專題13 不等式（解析版）

五年（2019-2023）年高考真題分項匯編專題13不等式不等式作為高考一個工具，主要題型是小題，再者就是與其他知識點相結合?？键c01解基本不等式考點02不等式應用—線性規(guī)劃考點04不等式綜合應用考點01：解基本不等式一填空題1．(2021高考天津)若，則的最小值為____________．【答案】【解析】：，，當且僅當且，即時等號成立，所以的最小值為．故答案：．2．(2020天津高考·)已知，且，則的最小值為_________．【答案】4【解析】，,，當且僅當=4時取等號，結合,解得，或時，等號成立．故答案為：3．(2020江蘇高考·)已知，則的最小值是_______．【答案】【解析】,且，當且僅當，即時取等號．的最小值為．故答案為：．4．(2019·天津·理)設，則的最小值為．【答案】【解析】：，，當且僅當即或時等號成立，因為，所以，故的最小值為．5．(2019·上海)若，且，則的最大值為________.【答案】【解析】法一：，∴；法二：由，()，求二次最值.6．(2019·江蘇·)在平面直角坐標系中，是曲線上一動點，則點到直線的距離最小值是______.【答案】4【解析】法1：由已知，可設，所以.當且僅當，即時取等號，故點到直線的距離的最小值為4.法2：距離最小時，，則，所以,所以最小值為4.7．(2022年全國高考甲卷數(shù)學(文)·)已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．【答案】或【解析】設，則在中，，在中，，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，．故答案為：．考點03：不等式應用—線性規(guī)劃一單選題1．(2021年高考浙江卷·)若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值是 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】:畫出滿足約束條件的可行域，如下圖所示：目標函數(shù)化為，由，解得，設，當直線過點時，取得最小值為,故選B．2．(2021年全國高考乙卷文科·)若滿足約束條件則的最小值為 ()A．18 B．10 C．6 D．4【答案】C【解析】：由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，由可得點,轉換目標函數(shù)為，上下平移直線，數(shù)形結合可得當直線過點時,取最小值，此時．故選：C．3．(2020年浙江省高考數(shù)學試卷·)若實數(shù)x，y滿足約束條件，則z=2x+y的取值范圍是 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標函數(shù)即：，其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，z取得最小值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，據(jù)此結合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最小值，聯(lián)立直線方程：，可得點A的坐標為：，據(jù)此可知目標函數(shù)的最小值為：且目標函數(shù)沒有最大值．故目標函數(shù)的取值范圍是．故選：B4．(2022年浙江省高考數(shù)學試題·)若實數(shù)x，y滿足約束條件則的最大值是 ()A．20 B．18 C．13 D．6【答案】B【解析】:不等式組對應的可行域如圖所示：當動直線過時有最大值．由可得，故，故，故選,B．5．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(文))若x，y滿足約束條件則最大值是 ()A． B．4 C．8 D．12【答案】C【解析】：由題意作出可行域，如圖陰影部分所示，轉化目標函數(shù)為，上下平移直線，可得當直線過點時，直線截距最小，z最大，所以．故選：C．6．(2019·浙江·文理·)若實數(shù)，滿足約束條件則的最大值是 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖所示，其中．由得，當直線過時，在軸上的截距最大，所以有最大值為．故選C．7．(2019·天津·文·)設變量滿足約束條件則目標函數(shù)的最大值為 ()A．2 B．3 C．5 D．6【答案】【答案】C【解析】由約束條件作出可行域如圖聯(lián)立，解得，化目標函數(shù)為，由圖可知，當直線過時，有最大值為5．故選C．二填空題(2023年全國乙卷文科·)若x，y滿足約束條件，則的最大值為______．【答案】8【解析】：作出可行域如下圖所示：，移項得，聯(lián)立有，解得，設，顯然平移直線使其經過點，此時截距最小，則最大，代入得，故答案為：8．2．(2023年全國甲卷文科·)若x，y滿足約束條件，設的最大值為____________．【答案】15【解析】：作出可行域，如圖，由圖可知，當目標函數(shù)過點時，有最大值，由可得，即所以．故答案為：153．(2020年高考課標Ⅰ卷文科·若x，y滿足約束條件則z=x+7y的最大值為______________．【答案】1【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標函數(shù)即：，其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，據(jù)此結合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點A的坐標為：，據(jù)此可知目標函數(shù)的最大值為：．故答案：1．4．(2020年高考課標Ⅱ卷文科·)若x，y滿足約束條件則的最大值是__________．【答案】【解析】不等式組表示的平面區(qū)域為下圖所示：平移直線，當直線經過點時，直線在縱軸上的截距最大，此時點的坐標是方程組的解，解得：，因此的最大值為：．故答案為：．5．(2020年高考課標Ⅲ卷文科·第13題)若x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最大值為_________．【答案】7【解析】不等式組所表示的可行域如圖因為，所以，易知截距越大，則越大，平移直線，當經過A點時截距最大，此時z最大，由，得，，所以．故答案為：7．6．(2019·上?！の睦?已知滿足，求的最小值為________.【答案】【解析】線性規(guī)劃作圖：后求出邊界點代入求最值，當，時，.7．(2019·全國Ⅱ·文·)若變量滿足約束條件則的最大值是___________.【答案】9【解析】畫出不等式組表示的可行域，如圖所示，陰影部分表示的三角形區(qū)域，根據(jù)直線中的表示縱截距的相反數(shù)，當直線過點時，取最大值為9．考點04不等式綜合應用一單選題1．(2023年全國乙卷文科·)已知實數(shù)滿足，則的最大值是 ()A． B．4 C． D．7【答案】C【解析】：法一：令，則，代入原式化簡得，因為存在實數(shù)，則，即，化簡得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時，取得最大值，法三：由可得，設，則圓心到直線的距離，解得故選：C2．(2019·天津·理)已知，，，則的大小關系為 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】：，，即，，所以．3．(2020年浙江省高考數(shù)學試卷)已知a，bR且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0在x≥0上恒成立，則 ()A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0【答案】C【解析】：因為，所以且，設，則零點為當時，則，，要使，必有，且，即，且，所以；當時，則，，要使，必有．綜上一定有．故選：C4．(2020年浙江省高考數(shù)學試卷·)已知a，bR且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0在x≥0上恒成立，則 ()A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0【答案】C【解析】：因為，所以且，設