考點07 二次函數的圖像與性質（解析版）

考點七二次函數的圖像與性質知識點整合一、二次函數的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．二、二次函數解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）．（2）頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數，a≠0），頂點坐標是（h，k）．（3）交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數與x軸的交點的橫坐標，a≠0．三、二次函數的圖象及性質1．二次函數的圖象與性質解析式二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）對稱軸x=–頂點（–，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當x=–時，y最小值=當x=–時，y最大值=最點拋物線有最低點拋物線有最高點增減性當x<–時，y隨x的增大而減??；當x>–時，y隨x的增大而增大當x<–時，y隨x的增大而增大；當x>–時，y隨x的增大而減小2.二次函數圖象的特征與a，b，c的關系字母的符號圖象的特征aa>0開口向上a<0開口向下bb=0對稱軸為y軸ab>0（a與b同號）對稱軸在y軸左側ab<0（a與b異號）對稱軸在y軸右側cc=0經過原點c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負半軸相交b2–4acb2–4ac=0與x軸有唯一交點（頂點）b2–4ac>0與x軸有兩個交點b2–4ac<0與x軸沒有交點四、拋物線的平移1．將拋物線解析式化成頂點式y(tǒng)=a（x–h）2+k，頂點坐標為（h，k）．2．保持y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到（h，k）處，具體平移方法如下：3．注意二次函數平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據此，可以直接由解析式中常數的加或減求出變化后的解析式；二次函數圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據頂點之間的平移求出變化后的解析式．考向一二次函數的有關概念1．二次函數的一般形式的結構特征：①函數的關系式是整式；②自變量的最高次數是2；③二次項系數不等于零．2．一般式，頂點式，交點式是二次函數常見的表達式，它們之間可以互相轉化．典例引領1．二次函數的二次項是，一次項系數是，常數項是．【答案】5【分析】根據二次函數的定義判斷即可?！驹斀狻拷猓憾魏瘮档亩雾検?，一次項系數是，常數項是，故答案為：①，②，③，【點睛】此題主要考查了二次函數的定義，要熟練掌握，一般地，形如、、是常數，的函數，叫做二次函數．其中、是變量，、、是常量，是二次項系數，是一次項系數，是常數項．2．已知函數是二次函數，則．【答案】【分析】根據定義得：形如是常數，且的函數是二次函數，列方程可求得答案．【詳解】解：依題意得：且，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的定義．注意：二次函數中，是常數，本題關鍵點為．3．二次函數的二次項系數是．【答案】【分析】先進行多項式的乘法運算，再合并同類項化成一般式即可．【詳解】解：，，∴二次項系數是，故答案為：．【點睛】此題考查了二次函數的一般形式，解題的關鍵是掌握化成一般形式，確定二次項系數，一次項系數和常數項．變式拓展4．下列函數①；②；③；④；⑤．其中是二次函數的是．【答案】②④/④②【分析】根據二次函數的定義，函數式為整式且自變量的最高次數為2，二次項系數不為0，逐一判斷．【詳解】解：①為一次函數；②為二次函數；③自變量次數為3，不是二次函數；④為二次函數；⑤函數式為分式，不是二次函數．故答案為②④．【點睛】本題考查二次函數的定義，能夠根據二次函數的定義判斷函數是否屬于二次函數是解決本題的關鍵．5．有下列函數：①；②；③；④．其中y是x的二次函數有．（填序號）【答案】②③④【分析】根據二次函數定義：形如（a、b、c是常數，）的函數，叫做二次函數進行分析即可．【詳解】解：y是x的二次函數的是②；③；④．故答案為：②③④．【點睛】此題主要考查了二次函數定義，判斷函數是否是二次函數，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據二次函數的定義作出判斷，要抓住二次項系數不為0這個關鍵條件．6．若是關于x的二次函數．則m的值為．【答案】【分析】本題考查了二次函數．解題的關鍵是掌握二次函數的定義：函數，、、為常數）叫二次函數．利用二次函數定義可得，且，再解即可．【詳解】解：由題意得：，且，解得：，故答案為：．7．若是y關于x的二次函數，則．【答案】2【分析】該題主要考查了二次函數的定義；牢固掌握定義是解題的關鍵．根據（a是不為0的常數）是二次函數，可得答案．【詳解】解：∵是y關于x的二次函數，∴且，解得：．故答案為：2．8．已知函數是二次函數，則．【答案】【分析】根據二次函數的定義：形如，這樣的函數叫做二次函數，得到，進行求解即可．【詳解】解：∵函數是二次函數，∴，∴；故答案為：．考向二二次函數的圖象與性質二次函數的圖象是一條關于某條直線對稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.二次函數的解析式中，a決定拋物線的形狀和開口方向，h、k僅決定拋物線的位置．若兩個二次函數的圖象形狀完全相同且開口方向相同，則它們的二次項系數a必相等．典例引領1．已知函數，當，且為整數時，所有函數值的和為．【答案】【分析】本題主要考查二次函數圖象的性質，根據題意，令，可判定二次函數當時，函數值為負，再根據絕對值的性質去絕對值，結合為整數，即可求解，掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．【詳解】解：令，∴當時，，∵，∴當時，，∴，∵為整數，∴，∴；當時，，∴；∴當時，且為整數，所有函數值的和為：，故答案為：．2．已知拋物線，經過四點，則與的大小關系是（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】＜【分析】本題考查二次函數的對稱性，比較二次函數的函數值大小，根據對稱性求出拋物線的對稱軸，再根據二次函數的性質，比較函數值大小即可．解題的關鍵是確定對稱軸．【詳解】解：由拋物線經過知拋物線對稱軸為直線，且，∴拋物線上的點離對稱軸距離越小，對應函數值越大，∵，∴，故答案為：＜．3．二次函數，當時，，則值為．【答案】/【分析】此題考查了二次函數的圖象及性質，由可知，拋物線的對稱軸為直線，又時，，則分和，兩種情況，再根據性質即可求解，熟練掌握二次函數的圖象及其性質的應用．【詳解】解：由可知，拋物線的對稱軸為直線，又∵時，，根據題意可知，，如圖，時有最小值，即，當時有最大值，即，解得：，，∴，時，如圖，時有最大值，即，當時有最小值，即，解得：，，∴，故答案為：或．4．定義：兩個不相交的函數圖象在豎直方向上的最短距離，叫做這兩個函數的“向心值”．則拋物線與直線的“向心值”為．【答案】【分析】此題考查了一次函數，二次函數的性質以及新定義問題，解題的關鍵是熟練掌握正確分析“向心值”的概念．根據“向心值”的概念讓兩個表達式相減，然后求解得到的二次函數最小值即可．【詳解】解：∵兩個不相交的函數圖象在豎直方向上的最短距離為這兩個函數的“向心值”，∴設“向心值”為w，∴，∴的最小值為．故答案為：．變式拓展5．已知二次函數，當時，隨的增大而減小，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了二次函數的增減性以及圖象性質：根據題意可得拋物線開口向下，在時，y隨x的增大而減小，據此即可作答．【詳解】解：∵，且，∴當時，隨的增大而減小，∴．故答案為：6．已知拋物線（a，b，c為常數，）的對稱軸是直線，其部分圖象如圖，則以下四個結論中：①；②；③；④．其中，正確結論的序號是．【答案】②③④【分析】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，①根據拋物線開口向下可得，對稱軸在y軸右側，得，拋物線與y軸正半軸相交，得，進而即可判斷；②根據拋物線對稱軸是直線，即，可得進而可以判斷；③當時，，即，根據,可得，即可判斷；④根據頂點坐標和進而可以判斷．【詳解】解：①根據拋物線開口向下可知：，∵對稱軸在y軸右側，即：，∴，∵拋物線與y軸正半軸相交，∴，∴，∴①錯誤；②∵拋物線對稱軸是直線，即，∴∴，故②正確；③由圖象知，與關于對稱軸對稱，當時，，即，∵,∴，故③正確；④∵,∴，如果,那么,∵，∴,根據拋物線與y軸的交點，可知，∴結論④正確．故答案為：②③④．7．已知二次函數．（1）若拋物線經過點，則．（2）若當時，其對應的函數值的最小值為4，則．【答案】30或4/4或0【分析】本題考查二次函數圖象及性質．（1）根據題意先將點代入中即可求出的值；（2）根據給定的，分情況討論最小值情況即可求出本題答案．【詳解】解：（1）∵拋物線經過點，∴將點代入中得：，∴；（2）∵當時，其對應的函數值的最小值為4，①當處取得最小值，則，解得：或，∵拋物線對稱軸是，當時，即對稱軸為與討論情況矛盾，故舍去，∴；②當處取得最小值，則，解得：或，∵拋物線對稱軸是，當時，即對稱軸為與討論情況矛盾，故舍去，∴；③當對稱軸取得最小值，∵，∴對稱軸為：，此時，∴此種情況舍去，故答案為：0或4．8．定義一種新的運算“早”，運算規(guī)則如下：（1）當時，；（2）當時，．那么當時，的最大值是．【答案】2【分析】本題主要考查了新運算法則、二次函數的性質等知識點，掌握分類討論思想是解題的關鍵．分和兩種情況，分別根據新運算法則求出最值，然后進行比較即可解答．【詳解】解：當時，；當時，；∵，對稱軸為，，∴當時，有最大值，，∴的最大