云南省昆明市2025屆高三上學(xué)期摸底測試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚2每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，在試題卷上作答無效3考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回滿分150分，考試用時120分鐘一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知命題，則p的否定是（

）A． B． C． D．3．正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d，已知，且三項(xiàng)成等比數(shù)列，則（

）A．7 B．5 C．3 D．14．若，則（

）A． B．C． D．5．已知向量，若，則（

）A． B． C． D．6．函數(shù)是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，則k的取值集合為（

）A． B． C． D．7．函數(shù)，若對恒成立，且在上有3條對稱軸，則（

）A． B． C． D．或8．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C滿足，若，則E的離心率為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為等差數(shù)列 B．不可能為常數(shù)列C．若為遞增數(shù)列，則 D．若為遞增數(shù)列，則10．甲、乙兩班各有50位同學(xué)參加某科目考試（滿分100分），考后分別以、的方式賦分，其中分別表示甲、乙兩班原始考分，分別表示甲、乙兩班考后賦分．已知賦分后兩班的平均分均為60分，標(biāo)準(zhǔn)差分別為16分和15分，則（

）A．甲班原始分?jǐn)?shù)的平均數(shù)比乙班原始分?jǐn)?shù)的平均數(shù)高B．甲班原始分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比乙班原始分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差高C．甲班每位同學(xué)賦分后的分?jǐn)?shù)不低于原始分?jǐn)?shù)D．若甲班王同學(xué)賦分后的分?jǐn)?shù)比乙班李同學(xué)賦分后的分?jǐn)?shù)高，則王同學(xué)的原始分?jǐn)?shù)比李同學(xué)的原始分?jǐn)?shù)高11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?，若與均為偶函數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．4是的一個周期C． D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．曲線在處的切線方程為．13．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于直線上，則的最大值為．14．過拋物線的焦點(diǎn)作直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于M，N兩點(diǎn)，若，則．四、解答題（本大題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求角C；(2)若AB邊上的高為1，的面積為，求的周長．16．如圖，PC是圓臺的一條母線，是圓的內(nèi)接三角形，AB為圓的直徑，．

(1)證明：；(2)若圓臺的高為3，體積為，求直線AB與平面PBC夾角的正弦值．17．已知函數(shù)．(1)若在恒成立，求a的取值范圍；(2)若，證明：存在唯一極小值點(diǎn)，且．18．動點(diǎn)到直線與直線的距離之積等于，且．記點(diǎn)M的軌跡方程為．(1)求的方程；(2)過上的點(diǎn)P作圓的切線PT，T為切點(diǎn)，求的最小值；(3)已知點(diǎn)，直線交于點(diǎn)A，B，上是否存在點(diǎn)C滿足？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．19．設(shè)，數(shù)對按如下方式生成：，拋擲一枚均勻的硬幣，當(dāng)硬幣的正面朝上時，若，則，否則；當(dāng)硬幣的反面朝上時，若，則，否則．拋擲n次硬幣后，記的概率為．(1)寫出的所有可能情況，并求；(2)證明：是等比數(shù)列，并求；(3)設(shè)拋擲n次硬幣后的期望為，求．1．A【分析】解出集合，再利用交集含義即可得到答案.【詳解】，而，則.故選：A.2．B【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式可得.【詳解】由存在量詞命題的否定形式可知：的否定為.故選：B3．C【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)再結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)列方程計(jì)算即可；【詳解】由題意可得，又正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d，已知，所以，即，解得或（舍去），故選：C.4．D【分析】利用誘導(dǎo)公式求出，然后結(jié)合平方公式和二倍角公式可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：D5．C【分析】聯(lián)立和求出即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，整理得①，又，所以②，?lián)立①②求解得，所以.故選：C6．C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義得得，即可驗(yàn)證單調(diào)性求解.【詳解】是奇函數(shù)，故，則，，解得，當(dāng)時，，由于在0,+∞為單調(diào)遞增函數(shù)，故在0,+∞單調(diào)遞減，不符合題意，當(dāng)時，，由于在0,+∞為單調(diào)遞增函數(shù)且，故為0,+∞單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得在R上單調(diào)遞增，符合題意，故，故選：C7．B【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】由題知，當(dāng)時取得最大值，即，所以，即，又在上有3條對稱軸，所以，所以，所以.故選：B8．D【分析】設(shè)，表示出，根據(jù)列方程，用表示出，然后代入橢圓方程構(gòu)造齊次式求解可得.【詳解】設(shè)，則，則，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，得，又在橢圓上，所以，即，整理得，即，解得或（舍去），所以.故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)在于利用向量關(guān)系找到點(diǎn)A坐標(biāo)與c的關(guān)系，然后代入橢圓方程構(gòu)造齊次式求解.9．AC【分析】根據(jù)的關(guān)系求出通項(xiàng)，然后根據(jù)公差即可判斷ABC；利用數(shù)列的函數(shù)性，分析對應(yīng)二次函數(shù)的開口方向和對稱軸位置即可判斷D.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，顯然時，上式也成立，所以.對A，因?yàn)?，所以an是以為公差的等差數(shù)列，A正確；對B，由上可知，當(dāng)時，an為常數(shù)列，B錯誤；對C，若an為遞增數(shù)列，則公差，即，C正確；對D，若為遞增數(shù)列，由函數(shù)性質(zhì)可知，解得，D錯誤.故選：AC10．ACD【分析】根據(jù)期望和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)求出賦分前的期望和標(biāo)準(zhǔn)差即可判斷AB；作差比較，結(jié)合自變量范圍即可判斷C；作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可判斷D.【詳解】對AB，由題知，因?yàn)?，，所以，解得，所以，故A正確，B錯誤；對C，因?yàn)?，，所以，即，所以C正確；對D，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖可知，當(dāng)時，有，又因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以當(dāng)時必有，D正確.故選：ACD11．ABD【分析】注意到為偶函數(shù)則，由兩邊求導(dǎo)，令可判斷A；結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的奇偶性可判斷B；利用的周期性和奇偶性可判斷C；根據(jù)和可判斷D.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，而，故，故，又為偶函數(shù)，所以，即，所以，故即，，所以4是的周期，故B正確.對A，由兩邊求導(dǎo)得，令得，解得，A正確；對C，由上知，所以，所以，C錯誤；對D，因?yàn)?，，故，故的圖象關(guān)于2,1對稱，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答關(guān)鍵在于原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)數(shù)的奇偶性關(guān)系，以及對兩邊求導(dǎo)，通過代換求導(dǎo)函數(shù)的周期.12．##【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，即可求出切線方程.【詳解】因?yàn)?，則，又，所以，所以曲線在處的切線方程為．故答案為：13．##【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在得，即可利用二倍角公式以及基本不等式求解.【詳解】對應(yīng)的點(diǎn)為，故，故，由于，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時等號成立，故答案為：14．【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，得韋達(dá)定理，根據(jù)焦點(diǎn)弦的公式可得，解得，即可求解得，即可代入求解.【詳解】的焦點(diǎn)為34,0根據(jù)題意可知直線有斜率，且斜率不為0，根據(jù)對稱性不設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與可得，設(shè)，故，故，解得，直線，令，則，同理可得，如下圖，故，故答案為：15．(1)；(2).【分析】（1）利用余弦定理角化邊，整理后代入余弦定理即可得解；（2）利用面積公式求出，然后由面積公式結(jié)合余弦定理聯(lián)立求解可得，可得周長.【詳解】（1）由余弦定理角化邊得，，整理得，所以，因?yàn)?，所?（2）由題知，，即，由三角形面積公式得，所以，由余弦定理得，所以，所以，所以的周長為.16．(1)證明見詳解；(2).【分析】（1）轉(zhuǎn)化為證明平面，利用圓臺性質(zhì)即可證明；（2）先利用圓臺體積求出上底面的半徑，建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量求線面角即可.【詳解】（1）由題知，因?yàn)闉閳A的直徑，所以，又，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由圓臺性質(zhì)可知，平面，且四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的兩條相交直線，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）圓臺的體積，其中，解得或(舍去).由（1）知兩兩垂直，分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，所以.設(shè)平面的一個法向量為，則解得于是可取.設(shè)直線與平面的夾角為，則，故所求正弦值為.17．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）參變分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可；（2）求導(dǎo)，利用零點(diǎn)存在性定理結(jié)合單調(diào)性判斷導(dǎo)函數(shù)的唯一零點(diǎn)在12,1內(nèi)，利用零點(diǎn)方程代入【詳解】（1）在恒成立，等價于在上恒成立，記，則，當(dāng)時，h′x<0，當(dāng)時，h所以hx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，hx取得最小值，所以，即a的取值范圍.（2）當(dāng)時，，則，因?yàn)樵谏暇鶠樵龊瘮?shù)，所以在單調(diào)遞增，又，所以在區(qū)間12,1存在，使得當(dāng)x∈0,x0時，，當(dāng)x∈所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以存在唯一極小值點(diǎn).因?yàn)?，即，所以，因?yàn)?，且?2,1上單調(diào)遞增，所以，又，所以，所以.18．(1)(2)2(3)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，即可代入化簡求解，（2）由相切，利用勾股定理，結(jié)合點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式可得，即可由二次函數(shù)的性質(zhì)求解，（3）聯(lián)立直線與雙曲線方程得到韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)向量的坐標(biāo)關(guān)系可得，將其代入雙曲線方程即可求解.【詳解】（1）根據(jù)到直線與直線的距離之積等于，可得，化簡得，由于，故，即.（2）設(shè)，，故當(dāng)時，最小值為2（3）聯(lián)立與可得，設(shè)，則，故設(shè)存在點(diǎn)C滿足，則，故，由于在，故，化簡得，即，解得或（舍去），由于，解得且，故符合題意，由于，故，故,故，故存在，使得19．(1)答案見詳解；(2)證明見詳解，；(3)【分析】（1）列出所有和的情況，再利用古典概型公式計(jì)算即可；（2）構(gòu)造得，再利用等比數(shù)列公式即可；（3）由（2）得，再分，和討論即可.【詳解】（1）當(dāng)拋擲一次硬幣結(jié)果為正時，；當(dāng)拋擲一次硬幣結(jié)果為反時，.當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（正，正）時，；當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（正，反）時，；當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（反，正）時，；當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（反，反）時，.所以，.（2）由題知，，當(dāng)，且擲出反面時，有，此時，當(dāng)，且擲出正面時，有，此時，所以，所以