考點01 實數(shù)的概念（解析版）

考點一實數(shù)知識點整合1．數(shù)軸：規(guī)定了原點、單位長度和正方向的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸上所有的點與全體實數(shù)一一對應.2．相反數(shù)：只有符號不同，而絕對值相同的兩個數(shù)稱為互為相反數(shù)，若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0.3．倒數(shù)：1除以一個不等于零的實數(shù)所得的商，叫做這個數(shù)的倒數(shù).若a、b互為倒數(shù)，則ab=1.4．絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，記作|a|.5．（1）按照定義分類（2）按照正負分類注意：0既不屬于正數(shù)，也不屬于負數(shù).另外，在理解無理數(shù)時，要注意“無限不循環(huán)”，歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數(shù)，如，等；（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如等；（3）有特定結構的數(shù)，如0.1010010001…等；（4）某些三角函數(shù)，如sin60°等.6．科學記數(shù)法：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．當原數(shù)絕對值大于10時，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；當原數(shù)絕對值小于1時，寫成a×10?n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)左邊第一個非零的數(shù)字前的所有零的個數(shù)（包括小數(shù)點前面的零）.7．近似數(shù)：近似數(shù)與準確數(shù)的接近程度通常用精確度來表示，近似數(shù)一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.8．平方根：（1）算術平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，則正數(shù)x叫做a的算術平方根.（2）平方根的概念：若x2＝a，則x叫做a的平方根.（3）表示：a的平方根表示為，a的算術平方根表示為.（4）9．立方根：（1）定義：若x3＝a，則x叫做a的立方根.（2）表示：a的立方根表示為.（3）.10．數(shù)的乘方：求QUOTEn個相同因數(shù)a的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫冪.在an中，a叫底數(shù)，n叫指數(shù).11．實數(shù)的運算：（1）有理數(shù)的運算定律在實數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運算定律有加法結合律、加法交換律、乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律.（2）運算順序：先算乘方（開方），再算乘除，最后算加減；有括號的先算括號里面的.12．指數(shù)，負整數(shù)指數(shù)冪：a≠0，則a0=1；若a≠0，n為正整數(shù)，則.13．數(shù)的大小比較常用以下幾種方法：數(shù)軸比較法、差值比較法、絕對值比較法、乘方比較法、中間值比較法等等.重點考向考向一實數(shù)的有關概念此類問題一般以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，熟練掌握實數(shù)的有關概念，如相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值、算術平方根等是解決這類問題的關鍵.典例引領1．的相反數(shù)為（

）A． B．5 C． D．－5【答案】B【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進行解答即可得．【詳解】解：的相反數(shù)為，故選：B．2．下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）A．與 B．與 C．與 D．與3【答案】B【分析】本題考查相反數(shù)，絕對值，有理數(shù)的乘方，先計算出各組數(shù)，再根據(jù)相反數(shù)的定義“絕對值相同，符號相反的兩個數(shù)互為相反數(shù)”逐項判斷即可．【詳解】解：A，與絕對值不同，符號相同，不是互為相反數(shù)；B，，，9與互為相反數(shù)，即與互為相反數(shù)；C，，，與不是互為相反數(shù)；D，，與3不是互為相反數(shù)；故選B．3．的倒數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了倒數(shù)的定義，先將帶分數(shù)化為假分數(shù)，再根據(jù)“乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)”，即可解答．【詳解】解：∵，∴的倒數(shù)是，故選：B．4．下列說法正確的是（

）A．一定沒有平方根 B．立方根等于它本身的數(shù)是，C．的平方根是 D．的算數(shù)平方根是【答案】C【分析】根據(jù)算術平方根，平方根和立方根的定義，逐一判斷即可．【詳解】A、當時，有平方根，故錯誤，不符合題意；B、立方根等于它本身的數(shù)為：，，，故錯誤，不符合題意；C、的平方根是，正確，符合題意；D、負數(shù)沒有平方根，故錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查算術平方根，平方根和立方根的知識，解題的關鍵是掌握算術平方根，平方根和立方根的定義．5．已知、互為相反數(shù)，p、互為倒數(shù)，且a為最大的負整數(shù)，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】利用相反數(shù)、倒數(shù)、負整數(shù)的性質(zhì)求出，，a的值，代入原式計算即可求出值．此題考查了有理數(shù)的混合運算，相反數(shù)、倒數(shù)，以及負整數(shù)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關鍵．【詳解】解：∵、互為相反數(shù)，∴，∵p、互為倒數(shù)，∴，∵a為最大的負整數(shù)，∴，∴，故答案為：．6．的相反數(shù)是，的倒數(shù)是，的絕對值是．【答案】4【分析】根據(jù)相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的性質(zhì)即可求解．此題主要考查有理數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是熟知相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的定義．【詳解】解：的相反數(shù)是4，的倒數(shù)是，的絕對值是故答案為：4；；．7．若a為的算數(shù)平方根，且，則．【答案】1或7/7或1【分析】根據(jù)算術平方根的定義求得，再跟，即可得到或，進一步求得答案即可．【詳解】解：∵a為的算數(shù)平方根，∴，∴，則或，解得或，∴或，故答案為：1或7【點睛】此題考查了算術平方根、絕對值等知識，熟練掌握算術平方根的定義是解題的關鍵．8．的立方是，2的算數(shù)平方根是，的平方根是．【答案】【分析】根據(jù)立方、算術平方根以及平方根的定義進行求解即可．【詳解】解：因為，所以的立方是；2的算數(shù)平方根是；因為，所以4的平方根是，即的平方根是，故答案為：，，．【點睛】本題主要考查了算術平方根以及平方根的定義，如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根．如果一個正數(shù)x的平方等于a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術平方根．9．如果a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對值是3，y是數(shù)軸負半軸上到原點的距離為1的數(shù)，(1)填空：______；______；______．(2)求代數(shù)式的值．【答案】(1)0，，或(2)7【分析】（1）利用相反數(shù)，倒數(shù)，以及絕對值的代數(shù)意義求出，，x與y的值；（2）將（1）中結果代入原式計算即可得到結果．【詳解】（1）解：a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對值是3，y是數(shù)軸負半軸上到原點的距離為1的數(shù)，，，，故答案為：0，，或；（2）解：．【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，絕對值，相反數(shù)，以及倒數(shù)，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．10．數(shù)軸上兩點間的距離等于這兩點所對應的數(shù)的差的絕對值，例：如圖，點A、B在數(shù)軸上分別對應的數(shù)為a、b，則A、B兩點間的距離表示為，根據(jù)以上知識解題：(1)若數(shù)軸上兩點A、B表示的數(shù)為x、．①A、B之間的距離可用含x的式子表示為_______；②若該兩點之間的距離為3，那么x值為______；(2)的最小值為______，此時x的取值是______；(3)已知，求的最大值和最小值．【答案】(1)①；②2或(2)5；(3)最大值18，最小值．【分析】（1）①根據(jù)題意代入相應的值運算即可；②由題意可得：，進行運算即可；（2）由絕對值的幾何意義可知：當時，有最小值，從而可求解；（3）由題意可得：當，時，符合題意，從而可確定，的最小值，從而可求解．本題主要考查了列代數(shù)式、數(shù)軸上兩點的距離、絕對值，解決本題的關鍵是綜合運用以上知識．【詳解】（1）①由題意得：，故答案為：．②由題意得：，∴，解得：或．故答案為：2或．（2）由絕對值的幾何意義可得，是數(shù)x到與3的距離之和，∴當時，有最小值，取代入可得：，故最小值為5．故答案為：5；；（3）∵，∴當，時，符合題意，此時，的最小值為5，的最小值為7，∴當時，的最大值為：，當時，的最小值為：．故答案為：18；．11．對于含絕對值的算式，在有些情況下，可以不需要計算出結果也能將絕對值符號去掉，例如：；；；．觀察上述式子的特征，解答下列問題：(1)把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式（不用寫出計算結果）：①______；②______；(2)當時，______；(3)計算：．【答案】(1)①；②(2)(3)【分析】本題考查有理數(shù)的加減運算，絕對值意義；（1）結合有理數(shù)加法減法運算法則以及絕對值的意義進行化簡；（2）根據(jù)絕對值的意義進行化簡；（3）根據(jù)有理數(shù)減法運算法則結合絕對值的意義先化簡絕對值，然后根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律進行分析計算．【詳解】（1）解：①；②；故答案為：，；（2）解：當時，；故答案為：；（3）解：．12．已知的算數(shù)平方根為的立方根是3，求的平方根與立方根．【答案】【分析】根據(jù)算式平方根和立方根的定義，求出的值，再代值計算平方根和立方根即可．【詳解】解：∵的算數(shù)平方根為的立方根是3，∴，∴，∴，∴的平方根為，立方根為：．【點睛】本題考查求一個數(shù)的平方根和立方根．解題的關鍵掌握相關定義，正確的計算．變式拓展1．表示（

）A．的倒數(shù) B．的相反數(shù) C．的絕對值 D．的算術平方根【答案】C【分析】根據(jù)絕對值的定義解答即可．【詳解】解：表示的絕對值．故選C．【點睛】本題考查了絕對值的意義，表示一個數(shù)a的點到原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值．2．設A是的相反數(shù)與的絕對值的差，B是比大5的數(shù)，則的值為．【答案】【分析】本題考查有理數(shù)的運算．根據(jù)題意，求出的值，再進行減法運算即可．【詳解】解：由題意，得：，，∴；故答案為：．3．已知，，，，都是不等于的有理數(shù)，若，則所有可能等于的值的絕對值之和等于．【答案】【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，化簡絕對值，根據(jù)題意分別得出所有可能等于的值即可得出結論．【詳解】解：當個數(shù)的符號相同時，若都為正，∴若都為負，則∴等于或，當個數(shù)的符號有一個相異時，不妨設這個數(shù)為，當為正，則，若為負，則，∴等于或，同理當個數(shù)的符號有兩個相異時，等于或，當個數(shù)的符號有三個相異時，等于或，當個數(shù)的符號有四個相異時，等于或，，當個數(shù)的符號有十個相異時，等于，所有可能等于的值的絕對值之和，故答案為：．4．若有理數(shù)a，b互為倒數(shù)，c，d互為相反數(shù)，m的絕對值是2，則．【答案】5【分析】根據(jù)題意，可得，，，再代入即可求解．本題主要考查了倒數(shù)，絕對值的意義，相反數(shù)的性質(zhì)，有理數(shù)的混合運算，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，，，，，故答案為：5．5．實數(shù)，，，，，中，與互為倒數(shù)，與互為相反數(shù)，是的絕對值，的算術平方根是8，求：的值．【答案】【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義，相反數(shù)的性質(zhì)，絕對值的化簡及算術平方根的定義得到，，，，代入計算即可．【詳解】解：由題意得，，，，，．【點睛】此題考查了已知式子的值求代數(shù)式的值，正確掌握倒數(shù)的定義，相反數(shù)的性質(zhì)，絕對值的化簡及算術平方根的定義得到，，，是解題的關鍵．6．如果是實數(shù)，且互為倒數(shù)，互為相反數(shù)，的絕對值是，的算術平方根是8，求．【答案】或【分析】根據(jù)相反數(shù)，倒數(shù)，以及絕對值的意義求出，及的值，代入計算即可．【詳解】解：由題意可知：，，，，，當時，，當時，．【點睛】此題考查了實數(shù)的運算，平方根，絕對值，以及倒數(shù)，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．7．已知實數(shù)，，，，，其中，互為相反數(shù)，，互為倒數(shù)，的絕對值是，求的平方根．【答案】【分析】直接利用互為相反數(shù)以及倒數(shù)和絕對值的性質(zhì)得出代數(shù)式的值，進而得出答案．【詳解】解：∵a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值是2，∴a+b=0，cd=1，m=±2∴，，5的平方根是．【點睛】此題主要考查了實數(shù)運算，正確得出已知代數(shù)式的值是解題關鍵．8．已知的立方根是2，是的整數(shù)部分，是9的平方根，求的算術平方根．【答案】或/或【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術平方根，求一個數(shù)的平方根，根據(jù)立方根求這個數(shù)，無理數(shù)的估算等等，正確根據(jù)題意求出的值是解題的關鍵．根據(jù)立方根的定義得到，估算出得到，根據(jù)平方根的定義得到，據(jù)此求出或，再根據(jù)算術平方根的定義可得答案．【詳解】解：∵的立方根是2，∴，∵，∴，∵是的整數(shù)部分，∴，∵是9的平方根，∴，∴或，∴的算術平方根為或．9．（1）已知的平方根為，的立方根為2，求的算術平方根．（2）實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．【答案】（1）5；（2）【分析】（1）根據(jù)的平方根為，的立方根為2，得出，，代入進行計算求出的值，再由算術平方根的定義計算即可；（2）由數(shù)軸可得，，從而得出，，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)進行化簡即可．【詳解】解：（1）的平方根為，的立方根為2，，，的算術平方根為；（2）由圖可得：，，，，．【點睛】本題考查了平方根、立方根的定義、根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負、化簡絕對值、利用二次根式的性質(zhì)進行化簡，熟練掌握以上知識點是解此題的關鍵．10．若、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，的絕對值為，求．【答案】【分析】本題主要考查了相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的定義，掌握互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加等于，互為倒數(shù)的兩個數(shù)相乘等于，解題的關鍵掌握各自的定義．根據(jù)互為相反的兩個數(shù)相加等于0，互為倒數(shù)的兩個數(shù)相乘等于1，互為相反數(shù)的兩個數(shù)比值為即可求解．【詳解】解；由題意可知，，，，原式．考向二實數(shù)的分類實數(shù)的分類典例引領1．表示（

）A．的倒數(shù) B．的相反數(shù) C．的絕對值 D．的算術平方根【答案】C【分析】根據(jù)絕對值的定義解答即可．【詳解】解：表示的絕對值．故選C．【點睛】本題考查了絕對值的意義，表示一個數(shù)a的點到原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值．2．設A是的相反數(shù)與的絕對值的差，B是比大5的數(shù)，則的值為．【答案】【分析】本題考查有理數(shù)的運算．根據(jù)題意，求出的值，再進行減法運算即可．【詳解】解：由題意，得：，，∴；故答案為：．3．已知，，，，都是不等于的有理數(shù)，若，則所有可能等于的值的絕對值之和等于．【答案】【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，化簡絕對值，根據(jù)題意分別得出所有可能等于的值即可得出結論．【詳解】解：當個數(shù)的符號相同時，若都為正，∴若都為負，則∴等于或，當個數(shù)的符號有一個相異時，不妨設這個數(shù)為，當為正，則，若為負，則，∴等于或，同理當個數(shù)的符號有兩個相異時，等于或，當個數(shù)的符號有三個相異時，等于或，當個數(shù)的符號有四個相異時，等于或，，當個數(shù)的符號有十個相異時，等于，所有可能等于的值的絕對值之和，故答案為：．4．若有理數(shù)a，b互為倒數(shù)，c，d互為相反數(shù)，m的絕對值是2，則．【答案】5【分析】根據(jù)題意，可得，，，再代入即可求解．本題主要考查了倒數(shù)，絕對值的意義，相反數(shù)的性質(zhì)，有理數(shù)的混合運算，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，，，，，故答案為：5．5．實數(shù)，，，，，中，與互為倒數(shù)，與互為相反數(shù)，是的絕對值，的算術平方根是8，求：的值．【答案】【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義，相反數(shù)的性質(zhì)，絕對值的化簡及算術平方根的定義得到，，，，代入計算即可．【詳解】解：由題意得，，，，，．【點睛】此題考查了已知式子的值求代數(shù)式的值，正確掌握倒數(shù)的定義，相反數(shù)的性質(zhì)，絕對值的化簡及算術平方根的定義得到，，，是解題的關鍵．6．如果是實數(shù)，且互為倒數(shù)，互為相反數(shù)，的絕對值是，的算術平方根是8，求．【答案】或【分析】根據(jù)相反數(shù)，倒數(shù)，以及絕對值的意義求出，及的值，代入計算即可．【詳解】解：由題意可知：，，，，，當時，，當時，．【點睛】此題考查了實數(shù)的運算，平方根，絕對值，以及倒數(shù)，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．7．已知實數(shù)，，，，，其中，互為相反數(shù)，，互為倒數(shù)，的絕對值是，求的平方根．【答案】【分析】直接利用互為相反數(shù)以及倒數(shù)和絕對值的性質(zhì)得出代數(shù)式的值，進而得出答案．【詳解】解：∵a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值是2，∴a+b=0，cd=1，m=±2∴，，5的平方根是．【點睛】此題主要考查了實數(shù)運算，正確得出已知代數(shù)式的值是解題關鍵．8．已知的立方根是2，是的整數(shù)部分，是9的平方根，求的算術平方根．【答案】或/或【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術平方根，求一個數(shù)的平方根，根據(jù)立方根求這個數(shù)，無理數(shù)的估算等等，正確根據(jù)題意求出的值是解題的關鍵．根據(jù)立方根的定義得到，估算出得到，根據(jù)平方根的定義得到，據(jù)此求出或，再根據(jù)算術平方根的定義可得答案．【詳解】解：∵的立方根是2，∴，∵，∴，∵是的整數(shù)部分，∴，∵是9的平方根，∴，∴或，∴的算術平方根為或．9．（1）已知的平方根為，的立方根為2，求的算術平方根．（2）實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．【答案】（1）5；（2）【分析】（1）根據(jù)的平方根為，的立方根為2，得出，，代入進行計算求出的值，再由算術平方根的定義計算即可；（2）由數(shù)軸可得，，從而得出，，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)進行化簡即可．【詳解】解：（1）的平方根為，的立方根為2，，，的算術平方根為；（2）由圖可得：，，，，．【點睛】本題考查了平方根、立方根的定義、根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負、化簡絕對值、利用二次根式的性質(zhì)進行化簡，熟練掌握以上知識點是解此題的關鍵．10．若、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，的絕對值為，求．【答案】【分析】本題主要考查了相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的定義，掌握互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加等于，互為倒數(shù)的兩個數(shù)相乘等于，解題的關鍵掌握各自的定義．根據(jù)互為相反的兩個數(shù)相加等于0，互為倒數(shù)的兩個數(shù)相乘等于1，互為相反數(shù)的兩個數(shù)比值為即可求解．【詳解】解；由題意可知，，，，原式．變式拓展1．下列各數(shù)是無理數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)，有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)；根據(jù)無理數(shù)的概念判斷即可．【詳解】解：由于，所以都是有理數(shù)，是無理數(shù)，故選：D．2．下列各數(shù)中：，，，，，，負數(shù)一共有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】本題主要考查了實數(shù)的分類，解題的關鍵是熟練掌握實數(shù)分為正實數(shù)、負實數(shù)和零．【詳解】解：，，，，，中負數(shù)有，，，共3個，故C正確．故選：C．3．在實數(shù)，，，，（相鄰兩個之間的個數(shù)逐次增加）中，無理數(shù)有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)與無理數(shù)的分類，無理數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)；有理數(shù)包含整數(shù)與分數(shù)．分別根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義逐項進行判斷即可，理解無理數(shù)的定義是解題關鍵．【詳解】解：，，為有理數(shù)；，為無理數(shù)，共有兩個，故選：B4．下列說法正確的是（

）A．所有無限小數(shù)都是無理數(shù) B．實數(shù)分為正實數(shù)、負實數(shù)、0C．是分數(shù) D．無理數(shù)與無理數(shù)的和仍是無理數(shù)【答案】B【分析】本題考查了無理數(shù)的概念、實數(shù)的分類，根據(jù)無理數(shù)的概念和實數(shù)的分類逐項判斷即可，熟練掌握相關定義是解此題的關鍵．【詳解】解：A、無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故原說法錯誤，不符合題意；B、實數(shù)分為正實數(shù)、負實數(shù)、0，故原說法正確，符合題意；C、是無理數(shù)，故原說法錯誤，不符合題意；D、無理數(shù)與無理數(shù)的和可能是有理數(shù)，例如，故原說法錯誤，不符合題意；故選：B．5．在實數(shù)、0、、、、中，無理數(shù)的個數(shù)為（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題主要考查無理數(shù)的識別，無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此進行判斷即可．熟練掌握其定義是解題的關鍵．【詳解】解：，，是無限不循環(huán)小數(shù)，它們是無理數(shù)；0，是整數(shù)，是分數(shù)，它們不是無理數(shù)；綜上，無理數(shù)共3個，故選：．6．下列說法正確的是（

）A．實數(shù)分為正實數(shù)和負實數(shù) B．是分數(shù)C．數(shù)軸上的點表示的數(shù)都是有理數(shù) D．是5的平方根【答案】D【分析】本題考查實數(shù)的分類，平方根的概念，實數(shù)與數(shù)軸，屬于基礎知識的考查，掌握相關概念或性質(zhì)解答即可．【詳解】解：A、實數(shù)分為正實數(shù)．負實數(shù)和零，原說法錯誤，本選項不符合題意；B、是無理數(shù)，不是分數(shù)，原說法錯誤，本選項不符合題意；C、數(shù)軸上的點表示的數(shù)都實數(shù)，原說法錯誤，本選項不符合題意；D、，則是5的平方根，原說法正確，本選項符合題意；故選：D7．下列說法正確的是（

）A．實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的 B．實數(shù)可以分為有理數(shù)、零和無理數(shù)C．帶根號的數(shù)都是無理數(shù) D．不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)的分類逐項判斷即可．【詳解】解：A.實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的，說法正確；B.實數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)，原說法錯誤；C.帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，例如，原說法錯誤；D.不帶根號的數(shù)不一定是有理數(shù)，例如，原說法錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)的分類，正確理解無理數(shù)的概念是解題的關鍵．8．在單元復習課上，老師要求寫出幾個與實數(shù)有關的結論，小明同學寫了以下5個：①任何無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)；②立方根等于它本身的數(shù)是和；③在和之間的無理數(shù)有且只有、、、這個；④是分數(shù)，是有理數(shù)；⑤由四舍五入得到的近似數(shù)表示大于或等于，而小于的數(shù)．其中正確的有（填序號）．【答案】①②⑤【分析】本題考查了無理數(shù)的定義，立方根，近似數(shù)；根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，立方根，實數(shù)的分類，近似數(shù)，可得答案．【詳解】解：①任何無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)，故①正確；②立方根等于它本身的數(shù)是和，故②正確；③在和之間的無理數(shù)有無數(shù)個，故③錯誤；④是無理數(shù)，故④錯誤；⑤由四舍五入得到的近似數(shù)表示大于或等于，而小于的數(shù)，故⑤正確；故答案為：①②⑤．9．下列各數(shù)，，……（相鄰兩個1之間2的個數(shù)逐次加1），，，，中，有理數(shù)有個．【答案】4【分析】根據(jù)實數(shù)的分類進行判定即可得出答案，有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)，其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都屬于分數(shù)．【詳解】解：有理數(shù)有，，，共4個．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了實數(shù)，熟練掌握實數(shù)的分類進行求解是解決本題的關鍵．10．在，，，，（相鄰兩個之間依次增加個）中，有理數(shù)有個．【答案】【分析】根據(jù)實數(shù)的分類，有理數(shù)是有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，由此即可求解．【詳解】解：在，，，，（相鄰兩個之間依次增加個）中，有理數(shù)有，，，共個，故答案為：．【點睛】本題主要考查實數(shù)的分類，掌握其分類的方法，有理數(shù)的概念是解題的關鍵．11．在，，，中，無理數(shù)是．【答案】【分析】無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，常見的無理數(shù)有開不盡方的數(shù)，含的最簡式子，特殊結構的數(shù)等，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)無理數(shù)的定義，可知無理數(shù)有，故答案為：．【點睛】本題主要考查無理數(shù)的定義，掌握實數(shù)的分類，無理數(shù)的定義，及常見無理數(shù)的形式是解題的關鍵．12．將下列各數(shù)進行分類（填序號即可）①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每個“2”之間依次多一個“0“．正整數(shù)：；分數(shù)：；無理數(shù)：．【答案】①⑤；④⑥；②⑦【分析】根據(jù)實數(shù)的分類即可解答．【詳解】解：，為正整數(shù)．正整數(shù)為：①⑤；分數(shù)為：④⑥；無理數(shù)為：②⑦．故答案為：①⑤；④⑥；②⑦．【點睛】本題考查了實數(shù)的分類，化簡絕對值和求一個數(shù)的立方根，熟練掌握和運用實數(shù)的分類是解決本題的關鍵．13．將下列各數(shù)填入相應的集合內(nèi)．，0.32，，0，，，，π，0.1010010001…①有理數(shù)集合{…}②無理數(shù)集合{…}③負實數(shù)集合{…}．【答案】，0.32，，0，，，π，0.1010010001【分析】根據(jù)實數(shù)的分類：實數(shù)分為有理數(shù)、無理數(shù)．或者實數(shù)分為正實數(shù)、0、負實數(shù)．進行填空．【詳解】解：，，，①有理數(shù)集合{，0.32，，0，，…}②無理數(shù)集合{，，π，0.1010010001…，…}③負實數(shù)集合{，…}．故答案為：，0.32，，0，；，，π，0.1010010001…；．【點睛】本題考查了實數(shù)的分類．注意0既不是正實數(shù)也不是負實數(shù)是解題的關鍵．14．把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的大括號里：，，，0，，，，，，，．負有理數(shù)集合：{}；分數(shù)集合：{}；無理數(shù)集合：{}；非負整數(shù)集合：{}．【答案】，，，，；，，，；，；，0，．【分析】根據(jù)實數(shù)的分類，即可得到答案．【詳解】解：負有理數(shù)集合：{，，，，，}；分數(shù)集合：{，，，，}；無理數(shù)集合：{，，}；非負整數(shù)集合：{，0，，}；故答案為：，，，，；，，，；，；，0，．【點睛】本題考查了實數(shù)，利用實數(shù)的分類是解題的關鍵．考向三近似數(shù)和科學記數(shù)法在用科學記數(shù)法表示數(shù)時，一定要正確確定的值.典例引領1．華為手機搭載了海思麒麟八核處理器，預裝華為自主研發(fā)的操作系統(tǒng)，為全球首款支持衛(wèi)星通話的智能手機．預計至2024年底，這款手機的出貨量將達到70000000臺．將70000000用科學記數(shù)法表示應為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，將一個數(shù)表示為的形式，其中，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學記數(shù)法，據(jù)此即可得出答案．【詳解】解：，故選：C．2．2023年9月23日晚，以“潮起亞細亞”為主題的杭州亞運會盛大開幕，本次亞運會觀眾預計達到570萬人次（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，將一個數(shù)表示成的形式，其中，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案，熟練掌握其定義是解題的關鍵．【詳解】解：萬，故選：D．3．長城的總長用科學記數(shù)法表示約為米，則它的原數(shù)為（

）A．670000米 B．6700000米 C．67000000米 D．670000000米【答案】B【分析】本題考查了科學記數(shù)法，解題的關鍵是掌握科學記數(shù)法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．本題根據(jù)已知科學記數(shù)法的結果再判斷原數(shù)，先確定原數(shù)的整數(shù)數(shù)位即可．【詳解】解：米對應的原數(shù)為6700000米，故選B4．今年8月3日晚出現(xiàn)了超級天文奇觀“土星合月”，使眾多天文愛好者一飽眼福．土星的直徑約為，關于下列說法正確的是（

）A．是一個5位數(shù) B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了科學記數(shù)法及有理數(shù)的運算，根據(jù)科學記數(shù)法的定義及有理數(shù)的運算法則逐項判斷即可．【詳解】解：A、是個6位數(shù)，故本選項不符合題意；B、，故本選項不符合題意；C、，故本選項不符合題意；D、，故本選項符合題意．故選：D．5．下列用四舍五入法得到的近似數(shù)，說法不正確的是（

）A．3.25萬精確到百分位 B．精確到十分位C．精確到千位 D．精確到萬分位【答案】A【分析】本題考查了近似數(shù)的精確度，看一個數(shù)精確到哪一位，就把這個數(shù)還原，看近似數(shù)的最后一位是在原數(shù)的哪一位上，就是精確到了哪一位，依此解答即可．【詳解】解：A、萬，精確到百位，原說法錯誤，故此選項符合題意；B、42.8精確到十分位，原說法正確，故此選項不符合題意；C、，精確到千位，原說法正確，故此選項不符合題意；D、0.0468精確到萬分位，原說法正確，故此選項不符合題意．故選：A．6．下列說法正確的是(

)．A．有4個有效數(shù)字 B．萬精確到C．精確到千分位 D．有個有效數(shù)字【答案】C【分析】本題考查了近似數(shù)與有效數(shù)字，近似數(shù)精確到哪一位，應當看末位數(shù)字實際在哪一位．有效數(shù)字是指從左起第一個不為0的數(shù)開始所有數(shù)字個數(shù)的和．【詳解】解：A、有3個有效數(shù)字，故本選項錯誤；B、萬精確到千位，故本選項錯誤；C、精確到千分位，故本選項正確；D、有4個有效數(shù)字，故本選項錯誤．故選：C．7．某市為做好“穩(wěn)就業(yè)、保民生”工作，將新建保障性住房套，緩解中低收入人群和新參加工作大學生的住房需求．把用科學記數(shù)法表示應是【答案】【分析】本題主要考查了科學記數(shù)法的表示方法，科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．【詳解】解：，故答案為：．8．國家航天局正式宣布，探月工程嫦娥六號任務計劃于2024年前后實施，月球與地球的平均距離約38.4萬千米，將數(shù)字384000用科學記數(shù)法表示．【答案】【分析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，此題考查科學記數(shù)法的表示方法，表示時關鍵要正確確定的值以及的值．【詳解】解：故答案為：．9．一個數(shù)用科學記數(shù)法可寫成，則這個數(shù)是．【答案】【分析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，根據(jù)科學記數(shù)法還原成原數(shù)，只需要將小數(shù)點向右移動位，即可求得．【詳解】解：，故答案為：【點睛】本題考查科學記數(shù)法的表示方法，掌握科學記數(shù)法還原是解題的關鍵．10．用四舍五入法對取近似數(shù)（精確到百分位）為．【答案】【分析】本題考查了近似數(shù)，把千分位上的數(shù)字6進行四舍五入即可．【詳解】解：（精確到百分位）．故答案為：．11．2023年10月16日是第43個世界糧食日，由于俄烏沖突引發(fā)的全球糧食危機導致超過3.45億人正遭受或面臨嚴重糧食不足的風險；近似數(shù)3.45億精確到位．【答案】百萬【分析】根據(jù)近似數(shù)的精確度定義即可求出，本題主要考查近似數(shù)的精確度，熟練掌握其定義是解題的關鍵．【詳解】解：近似數(shù)3.45億精確到百萬位；故答案為：百萬．變式拓展1．地球的海洋面積約為平方米，其中數(shù)用科學記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了科學記數(shù)法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．【詳解】解：，故選：C．2．國家提倡“低碳減排”，鹽城某公司計劃在海邊建風能發(fā)電站，電站年均發(fā)電量約為213000000度，若將數(shù)據(jù)213000000用科學記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查科學記數(shù)法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．【詳解】解：數(shù)據(jù)213000000用科學記數(shù)法表示為，故選：C．3．下列近似數(shù)中，說法正確的是（

）A．與精確度相同 B．精確到了十萬位C．精確到了十分位 D．1.2萬精確到了萬位【答案】B【分析】本題考查了近似數(shù)：經(jīng)過四舍五入得到的數(shù)為近似數(shù)；近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般的，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法．【詳解】解：A、精確到十分位，0.20精確到百分位，則與精確度不相同，此選項不符合題意；B、精確到個位，是精確到十萬位，此選項符合題意；C、精確到了百位，此選項不符合題意；D、萬精確到了千位，此選項不符合題意；故選：B4．3970000用科學記數(shù)法表示為．【答案】【分析】本題考查了科學記數(shù)法的表示方法，科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值大于等于10時，是非負數(shù)，當原數(shù)絕對值小于1時，是負數(shù)，表示時關鍵是要正確確定的值以及的值．【詳解】解：3970000用科學記數(shù)法表示為，故答案為：．5．據(jù)相關機構統(tǒng)計，去年我國智能網(wǎng)聯(lián)汽車規(guī)模近億元，比年增長近4倍，預計到年將突破億元．在龐大的規(guī)模效應背景下，業(yè)內(nèi)普遍認為，標準制定是智能網(wǎng)聯(lián)汽車未來發(fā)展的關鍵，要為更高階自動駕駛大規(guī)模量產(chǎn)持續(xù)鋪路．億用科學記數(shù)法表示為．【答案】【分析】本題考查了科學記數(shù)法的表示方法，科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中,n為整數(shù)，表示時關鍵是要正確確定a的值以及n的值．【詳解】解：億．故答案為：．6．近似數(shù)精確到百分位約等于．【答案】【分析】本題考查了近似數(shù)，解題的關鍵是把千分位上的數(shù)字8進行四舍五入．【詳解】解：（精確到百分位）．故答案為：．7．近似數(shù)萬的精確到位．【答案】百【分析】本題主要考查了精確度，只需要找到近似數(shù)萬中最右邊的數(shù)字8所在的位即可得到答案．【詳解】解：近似數(shù)萬中，最右邊的數(shù)字8在百位上，則近似數(shù)萬的精確到百位，故答案為：百．8．用四舍五入法對2.0156取近似數(shù)為：（精確到百分位）．【答案】2.02【分析】本題考查了近似數(shù)，把千分位上的數(shù)字進行四舍五入是解此題的關鍵．【詳解】解：用四舍五入法對2.0156精確到百分位，取近似數(shù)為2.02，故答案為：2.02．9．用四舍五入法對取近似數(shù)，精確到百分位的結果是．【答案】【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的近似數(shù)，只需要對千分位上的數(shù)字4進行四舍五入即可得到答案．【詳解】解：用四舍五入法對取近似數(shù)，精確到百分位的結果是，故答案為：．10．一個高為，寬為的長方形的面積是多少．（精確到）【答案】【分析】運用長方形面積計算法則計算后精確到即可；【詳解】長方形的面積是：，即．【點睛】該題主要考查了精確度和近似值，解答該題的關鍵是掌握近似數(shù)的確定方法．考向四實數(shù)與數(shù)軸1．數(shù)軸形象地反映了數(shù)與點之間的關系，數(shù)軸上的點與實數(shù)之間是一一對應的，任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù).在中考中通常借助于數(shù)軸這一數(shù)與形的相互轉化的特點來呈現(xiàn)或解決數(shù)學問題；2.利用數(shù)軸可以形象直觀地理解相反數(shù)、絕對值的意義（代數(shù)意義、幾何意義）.典例引領1．一個點在數(shù)軸上表示，該點在數(shù)軸上移動3個單位長度后所表示的數(shù)是（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，；利用分類討論的思想解決問題是解題關鍵．【詳解】解：在數(shù)軸上向左移動3個單位長度后所表示的數(shù)是；在數(shù)軸上向右移動3個單位長度后所表示的數(shù)是；即該點在數(shù)軸上移動3個單位長度后所表示的數(shù)是或，故選：C．2．數(shù)軸上，點M和P的距離記為，點A和P的距離記為．給出如下定義：若不小于，且不大于，則稱點A是點P關于點M的捕獲點．已知：如圖，點O為原點，點N表示的數(shù)是2，點B表示的數(shù)是4，點C表示的數(shù)是5．例如：若點A表示3，則，，不小于，不大于．故點A是點O關于點N的捕獲點．（1）若點A是點O關于點N的捕獲點，則點A所表示數(shù)的最大值為：．（2）若點A表示的數(shù)為a，點A既是點O關于點N的捕獲點，還是點C關于點B的捕獲點，寫出a的取值范圍：．【答案】4【分析】本題考查了新定義，數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，關鍵是新定義的閱讀理解要準確．（1）根據(jù)捕獲點的定義求點A所表示數(shù)的取值范圍，得到最大值．（2）點A既是點O關于點N的捕獲點，還是點C關于點B的捕獲點，找到兩個范圍，取公共部分即可．【詳解】解：點A是點O關于點N的捕獲點，，，，∴點A所表示數(shù)的最大值為：4．故答案為：4．（2）∵點A是點C關于點B的捕獲點，，，，點表示的數(shù)是5，或．點是點關于點的捕獲點，，，，或，．故答案為：．3．點A在數(shù)軸上對應的數(shù)為，點B在數(shù)軸上對應的數(shù)為，點在數(shù)軸上對應的數(shù)為x，若點到點的距離是點到點的距離倍，則=．【答案】或【分析】本題考查了數(shù)軸，本題考查了數(shù)軸，由題意得，，再根據(jù)，列出式子，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：由題意得，，，，，當時，，解得；當時，，解得；當時，，解得；綜上，的值為2或5，故答案為：或．4．已知：點A，B，C在數(shù)軸上的位置如圖所示，請觀察數(shù)軸并解答下列問題：(1)表示有理數(shù)的點是______，點B表示的有理數(shù)是______；A，C兩點之間的距離為______個單位長度；(2)在數(shù)軸上畫出點，分別表示有理數(shù)和；這兩個數(shù)之間所有的負整數(shù)是______；(3)將，，，這四個數(shù)用“”連接的結果是：______．【答案】(1)，，；(2)畫圖見解析；，，(3)【分析】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點的距離，利用數(shù)軸比較有理數(shù)大?。?）根據(jù)數(shù)軸上點的位置和數(shù)軸上兩點距離公式求解即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上表示有理數(shù)的方法求解即可；（3）根據(jù)數(shù)軸上左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)進行求解即可．【詳解】（1）解：由題意得表示有理數(shù)的點是A，點B表示的有理數(shù)是3.5；A，C兩點之間的距離為個單位長度，故答案為：，，；（2）解：如圖所示，即為所求；和，這兩個數(shù)之間所有的負整數(shù)是：，，；故答案為：，，．（3）解：由題意得，故答案為：．5．我們規(guī)定：在數(shù)軸上，若點M到點A的距離是2，則稱點M為點A的“青春點”；若點N到點A、B的距離之和是5，則稱點N為點A、B的“奮斗中心”．(1)若點A表示最大的負整數(shù)，則點A的“青春點”M表示的數(shù)是；(2)如圖1，點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是2，若點N為點A、B的“奮斗中心”，求滿足條件的點N所表示的整數(shù)的和；(3)如圖2，點A、B、N在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是、1、4，點P從點A出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿數(shù)軸向右運動，同時點Q從點B出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿數(shù)軸向右運動，求經(jīng)過幾秒點N是點P、Q的“奮斗中心”．【答案】(1)或1(2)(3)經(jīng)過秒或秒，點N是點P、Q的“奮斗中心”【分析】本題為新定義問題，考查了數(shù)軸上上的點表示有理數(shù)，絕對值方程等知識，理解新定義，根據(jù)題意設出未知數(shù)，列出方程是解題關鍵．（1）先確定點A表示的數(shù)是﹣1，設M表示的數(shù)是x，根據(jù)“青春點”的定義得到絕對值方程，解方程即可求解；（2）設點N表示的數(shù)為y，即可得到，根據(jù)N表示的數(shù)是整數(shù)，得到y(tǒng)的值為，求和即可求解；（3）設經(jīng)過z秒，點N是點P、Q的“奮斗中心”，得到經(jīng)過z秒，點P表示的數(shù)是，點Q表示的數(shù)是，根據(jù)“奮斗中心”的定義列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵點A表示最大的負整數(shù)，∴點A表示的數(shù)是，設M表示的數(shù)是x，則，解得或1，∴點A的“青春點”M表示的數(shù)是﹣3或1，故答案為：或1；（2）解：設點N表示的數(shù)為y，∵A，B間的距離為5，∴，∵N表示的數(shù)是整數(shù)，∴y的值為，∴滿足條件的點N所表示的整數(shù)的和為；（3）解：設經(jīng)過z秒，點N是點P、Q的“奮斗中心”．根據(jù)題意可知，經(jīng)過z秒，點P表示的數(shù)是，點Q表示的數(shù)是，由題意知，，∴，∴，∴，∴或，解得或，∴經(jīng)過秒或秒，點N是點P、Q的“奮斗中心”．6．如圖，在數(shù)軸上點表示數(shù)，點表示數(shù)，且滿足．(1)______，______；(2)如圖，一根木棒放在數(shù)軸上，木棒的左端與數(shù)軸上的點重合，右端與點重合．若將木棒沿數(shù)軸向右水平移動，則當它的左端移動到點時，它的右端與點重合：若將木棒沿數(shù)軸向左水平移動，則當它的右端移動到點時，則它的左端與點重合．若數(shù)軸上一個單位長度表示．則①由此可得到木棒長為______；②圖中點表示的數(shù)是______，點表示的數(shù)是______；(3)由題（1）（2）的啟發(fā)，請你能借助“數(shù)軸”這個工具幫助小紅解決下列問題：一天，小紅去問曾當過數(shù)學老師現(xiàn)在退休在家的爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要39年才出生，你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)117歲，是老壽星了，哈哈！”請求出爺爺現(xiàn)在多少歲．【答案】(1)7，28(2)①7；②14，21(3)爺爺現(xiàn)在的年齡是65歲【分析】本題考查非負數(shù)的性質(zhì)，數(shù)軸上兩點間距離，數(shù)軸上的動點問題：（1）利用絕對值和平方的非負性求解；（2）根據(jù)木棒的移動可得，再結合（1）中結論求解；（3）把小紅與爺爺?shù)哪挲g差看做木棒，根據(jù)爺爺說的話建立數(shù)軸，參照（2）中作法求解；【詳解】（1）解：因為，所以，解得．故答案為：7，28．（2）解：①由題知，，又因為點表示的數(shù)是7，點表示的數(shù)為28，且，所以，即木棒的長度為．故答案為：7；②因為，所以點表示的數(shù)是14；因為，所以點表示的數(shù)是21；故答案為：14，21．（3）解：根據(jù)題意，建立數(shù)軸如圖所示，小紅現(xiàn)在的年齡對應數(shù)軸上的點，爺爺現(xiàn)在的年齡對應數(shù)軸上的點，則當點移動到點時，點移動到了點；當點移動到點時，點移動到了點，所以，又因為爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要39年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)117歲，是老壽星了”，所以，且，所以爺爺現(xiàn)在的年齡是65歲．7．【閱讀材料】若數(shù)軸上點、點表示的數(shù)分別為，（），則、兩點間的距離可表示為，記作．【解決問題】一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動2個單位長度到達點，再向右移動10個單位長度到達點．(1)請畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標出、兩點的位置；(2)若動點，分別從點，同時出發(fā)，沿數(shù)軸向左運動．已知點的速度是每秒1個單位長度，點的速度是每秒2個單位長度，設移動時間為秒（）．①用含的代數(shù)式表示：秒時，點表示的數(shù)為______，點表示的數(shù)為______；②為何值時，點表示的數(shù)與點表示的數(shù)互為相反數(shù)？③為何值時，，兩點之間的距離為4？【答案】(1)見解析(2)①，；②；③或．【分析】本題考查的是數(shù)軸的定義及數(shù)軸上兩點之間的距離公式，弄清題中的規(guī)律是解本題的關鍵．（1）根據(jù)題意畫出數(shù)軸，即可解答；（2）①用含的代數(shù)式表示即可；②根據(jù)相反數(shù)的意義列式計算即可求解；③根據(jù)題意列出絕對值方程即可求解．【詳解】（1）解：如圖：；（2）解：①秒時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為；故答案為：，；②由題意得：，解得：；③由題意得：，即，∴或，解得：或．8．點在數(shù)軸上所表示的數(shù)如圖所示，將點向左平移2個單位長度，得到點的相反數(shù)，點是數(shù)軸上一動點．(1)點表示的數(shù)是_______；(2)若點在數(shù)軸上移動了個單位長度得到點，且，求的值；(3)若點為的中點，點為的中點，點在運動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請你求出線段的長度；若發(fā)生變化，請你說明理由．【答案】(1)(2)或(3)線段的長度不變，且為3，見解析【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，兩點間的距離，數(shù)軸上的平移，熟練掌握兩點間的距離是解題的關鍵，（1）根據(jù)點表示的數(shù)是4，平移左減2兩個單位得到的數(shù)是2，其相反數(shù)即為點B表示的數(shù)．（2）根據(jù)點表示的數(shù)是4，，確定點C表示的數(shù)，再計算平移單位數(shù)即可．（3）分，，三種情況計算即可．【詳解】（1）∵點表示的數(shù)是4，∴平移左減2兩個單位得到的數(shù)是2，其相反數(shù)即為點B表示的數(shù)．∴點B表示的是，故答案為：．（2）∵點表示的數(shù)是4，，∴，∴或，解得或，∵點B表示的是，∴向右平移或故或．（3）設點P表示的數(shù)是，點D表示的數(shù)是，點E表示的數(shù)是，∵點B表示的是，點表示的數(shù)是4，當時，，，∴；當時，，，∴；當時，，，∴；故線段的長度不變，且為3．變式拓展1．實數(shù)a、b在數(shù)軸上所對應的點如圖所示，化簡的結果是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查數(shù)軸，絕對值，二次根式的性質(zhì)．先根據(jù)數(shù)軸確定a，b的范圍，再根據(jù)絕對值和二次根式的性質(zhì)進行化簡，即可解答．【詳解】由數(shù)軸可得，，∴，，∴，故選：A．2．如圖，在數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】考查了數(shù)軸上點的表示方法，利用勾股定理求斜邊．根據(jù)勾股定理求出斜邊長為，弧的半徑等于，點A在的左邊，表示的數(shù)為．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：，點A表示的數(shù)為．故選：D．3．如圖，數(shù)軸上點表示的實數(shù)是．

【答案】/【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜邊長即可得出點對應的實數(shù)．【詳解】解：由圖形可得：到的距離為，則數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸、勾股定理等知識，數(shù)形結合是解題關鍵．4．把下列實數(shù)表示在數(shù)軸上，并比較它們的大?。ㄓ谩啊边B接）．，0，，，

用“”連接：【答案】圖見解析，【分析】本題考查了用數(shù)軸表示實數(shù)及利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小，根據(jù)用數(shù)軸表示實數(shù)的方法表示出實數(shù)，再根據(jù)數(shù)軸上點的特點即可比較大小，熟練掌握用數(shù)軸表示實數(shù)的方法及數(shù)軸上點的特點是解題的關鍵．【詳解】解：，原數(shù)在數(shù)軸上表示為：

用“”連接為：，故答案為：．5．閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a，b，則A，B兩點之間的距離表示為．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是_________．(2)數(shù)軸上表示x與的兩點之間的距離表示為__________．(3)若x表示數(shù)軸上的一個實數(shù)，且，則___________．(4)若x表示數(shù)軸上的一個實數(shù)，求最小值．【答案】(1)3(2)(3)3或(4)【分析】本題考查了絕對值的性質(zhì)，關鍵掌握數(shù)軸上兩點間距離的表示方法、理解絕對值的幾何意義和絕對值非負的性質(zhì)．（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離等于這兩個數(shù)的差的絕對值列式計算即可得出結論；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點的距離等于這兩個數(shù)的差的絕對值列式即可得出結論；（3）根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡即可得出結論；（4）結合數(shù)軸，根據(jù)絕對值幾何意義可得最小值．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是，故答案為：3；（2）解：數(shù)軸上表示x與的兩點之間的距離是，故答案為：；（3）解：，當時，，解得：；當時，，解得：；當時，；故答案為：3或；（4）解：表示x到點的點距離之和，當時，的值最小是：．6．閱讀下面材料：若點在數(shù)軸上分別表示實數(shù)，則兩點之間的距離表示為，且；回答下列問題：

(1)①數(shù)軸上表示和3的兩點和之間的距離是；②在①的情況下，如果，那么為；(2)代數(shù)式取最小值時，相應的的取值范圍是．(3)若點在數(shù)軸上分別表示數(shù)，是最大的負整數(shù)，且，點同時開始在數(shù)軸上運動，若點以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向右運動，假設秒鐘過后，若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為．請問：的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【答案】(1)①；②1或5(2)(3)①，，②不變，其值為0．【分析】本題主要考查了絕對值的非負性、數(shù)軸上兩點之間的距離、數(shù)軸上動點問題等知識．（1）①根據(jù)兩點之間的距離公式可得；②根據(jù)距離公式得出關于的絕對值方程，求解即可；（2）的最小值，意思是到的距離與到2的距離之和最小，那么應在和2之間的線段上；（3）①先根據(jù)是最大的負整數(shù)，求出，再根據(jù)，即可求出；②先求出，，從而得出．【詳解】（1）解：①數(shù)軸上表示和3的兩點和之間的距離是；②如果，即，∴，∴或．故答案為：①；②1或5；（2）解：∵，∴即為數(shù)軸上某點到的距離與該點到2的距離之和，如下圖，

的最小值，即表示某點到的距離與到2的距離之和最小，所以，當時，最小值是5．故答案為：；（3）解：①∵是最大的負整數(shù)，∴，∵，又∵，，∴，，∴，，；②的值不隨著時間的變化而改變，其值是0．理由如下：∵點都以每秒1個單位的速度向左運動，點和點分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向右運動，則點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，∴，，∴．7．如圖，實數(shù)在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡的結果．【答案】【分析】本題主要考查了整式的加減混合運算，立方根的性質(zhì)，算術平方根的性質(zhì)．觀察數(shù)軸可得，再根據(jù)立方根的性質(zhì)，算術平方根的性質(zhì)化簡，然后計算，即可求解．【詳解】解：觀察數(shù)軸得：，．8．若，化簡，某同學的解答過程如圖．解：原式第一步第二步第三步(1)該同學的解答從第______步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是用錯了性質(zhì)：當時，______；當時，______；(2)寫出原題正確的解答過程；(3)若實數(shù)，在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡：．

【答案】(1)二，，(2)，過程見解析(3)【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可；（3）根據(jù)數(shù)軸先得到，，，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】（1）解：由化簡過程可知，從第二步出現(xiàn)錯誤，當時，，當時，，故答案為：二，，；（2）∵，∴，；（3）由數(shù)軸可知：，，，．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，數(shù)軸上的有理數(shù)，熟知二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關鍵．考向五實數(shù)的大小比較比較實數(shù)的大小時，選擇正確的方法比較大小是解題的關鍵.常用的有：典例引領1．比較大?。?（填“>”，“<”或“=”）．【答案】【分析】本題考查了實數(shù)的大小比較，無理數(shù)的估算，根據(jù)題意得到，進而得到，解題的關鍵是根據(jù)無理數(shù)的估算方法得到．【詳解】解：∵∴∴．故答案為：．2．比較大?。?．【答案】【分析】本題主要考查了實數(shù)比較大小，根據(jù)中，被開方數(shù)越大，則越大可得只需要判斷出17和16的大小即可得到答案．【詳解】解；∵，∴，故答案為：．3．已知下列各數(shù)：，的相反數(shù)，，，．(1)將上述各數(shù)表示在數(shù)軸上．(2)將上述各數(shù)按從小到大的順序用“<”連接．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小，準確熟練在數(shù)軸上找到各數(shù)對應的點是解題的關鍵．（1）在數(shù)軸上找到各數(shù)對應的點，即可解答；（2）利用（1）的結論，即可解答．【詳解】（1）的相反數(shù)是1，，如圖：（2）．4．在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，再用“”號把它們連接起來．，，，，【答案】圖見解析，【分析】本題考查實數(shù)與數(shù)軸、實數(shù)的大小比較，先化簡各數(shù)，再將各數(shù)表示在數(shù)軸上，然后根據(jù)數(shù)軸上，右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)的順序用“”將各數(shù)連接起來即可．【詳解】解：，，將各數(shù)表示在數(shù)軸上如圖：由圖知：5．把表示下列各數(shù)的點畫在數(shù)軸上，再按從小到大的順序，用“<”號把這些數(shù)連接起來．【答案】，數(shù)軸見解析【分析】本題考查了利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，先計算絕對值和平方根，再在數(shù)軸上把各個數(shù)表示出來，再按在數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大比較即可．【詳解】解：，，在數(shù)軸上表示為：．6．一年一度的招生工作開始了，某學校招生老師計劃給新生郵寄錄取通知書，已知錄取通知書是面積為的正方形紙片，現(xiàn)向后勤部門了解到，只有一種長與寬之比為，面積為的長方形信封，若錄取通知書不能折疊或彎曲，問能否把錄取通知書放入此種長方形信封中？并說明理由．【答案】能，見解析【分析】本題考查了算術平方根的應用，設長方形信封的長為，窩為．根據(jù)題意求得，進而即可求解．【詳解】解：能．理由如下：錄取通知書是面積為的正方形，正方形的邊長為，設長方形信封的長為，窩為．依題意得，，．，，．，能將錄取通知書放入此種長方形信封中．變式拓展1．實數(shù)，，0，四個數(shù)中，最小的是（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】根據(jù)負數(shù)小于零小于正數(shù)，兩個負數(shù)絕對值大的反而小，進行判斷即可．【詳解】解：由題意知，，，∵，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較．解題的關鍵在于熟練掌握：負數(shù)小于零小于正數(shù)；兩個負數(shù)絕對值大的反而?。?．如圖，數(shù)軸上點M表示的數(shù)可能是（）A． B．3 C．2 D．【答案】A【分析】本題主要考查了實數(shù)比較大小，實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸上點的位置得到，再推出即可得到答案．【詳解】解：由題意得，，∵，∴，∴數(shù)軸上點M表示的數(shù)可能是，故選A．．3．下列比較大小正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)實數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負數(shù)；④兩個負數(shù)，絕對值大的其值反而小，進而分析得出答案．【詳解】解：A、∵，，，∴，故本選項符合題意；B、∵，，，∴，故本選項不符合題意；C、∵，，，∴，故本選項不符合題意；D、∵，∴，故本選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查的是實數(shù)數(shù)的大小比較，熟知負數(shù)比較大小的法則是解答此題的關鍵．4．如圖，有一個半徑為個單位長度的圓，將圓上的點A放在原點，并把圓沿數(shù)軸逆時針方向滾動一周，點A到達點的位置，則點表示的數(shù)(用含π的式子表示)；若點B表示的數(shù)是，則點B在點的(填“左邊”、

“右邊”)【答案】右邊【分析】轉動一圈點運動的路徑長度為圓的周長，得到點表示的數(shù)，比較兩個實數(shù)的大小，確定點B在點的哪一側即可．【詳解】解：由題意，得：點A到達點的位置，所以點移動了個單位長度，∴點表示的數(shù)為，∵，∴，∴，∴點B在點的右邊；故答案為：，右邊．【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上的點的移動：左減右加，以及比較實數(shù)大小的方法，是解題的關鍵．5．比較大?。海?）；（2）；【答案】【分析】本題主要考查求一個數(shù)的平方根，立方根的運算及比較大小，掌握負數(shù)小于零，無理數(shù)比較大小的方法是解題的關鍵．【詳解】解：根據(jù)負數(shù)小于零得，；∵，，且，∴，故答案為：，．6．比較大?。海敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查了實數(shù)的大小比較，解題的關鍵是將兩個數(shù)平方后比較．【詳解】解：，，∵，∴，故答案為：．考向六無理數(shù)的估算無理數(shù)的估算在近年的中考試卷中頻頻出現(xiàn)，無理數(shù)的估算既不是估計、也不是猜測，它是一種科學的計算方法，往往通過逐步逼近的方法確定一個數(shù)的大小或范圍.典例引領1．已知，分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查二次根式的估算和無理式的整數(shù)和小數(shù)部分，熟練掌握二次根式的估算是解答本題的關鍵．先估算的取值范圍，進而可求的取值范圍，從而可求，進而求，最后把、的值代入計算即可．【詳解】解：，，，則，，，．故選：D．2．對于任何實數(shù)a，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如，．，現(xiàn)對72