版）

專題5構造函數證明不等式一、考情分析函數與導數一直是高考中的熱點與難點,利用導數證明不等式在近幾年高考中出現的頻率比較高．求解此類問題關鍵是要找出與待證不等式緊密聯系的函數,然后以導數為工具來研究該函數的單調性、極值、最值(值域),從而達到證明不等式的目的．二、解題秘籍(一)把證明轉化為證明此類問題一般是有最小值且比較容易求,或者有最小值,但無法具體確定,這種情況下一般是先把的最小值轉化為關于極值點的一個函數,再根據極值點所在范圍,確定最小值所在范圍【例1】（2024屆重慶市南開中學高三上學期第一次質量檢測）已知函數.(1)求證：當時，；(2)求證：.【解析】（1）證明：因為，則，，當時，，，，函數單調遞減，則成立；當時，令，則，因為函數、在上均為減函數，所以，函數在上為減函數，因為，，所以存在，使得，且當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，而，所以，又因為，所以存在，使得，當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，因為，所以，，所以，對任意的時，成立，綜上，對任意的恒成立.（2）證明：由（1），對任意的，，則，即，對任意的，，所以，，則，所以，從而可得，上述兩個不等式相加可得，所以，，又由（1），因為，則，可得，當且時，，所以，，即，所以，當時，，從而有，上述兩個不等式相加得：，所以，，當時，，即，所以，對任意的，，因此，.(二)把證明轉化為證明此類問題是證明不等式中最基本的一類問題,把兩個函數通過作差轉化為一個函數,再利用導數研究該函數的性質,通過函數性質證明該不等式.【例2】（2024屆廣東省河源市高三上學期開學聯考）已知函數，，其中.(1)求過點且與函數的圖象相切的直線方程；(2)①求證：當時，；②若函數有兩個不同的零點，，求證：.【解析】（1），設切點的坐標為，則切線方程為，因為切線過點，所以，解得，所以切線方程為.（2）①令，，令，則，當時，，所以在上單調遞增，所以，所以在上單調遞增，所以，即當時，；②，若，，則在上單調遞增，最多只有一個零點，不符合題意；若，，令，因為，，且，當時，，所以在上單調遞增，又因為當時，；當時，，又因為，所以恰有一解，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以為函數的唯一的極大值點，因為當時，，當時，，所以函數有兩個不同的零點，等價于，即，不妨設，當，，所以，由（1）得，直線與函數切于原點得：當時，，因為，所以當時，結合①中有，令，即當時，，所以一定存在兩個不同的根，設為，，因為，所以，又因為，位于單調遞減區(qū)間，所以，同理，所以，所以，因為，所以，又因為，所以，所以.(三)把證明轉化為證明有時候把證明轉化為證明后,可能會出現的導函數很復雜,很難根據導函數研究的最值,而的最小值及的最大值都比較容易求,可考慮利用證明的方法證明原不等式,但要注意這種方法有局限性,因為未必有.【例3】（2024屆廣東省部分學校高三上學期第二次聯考）已知函數.(1)討論的單調性；(2)當時，證明：.【解析】（1）由題意可得.則時，由，得，由，得，則在上單調遞減，在上單調遞增；當時，由，得，由，得，則在上單調遞增，在上單調遞減.（2）因為，所以.因為，所以.要證，即證，即證.設，則.當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增.故.設，則.當時，，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減.故.因為，且兩個最值的取等條件不同，所以，即當時，.(四)把證明轉化為證明若直接證明比較困難,有時可利用導數中的常見不等式如構造一個中間函數,或利用不等式的性質通過放縮構造一個中間函數,再通過證明來證明原不等式.【例4】已知函數在區(qū)間上單調．(1)求的最大值；(2)證明：當時,．【解析】(1)由已知得,,要使函數在區(qū)間上單調,可知在區(qū)間上單調遞增,令,得,即,解得,（）,當時滿足題意,此時,在區(qū)間上是單調遞增的,故的最在值為.(2)當時,要證明,即證明,而,故需要證明.先證：,（）記,,時,,所以在上遞增,,故,即.再證：,（）令,則則,故對于,都有,因而在,上遞減,對于,都有,因此對于,都有.所以成立,即成立,故原不等式成立.(五)改變不等式結構,重新構造函數證明不等式此類問題要先對待證不等式進行重組整合,適當變形,找到其等價的不等式,觀察其結構,根據結構構造函數.常見的變形方法有：=1\*GB3①去分母,把分數不等式轉化為整式不等式；=2\*GB3②兩邊取對數,把指數型不等式轉化為對數型不等式；=3\*GB3③不等式為類型,且的解集比較容易確定,可考慮兩邊同時除以；=4\*GB3④不等式中含有,有時為了一次求導后不再含有對數符號,可考慮不等式兩邊同時除以；=5\*GB3⑤通過換元把復雜的不等式轉化為簡單不等式.【例5】（2024屆江西省穩(wěn)派上進教育高三上學期8月考試）已知函數，，，分別為，的導函數，且對任意的，存在，使．(1)求實數a的取值范圍；(2)證明：，有．【解析】（1）因為，所以，所以在區(qū)間上單調遞增，故．因為，所以．令，則，又，所以，故在區(qū)間上單調遞增，所以．又對任意的，存在，使，所以，即，解得，故實數a的取值范圍為．（2）令，，則．令，解得，則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，即（當且僅當時，等號成立）．令，則．令，解得，則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，即（當且僅當時，等號成立），故（當且僅當時，等號成立）．又，所以．因為，所以，故，即．(六)通過減元法構造函數證明不等式對于多變量不等式,一般處理策略為消元或是把一個看作變量其他看作常量；當都不能處理的時候,通過變形,再換元產生一個新變量,從而構造新變量的函數.【例6】（2024屆江西省宜春市宜豐中學高三上學期考試）已知函數.注：為自然對數的底數，.(1)若，求函數的單調區(qū)間；(2)若函數有兩個不相等的零點，極值點為，證明：（i）；（ii）.【解析】（1）由，得，令得，令得.所以函數的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.（2）（i），設，存在唯一且，使得.當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，是極小值點.若，則，令，則，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，此時不存在兩個零點，不滿足要求，故要使函數有兩個不相等的零點，則.于是.（ii）①，②，①-②得，整理得③.下證：.不妨設，令，則.可化為，即.令，于是在上單調遞增，又，所以，從而，得.于是③式可化為，得.得證.(七)與數列前n項和有關的不等式的證明此類問題一般先由已知條件及導數得出一個不等式,再把該不等式中的自變量依次用1,2,3,,n代換,然后用疊加法證明.【例7】（2024屆黑龍江省哈爾濱高三上學期開學考試）已知函數，其中．(1)討論函數零點個數；(2)求證：．【解析】（1）①當時，即在單調遞減，又，只有一個零點.②當時，令則，當時，當時，故在單調遞增，在單調遞減，，令，則，故當時，單調遞減，當時，單調遞增，故，又，，故當時，只有一個零點，當且時，有兩個零點，綜上可知：故當或時，只有一個零點，當且時，有兩個零點，（2）由（1）可知，當時，在單調遞減，故當時，，故，取，則，即，相加可得，，三、典例展示【例1】（2023屆福建省三明市高三三模）已知函數.(1)討論的單調性；(2)若，證明：.【解析】（1）定義域為，因為，所以.令，則，所以，當時，，此時，所以在上單調遞減.當時，令，則，所以當時，，即在上單調遞減.當時，令，則，所以當時，，即在和上單調遞減，當時，，即在上單調遞增.綜上所述：當時，在上單調遞減；當時，在和上單調遞減，在上單調遞增（2）要證明：，只要證明：，只要證明：只要證明：.只要證明：，只要證明：，只要證明：.由（1）知，當時，在上單調遞減.即要證明，即要證明.即證明.因為，所以，所以原不等式成立.解法二：要證明：，只要證明：.只要證明：只要證明：只要證明：.令，所以所以.因為，所以，即在上單調遞增.所以，即原不等式成立【例2】（2024屆江蘇省南通市如皋市高三上學期8月診斷測試）已知函數.(1)求的最大值;(2)證明：【解析】（1），定義域為，則，令，因為恒成立，所以在上單調遞增，所以，即當時，，令，可得，得在上單調遞增，在上單調遞減，所以.（2）要證，即證，令令得，即在上單調遞減，在上單調遞增，，即，即欲證，只需證也就是證明設，則，令，得當時，；當時，當時，取到最小值故式成立，從而成立.【例3】（2024屆湖北省高中名校聯盟高三上學期第一次聯合測評）已知函數.(1)討論的單調性；(2)若兩個不相等的正實數a，b滿足，求證：；(3)若，求證：.【解析】（1）函數的定義域是.由，得在上單調遞減；由，得在上單調遞增，綜上知，的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是.（2）由（1）得在的值域為，在上的值域為.注意到，.不妨設，則欲證，即證.由于由（Ⅰ）得在上單調遞增，故只需證，由已知，即證，也即，方法一：令，.，由，在單調遞增，得單調遞增，且.由于，故滿足.由單調遞增知：當時，單調遞減，值域為；當時，單調遞增，值域為；設，，則，單調遞減，故，即，取，得，即綜上，得，即，得證.方法二：（重新同構）令，即，證：，由于，從而.故要證成立，只需在單調遞增成立即可.，令，，則，在單調遞減，，，故在單調遞增成立，原命題成立.方法三：（比值代換）由對稱性，不妨設，，則由于，欲證，即證：，即證，可變?yōu)?，由證法二可知成立，從而得證；方法四：（切、割線放縮）1、由于故，即；2、由方法二知，，故，即，故，；由1、2知，故成立，原命題成立.（3）由（2）知，①當時，在上單調遞增，故.②當時，由，取，得（）時，有，即.由在上單調遞增，故，綜上，得時，當成立.【例4】（2023屆貴州省貴陽市2023屆高三333高考備考診斷性聯考）實數，，.(1)討論的單調性并寫出過程；(2)求證：.【解析】（1）若，令，的定義域為..此時①當時，時，，在上是增函數；時，，在上是減函數；時，，在上是增函數；②當時，，在上單調遞增；③當時，時，，在上是增函數，時，，在上是減函數，時，，是增函數.若時，，時，，在上是減函數；時，，在上是增函數；若，則的定義域為，此時且，當時，，當時，；當時，；當時，；故在，上為增函數，在，上為減函數（2）由（1）得時，，在上是減函數，即當時，，即，即.令，，求和即得.【例5】（2024屆黑龍江省鶴崗市高三上下學期開學考試）已知函數，．（為自然對數的底數）(1)當時，求函數的極大值；(2)已知，，且滿足，求證：．【解析】（1）當時，，定義域為，則，，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故的極大值為；（2）由題意知，，由可得，所以，令，由（1）可知，在上單調遞增，在上單調遞減，則，令，，又，，所以，，則，①若，則，即，所以；②若，設，且滿足，如圖所示，

則，所以，下證：．令，，則，所以在上單調遞增，所以，所以，即，又因為，所以，，，所以，即，又因為，所以，即．由①②可知，得證.四、跟蹤檢測1.（2024屆云南省昆明市第一中學高三上學期第一次月考）已知函數，．(1)若，求a；(2)若，的極大值大于b，證明：．【解析】（1），由，即，解得．（2），令，，，，，在恒成立，故在遞增，而，，使得g令，有故時，時，時，故在上遞增，在上遞減，在上遞增，∴極大值由得故則，，．2．（2024屆全國名校大聯考高三上學期第一聯考）已知函數（）．(1)若在上恒成立，求a的取值范圍：(2)設，，為函數的兩個零點，證明：．【解析】（1）若在上恒成立，即，令，所以，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，即a的取值范圍是．（2）令，即，令，則，令，所以，所以在上單調遞增，又，所以當時，，所以，當時，，所以，所以在上單調遞減，在上單調遞增．不妨設，則，，因為，所以．設函數（），則在上恒成立，所以在上單調遞增，所以，所以，即．又函數在上單調遞減，所以，所以．3．（2024屆山東省青島市高三上學期期初調研檢測）已知，函數.(1)若，求在點處的切線方程；(2)求證：；(3)若為的極值點，點在圓上.求.【解析】（1），，由，得切點為由，有，即在點處的切線斜率為，所以在點處的切線方程為：.（2）證明：因為(，)，設函數，則(，)，所以在上單調遞增又因為，，所以存在，使得，即，，所以，當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增；所以令，，則，解得，解得，所以，在上單調遞減，在上單調遞增；所以，，所以，的圖像在的上方，且與唯一交點為，所以，.（3）圓的圓心坐標為，半徑，圓心到直線的距離，所以直線為圓的切線，由解得切點坐標為，顯然，圓在直線的下方又因為，且點在圓上，則點即為切點為，所以，.4．（2024屆湖南省株洲市第二中學教育集團2高三上學期開學聯考）已知函數，(1)證明：當時，恒成立；(2)若關于的方程在內有解，求實數的取值范圍.【解析】（1）函數，，求導得，令，，求導得，則函數在上單調遞增，，因此函數在上單調遞增，，所以當時，恒成立.（2）設，，則，則在上遞增，，即，方程等價于，，令，原問題等價于在內有零點，由，得，由（1）知，當時，，當時，函數沒有零點，不合題意；當時，由，求導得，令，則，當時，恒成立，當時，令，則，因為，，則，即在上單調遞增，又，，因此在上存在唯一的零點，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，顯然，，因此在上存在唯一的零點，且，當時，，函數單調遞減，當時，，單調遞增，又，，由（1）知，，則，所以在上沒有零點，在上存在唯一零點，因此在上有唯一零點，所以的取值范圍是.5．（2024屆遼寧省十校聯合體高三上學期八月調研考試）設方程有三個實數根.(1)求的取值范圍；(2)請在以下兩個問題中任選一個進行作答，注意選的序號不同，該題得分不同.若選①則該小問滿分4分，若選②則該小問滿分9分.①證明：；②證明：.【解析】（1）由題意設（），則，，令，得或，當或時，，所以在，上單調遞增；當時，，所以在上單調遞減；又，，，且，當趨向于時，也趨向于，又方程有三個實數根，等價于直線與的函數圖像有三個交點，即，所以的取值范圍為.（2）選①，證明如下：由（1）得：，則，設，，則，不妨設，則（），又，即，故，即，所以，，，則，設，，則，所以在上單調遞減，即，因為，則，即，又，則，故.選②，證明如下：由（1）得：，則，設，，則，不妨設，則（），又，即，故，即，所以，（），則（），設，，則，所以在上單調遞減，即，因為，則，即，又，則，故.所以，則，又因為，所以，從而，故①，下證，有（），即證時，，即，即證（），設（），則，當時，，所以在上單調遞增，則，所以②，又，所以得，設，（），則，當時，，所以在上單調遞增，則③，聯立①②③得：，故.6．（2024屆安徽省江淮十校高三第一次聯考）已知函數，.(1)討論的單調性；(2)設函數，，當時，證明：.【解析】（1）解：函數的定義域為，，令，則.①當時，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；當時，，單調遞增；②當時，當時，，單調遞減；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.綜上：當時，單調增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；當時，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，.（2）對任意的m，，且，令（），因為，記，則，所以在單調遞增，所以，故，所以，故.7．（2024屆內蒙古包頭市高三上學期調研考試）設函數，已知是函數的極值點.(1)求；(2)設函數，證明：.【解析】（1）由題意可知，，則，因為是函數的極值點，所以，解得，經檢驗滿足題意，故；（2）由（1）得，，設，則，當時，，即，所以在區(qū)間單調遞增；當時，，即，所以在區(qū)間單調遞減，因此當時，，因為的定義域要求有意義，即，同時還要求，即要求，所以的定義域為且，要證，因為，所以需證，即需證，令，則且，則只需證，令，則，令，可得，所以，；，；所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以，即成立.8．（2024屆北京市景山學校高三上學期開學考試）已知函數，曲線在點處的切線方程是.(1)求、的值；(2)求證：；(3)若函數在區(qū)間上無零點，求的取值范圍.【解析】（1），由切線方程知，即，注意到，解得,.（2）由（1）可知，若要且注意到，所以只需即可，構造函數，對其求導得，令得，所以、隨的變化情況如下表：所以有極大值，綜上，結合分析可知命題得證.（3）由題意分以下三種情形討論：情形一：注