初中數(shù)學(xué)《全等三角形中輔助線的添法》壓軸題及答案

全等三角形中輔助線的添法(三大模型)1.(23-24八年級上·江蘇·期末)△ABC中．AD是BCBC于點D．(1)AD到點E=AD接BE．求證：△≌△EBD．(2)∠=90°AD與BC(3)CE是邊ABCE交AD于點O．請你猜想線段AO與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2.(23-24八年級上·廣西北?！て谀?如圖1△ABCAB=9AC=5BC邊上的中線AD的取值范圍．小紅在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，AD到點E=AD(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△的理由是；1A.SSSB.C.AASHL(2)求得AD的取值范圍是；A.5<AD<9C.2<AD<7B.5≤AD≤92≤AD≤7(3)答．如圖2△ABCE在BC=DCE作∥AB=AC．求證：AD平分∠．3.(23-24八年級上·安徽安慶·期末)(1)△ABCAB=6AC=4AD為BC邊上的中線，求AD的取值范圍；(2)△ABCD是BC的中點，⊥DF交AB于點EDF交AC于點F，判斷BE+CF與的大小關(guān)系并證明；(3)中，AB∥CDAF與DC的延長線交于點FE是BCAE是∠的角平分線．試探究線段ABAFCF4.(23-24八年級上·江蘇南通·期中)1△ABCAB=6,AC=4BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方1AD到點E=AD接BE．請根據(jù)小明的思路繼續(xù)思考：(1)由已知和作圖能證得△ADC≌△到BE=AC△ABE中求得2ADAD的取值范圍是．2系；(2)如圖2AD是△ABC的中線，AB=AE,AC=AF,∠+∠CAF=180°AD與(3)如圖3△ABC中，D,E是BC的三等分點．求證：AB+AC>AD+AE．5.(23-24七年級下·廣東佛山·期中如圖，△ABC中，AB=8AC=6BC邊上的中線ADAD到點E=AD請根據(jù)小明的方法思考：(1)求得AD的取值范圍是；(倍長中線)解決下列三個問題∠+∠=180°AB=ACDC=P為BE的中點．(2)如圖1ACDAP平分∠；(3)如圖2ACDAP⊥DP；(4)如圖3點C在BE∠=xAB=AC==∠PDC的度數(shù)是(用含x的代數(shù)式表示)．(截長補短】126.(23-24八年級上·湖北武漢·期末)中，∠B=∠E=90°∠CAD=∠，AB=AE=3AE=4的面積為()3A.6B.8C.10127.(23-24八年級上·上?！て谥?AC平分∠∠B+∠D=180°CE⊥AB于點E斷ABAD與BE8.(23-24八年級上·山東臨沂·期中(1)如圖1是正方形，∠EAF=45°E在BC邊上，F(xiàn)在BEDF與(2)如圖2是正方形，∠EAF=45°E在BC的延長線上，F(xiàn)在BEDF與9.(23-24八年級上·湖北武漢·周測)(1)中，AB=AD∠B+∠D=180°EF分12別是邊BC∠EAF=∠．求證：=BE+FD；4(2)中，AB=AD∠B+∠ADC=180°EF分別是邊BC延長線上的點，12且∠EAF=∠．(1)10.(23-24八年級上·貴州黔東南·期末【初步探索】(1)如圖1中，AB=AD∠B=∠ADC=90°∠=120°EF分別是BC∠EAF=60°BEFD之間的數(shù)量關(guān)系．小芮同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點GDG=BE接AG△ABE≌△ADG△≌△AGF；(2)如圖2中，AB=AD∠B+∠D=∠180°∠=120°EF分別是BC∠EAF=60°(1)(3)如圖3中，∠ABC+∠ADC=180°AB=AD點E在CB的延長線F在=BE+FD∠EAF與∠B的數(shù)量關(guān)系．并證明你的結(jié)5論．K子(一線三垂直】11.(23-24八年級上·廣東江門·階段練習(xí))已知，△ABC中，∠=90°AB=ACm過點ABD⊥m于DCE⊥m于Em繞點A旋轉(zhuǎn)至圖1=BD+CE．(1)當(dāng)直線m繞點A旋轉(zhuǎn)至圖2BD與CE的關(guān)系如何？請予證明；(2)直線m在繞點A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，BDCE存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？(證明)12.(23-24八年級上·貴州銅仁·階段練習(xí))(1)如圖1知△ABC中，∠=90°AB=AC線m經(jīng)過點A,BD⊥直線mCE⊥直線mD,E．求證：=BD+CE．(2)如圖2(1)△ABC中，AB=AC,D,A,E三點都在直線m∠=∠AEC=∠．請寫出,BD,CE13.(23-24八年級上·山西大同·階段練習(xí))形．6(1)如圖1△ABC中，∠=90°AB=AC線l經(jīng)過點ABD⊥直線lCE⊥直線l足分別為點DE．證明：=BD+CE．(2)組員小明對圖2∠=90°AB=AC線l經(jīng)過點A．BD⊥直線lCE⊥直線lDE．他發(fā)現(xiàn)線段BDCEBDCE之間的數(shù)量關(guān)系，(3)如圖3△ABC的邊ABAC向外作正方形和正方形ACFG(正方形的4條邊都相等，4個角都是直角)AH是BCHA交EG于點IBH=3CH=7AI的長．14.(23-24八年級上·河北石家莊·階段練習(xí))(1)如圖1∠=90°AB=AD點B作BC⊥AC于點C點D作⊥AC于點E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°△ABC≌△．進而得到AC=BC=AEK(2)如圖2∠=∠CAE=90°AB=ADAC=AE接BC,BC⊥AF于點F與直線AF交于點GG是的中點；(3)如圖3和為正方形，△AFD的面積為S△DCE的面積為SS+S=121210．求出S1的值．15.(23-24七年級下·廣東深圳·期末三種不同方式擺放一副三角板(在△ABC中，∠ABC=90°AB=CB△中，∠=90°∠EDF=30°)7(1)如圖1B擺放在線段DFA作AM⊥DFM點C作CN⊥DFN，①請在圖1∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∵AM⊥DFCN⊥DF，∴∠AMB=90°∠CNB=90°，∴∠ABM+∠=90°，∴∠=∠CBN，∵∠=∠CBN∠AMB=∠CNB=90°AB=BC，；②AM=2CN=7MN=；(2)如圖2B在線段上且頂點A在線段C作CP⊥P想AEPECP(3)如圖3A在線段上且頂點B在線段AE=5BE=1接CE△ACE的面積為．8全等三角形中輔助線的添法(三大模型)1.(23-24八年級上·江蘇·期末)△ABC中．AD是BCBC于點D．(1)AD到點E=AD接BE．求證：△≌△EBD．(2)∠=90°AD與BC(3)CE是邊ABCE交AD于點O．請你猜想線段AO與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(1)利用可得△≌△EBD；(2)延長AD到點E=ADBE△≌△EBD證得∠C=∠CBEAC=BE12AC∥EBAD=AE△ABC≌△利用全等三角形全等的性質(zhì)即可；(3)延長OE到點MEM=OEAM．延長到點NDN=接BMBNBO△MOB≌△NBO可得MB=NOAO=2，(1)△和△EBD中，=∠ADC=∠DC=∴△≌△EBD；112(2)解：AD=BC延長AD到點E=ADBE由(1)得△≌△EBD，∴∠C=∠CBEAC=BE12∴AC∥EBAD=AE∴∠+∠ABE=180°，∵∠=90°，∴∠ABE=90°，∴∠=∠ABE在△ABC和△中AC=BE∠=∠ABEAB=AB∴△ABC≌△∴BC=AE，1∴AD=BC；2(3)AO=2延長OE到點MEM=OEAM．延長到點NDN=BMBNBO由(1)得△AOE≌△BME△≌△，∴∠AOE=∠BME∠=∠NBDAO=BM，∴AO∥BMOC∥NB，∴∠MBO=∠∠MOB=∠NBO在△MOB和△NBO中，∠MBO=∠OB=OB∠MOB=∠NBO，∴△MOB≌△NBO∴MB=NO，∴AO=2．2.(23-24八年級上·廣西北?！て谀?如圖1△ABCAB=9AC=5BC邊上的中線AD的取值范圍．小紅在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，AD到點E=AD(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△的理由是A.SSSB.C.AAS；HL2(2)求得AD的取值范圍是；A.5<AD<9C.2<AD<7B.5≤AD≤92≤AD≤7(3)答．如圖2△ABCE在BC=DCE作∥AB=AC．求證：AD平分∠．(1)根據(jù)三角形全等的判定定理去選擇即可；(2)根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系定理計算即可；(3)△≌△CMD=DM∠=∠M證∠M=∠=∠CAMAD平分∠．(1)AD到點E=AD，∵BD=CD，在△ADC和△中，=BD∠ADC=∠，AD=∴△ADC≌△()，故選：B．(2)解：∵△ADC≌△，∴AC=EB，∵AB=9AC=5AB-BE<AE<AB+BE，∴4<2AD<14，∴2<AD<7，故選：C；(3)AD至MDM=DFCM，∵=DC∠EDF=∠DF=DM，∴△≌△CMD()，∴=DM∠=∠M，∴∥CM，∵∥AB，∴CM∥AB，∴∠=∠M，∵=AC，∴=DM=AC，∴∠CAM=∠M，∴∠=∠CAM，3∴AD平分∠．3.(23-24八年級上·安徽安慶·期末)(1)△ABCAB=6AC=4AD為BC邊上的中線，求AD的取值范圍；(2)△ABCD是BC的中點，⊥DF交AB于點EDF交AC于點F，判斷BE+CF與的大小關(guān)系并證明；(3)中，AB∥CDAF與DC的延長線交于點FE是BCAE是∠的角平分線．試探究線段ABAFCF(1)由已知得出AB-BE<AE<AB+BE6-4<AE<6+4AD為AE(2)延長FD至點MDM=DF接BMEM△BMD≌△CFDBM=CF的性質(zhì)得出EM=△BMEBE+BM>EM即可得出結(jié)論；(3)延長AEDF交于點GAF=FG△ABE≌△GCEAB=CG解：(1)AD到點E=ADBE，∵D是BC的中點，∴BD=CD，∵∠ADC=∠，∴△≌△EBD，∴BE=AC=4，在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，∴6-4<AE<6+4∴2<AE<10，∴1<AD<5，故答案為：1<AD<5；(2)BE+CF>延長FD至點MDM=DF接BMEM同(1)得：△BMD≌△CFD，∴BM=CF，∵⊥DFDM=DF，∴EM=，在△BMEBE+BM>EM，∴BE+CF>；4(3)AF+CF=ABAEDF交于點G，∵AB∥CD，∴∠=∠G，CE=BE，在△ABE和△GCE中，∠=∠G，，∠AEB=∠GEC∴△ABE≌△GECAAS，∴CG=AB，∵AE是∠的平分線，∴∠=∠GAF，∴∠=∠G，∴AF=GF，∵FG+CF=CG，∴AF+CF=AB．4.(23-24八年級上·江蘇南通·期中)1△ABCAB=6,AC=4BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方1AD到點E=AD接BE．請根據(jù)小明的思路繼續(xù)思考：(1)由已知和作圖能證得△ADC≌△到BE=AC△ABE中求得2ADAD的取值范圍是．系；(2)如圖2AD是△ABC的中線，AB=AE,AC=AF,∠+∠CAF=180°AD與(3)如圖3△ABC中，D,E是BC的三等分點．求證：AB+AC>AD+AE．(1)延長AD到點E=ADBE△≌△ADCBM=AC△ABM中據(jù)AB-BM<AM<AB+BM(2)延長AD到M得DM=ADBM(1)的結(jié)論以及已知條件證明△ABM≌△EAFAM=2ADAM=AD與的數(shù)量關(guān)系；(3)中點H接AH并延長至QAH=QHQE和QC進而得到AB=CQAD=EQ,然后結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論．5(1)1AD到點E=AD接BE．∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，BD=在△和△ADC中，∠BDM=∠，DM=AD∴△≌△ADC()，∴BM=AC=4，在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM，∴6-4<AM<6+42<AM<10，∴1<AD<5，故答案為：1<AD<5．(2)=2AD如圖2AD到MDM=AD接BM，由(1)知，△BDM≌△()，∴BM=AC∠M=∠MAC∵AC=AF，∴BM=AF，∵∠+∠M+∠=180°∠+∠=180°，又∵∠+∠CAF=180°，∴∠EAF+∠=180°，∴∠EAF=∠MBA，又∵AB=EA，∴△ABM≌△EAF()，∴AM=，∵AD=DM，∴AM=2AD，∵AM=，∴=2AD．(3)中點H接AH并延長至QAH=QHQE和QC，∵H為中點，DE為BC三等分點，∴DH=EH,BD==CE，∴DH=CH，BH=CH在△ABH和△QCH中，∠BHA=∠CHQ，AH=∴△ABH≌△QCH(),同理可得:△ADH≌△QEH,∴AB=CQ,AD=EQ，此時,延長AE交CQ于K點，∵AC+CQ=AC+CK+QK,AC+CK>AK，∴AC+CQ>AK+QK，∵AK+QK=AE+EK+QK>QE,EK+QK>QE，∴AK+QK>AE+QE，6∴AC+CQ>AK+QK>AE+QE，∵AB=CQ,AD=EQ，∴AB+AC>AD+AE．5.(23-24七年級下·廣東佛山·期中如圖，△ABC中，AB=8AC=6BC邊上的中線ADAD到點E=AD請根據(jù)小明的方法思考：(1)求得AD的取值范圍是；(倍長中線)解決下列三個問題∠+∠=180°AB=ACDC=P為BE的中點．(2)如圖1ACDAP平分∠；(3)如圖2ACDAP⊥DP；(4)如圖3點C在BE∠=xAB=AC==∠PDC的度數(shù)是(用含x的代數(shù)式表示)．(1)(2)延長DP交AB延長線于點F△APF≌△APD即可；(3)延長DP至點FPF=PDBFAFAD△APF≌△APD即可；(4)過點C作CM⊥BC交AP于點M(3)可得∠APD=90°△ACM≌△DCPx的代數(shù)式表示出∠PDC即可．(1)∵AD為BC邊上的中線，∴BD=CD，BD=在△ADC和△中，∠ADC=∠AD=ED∴△ADC≌△，∴BE=AC=6，7∵AB=8，∴8-6<AE<8+6，即2<AE<14，∵=AD，1∴AD=AE，2∴1<AD<7，故答案為：1<AD<7(2)如下圖，DP交AB延長線于點F∠+∠=180°，∴AF∥()，∴∠PFB=∠∠PBF=∠PED，∵P為BE的中點∴BP=PE，∴△BPF≌△EPDAAS，∴BF==DCPD=PF，又∵AB=AC，∴AB+BF=AC+DCAF=AD，在△APF和△APD中PF=PDAP=APAF=AD∴△APF≌△APD(SSS)，∴∠F=∠(全等三角形的對應(yīng)角相等)AP平分∠(3)延長DP至點FPF=PDBFAFAD由(1)同理易知△DPE≌△FBP()，∴BF==CD∠E=∠FBP，∵∠+∠=180°∠+∠CAD+∠ADC+∠+∠E=360°，∠CAD+∠C+∠ADC=180°，∴∠ABF=∠ACDAB=AC，∴△ABF≌△()，∴AF=AD，∴△APF≌△APD(SSS)，∴∠APD=∠APF=180°÷2=90°，∴AP⊥DP(4)過點C作CM⊥BC交AP于點M(3)可得∠APD=90°∠=x∠+∠=180°AB=AC==，8180°-xx2∴∠ACB==90°-，2∠180°-xx2∴∠DCE=90°-=90°-=，22∴∠ACB和∠DCE互余，∠=∠MCP=∠APD=90°，x2∴∠ACM=∠DCP=∠CAM=∠∴△ACM≌△DCP()，∴MC=PC，∴∠=45°，x2又∵∠ACB=90°-，x2∴∠PDC=∠=∠ACB-∠APB=45°-，x故答案為：45°-2(截長補短】6.(23-24八年級上·湖北武漢·期末)中，∠B=∠E=90°∠CAD=∠，12AB=AE=3AE=4的面積為()A.6B.8C.1012化．將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△DEF△≌△AFD()=DF=3S=SAFD2S進行計算即可．△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△，∵AB=AE∠B=∠E=90°，則AF=AC∠B=∠AED=∠=90°，∴∠=180°DEF三點共線，12∵∠CAD=∠，∠+∠=∠+∠EAF=∠CAD，即∠=∠CAD，AC=AF在△和△AFD中，∠CAD=∠，AD=AD9∴△≌△AFD()∴=DFS=S∵=3，∴DF=3，五邊形的面積為：S四邊形+S=S四邊形+S=S+S=2S，1=2××DF×AE，21=2××3×42=12．故選：D．7.(23-24八年級上·上?！て谥?AC平分∠∠B+∠D=180°CE⊥AB于點E斷ABAD與BE在AB上截取=BECF．證明△BCE≌△ECF()∠B=∠BFC△AFC≌△ADCAF=ADAB上截取=BE結(jié)CF．∵CE⊥AB∴∠BEC=∠FEC=90°在△BCE和△ECF{BE=∠BEC=∠FECCE=CE∴△BCE≌△ECF()∴∠B=∠BFC∵∠B+∠D=180°又∵∠BFC+∠AFC=180°∴∠D=∠AFC∵AC平分∠∴∠=∠在△AFC和△ADC中{∠AFC=∠D∠=∠AC=AC10∴△AFC≌△ADC(AAS)∴AF=AD∵AB=AF+BE+∴AB=AD+2BE8.(23-24八年級上·山東臨沂·期中(1)如圖1是正方形，∠EAF=45°E在BC邊上，F(xiàn)在BEDF與(2)如圖2是正方形，∠EAF=45°E在BC的延長線上，F(xiàn)在BEDF與(1)結(jié)論：=BE+DF．將△ADF繞點AAD與AB△ABF∠EAF=∠EAF=45°△和△AEF=得解；(2)結(jié)論：=BE-DF(1)．解：(1)結(jié)論：=BE+DF．1△ADF繞點AAD與AB△ABF，則：∠FAB=∠,∠ABF=∠D=90°AF=AFBF=DF，∴∠ABF+∠ABC=180°：F,B,E三點共線，∵∠EAF=45°，∴∠F+∠=90°-∠EAF=45°，∴∠+∠=45°，∴∠EAF=∠EAF=45°，11AF=AF在△和△AEF中，∠EAF=∠EAF，AE=AE∴△≌△EAF()，∴=，又=BE+BF，∴=BE+DF．(2)結(jié)論：=BE-DF．2△ADF繞點AAD與AB△ABF，則：BF=DF,AF=AF，同法(1)可得：△≌△AEF()，∴=，又=BE-BF=BE-DF，∴=BE-DF．9.(23-24八年級上·湖北武漢·周測)(1)中，AB=AD∠B+∠D=180°EF分12別是邊BC∠EAF=∠．求證：=BE+FD；(2)中，AB=AD∠B+∠ADC=180°EF分別是邊BC延長線上的點，12且∠EAF=∠．(1)(1)延長CB至MBM=DFAM．先證明△ABM≌△ADF到AF=AM∠2=∠3△AME≌△AFE=ME(2)在BE上截取BGBG=DFAG．先證明△ABG≌△ADFAG=AF△AEG≌△EG==BE-FD．解：(1)CB至MBM=DFAM．12∵∠ABC+∠D=180°∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D，在△ABM與△ADF中，AB=AD∠1=∠D，BM=DF∴△ABM≌△ADF()．∴AF=AM∠2=∠3．1∵∠EAF=∠BAD，21∴∠2+∠4=∠=∠EAF．2∴∠3+∠4=∠EAF∠MAE=∠EAF．在△AME與△AFE中，AM=AF∠MAE=∠EAF，AE=AE∴△AME≌△AFE()．∴=ME=BE+BM，∴=BE+DF；(2)結(jié)論=BE+FD=BE-FD．BE上截取BGBG=DF接AG．∵∠B+∠ADC=180°∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵在△ABG與△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADF，BG=DF∴△ABG≌△ADF()，∴∠=∠AG=AF，12∴∠+∠EAD=∠F+∠EAD=∠EAF=∠BAD，∴∠GAE=∠EAF．在△AGE與△AFE中，AG=AF∠GAE=∠EAF，AE=AE∴△AEG≌△，∴EG=，∵EG=BE-BG，∴=BE-FD．10.(23-24八年級上·貴州黔東南·期末【初步探索】(1)如圖1中，AB=AD∠B=∠ADC=90°∠=120°EF分別是BC∠EAF=60°BEFD之間的數(shù)量關(guān)系．小芮同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點GDG=BE接AG△ABE≌△ADG△≌△AGF；13(2)如圖2中，AB=AD∠B+∠D=∠180°∠=120°EF分別是BC∠EAF=60°(1)(3)如圖3中，∠ABC+∠ADC=180°AB=AD點E在CB的延長線F在=BE+FD∠EAF與∠B的數(shù)量關(guān)系．并證明你的結(jié)論．(1)根據(jù)可判定△ABE≌△ADG∠=∠AE=AG判定△≌△AGF=GF=DG+DF=BE+DF(2)延長FD到點GDG=BEAG判定△ABE≌△ADG∠=∠，AE=AG判定△≌△AGF=GF=DG+DF=BE+DF；(3)在DC延長線上取一點GDG=BEAG判定△ADG≌△ABE判定△≌△AGF∠=∠∠+∠+∠GAE=360°，推導(dǎo)得到2∠+∠=360°解：(1)BE+FD=．理由如下：如圖1FD到點GDG=BE接AG，∵∠ADC=90°，∴∠ADG=180°-∠ADC=90°，又∵∠B=90°，14∴∠B=∠ADG，在△ABE與△ADG中，∠B=∠ADG，AB=ADBE=DG∴△ABE≌△ADG()，∴∠=∠AE=AG，∵∠=120°∠EAF=60°，∴∠+∠=∠-∠EAF=60°，∴∠G+∠=60°，即∠GAF=60°，∴∠GAF=∠EAF；AE=AG在△與△AGF中，∠EAF=∠GAF，AF=AF∴△≌△AGF()，∴=GF，∵GF=DG+DF，∴=BE+DF，故答案為：BE+FD=；(2)(1)如圖2FD到點GDG=BEAG，∠B+∠ADF=180°∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG()，∴∠=∠AE=AG，∵∠=120°120°∠EAF=60°，∴∠+∠=60°，∴∠G+∠=60°，∴∠GAF=∠EAF=60°，又∵AF=AF，∴△≌△AGF()，∴=FG=DG+DF=BE+DF；12(3)∠EAF=180°-∠．3DC到點GDG=BE接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，AB=AD在△ABE與△ADG中，∠B=∠ADG，BE=DG∴△ADG≌△ABE()，∴AG=AE∠=∠，∵=BE+FD，∴=DG+FD，15∴=GF，在△與△AGF中，=GF，AE=AGAF=AF∴△≌△AGF(SSS)，∴∠=∠，∵∠+∠+∠GAE=360°，∴2∠+(∠GAB+∠BAE)=360°，∴2∠+(∠GAB+∠)=360°，即2∠+∠=360°，12∴∠EAF=180°-∠．K子(一線三垂直】11.(23-24八年級上·廣東江門·階段練習(xí))已知，△ABC中，∠=90°AB=ACm過點ABD⊥m于DCE⊥m于Em繞點A旋轉(zhuǎn)至圖1=BD+CE．(1)當(dāng)直線m繞點A旋轉(zhuǎn)至圖2BD與CE的關(guān)系如何？請予證明；(2)直線m在繞點A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，BDCE存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？(證明)(1)利用條件證明△ABD≌△CAE(2)BDCE存在3種不同的數(shù)量關(guān)系；(1)2，∵BD⊥mCE⊥m，∴∠B=∠CEA=90°，∴∠ABD+∠=90°．∵∠=90°，∴∠B+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE．∠=∠在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAB，AB=CA∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD=CEBD=AE∵=AE-AD，16∴=BD-CE．(2)直線m在繞點A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，BDCE存在3種不同的數(shù)量關(guān)系：=BD+CE=BD-CE=CE-BD．如圖1時，=BD+CE，如圖2時，=BD-CE，如圖3時，=CE-BD(證明同理)12.(23-24八年級上·貴州銅仁·階段練習(xí))(1)如圖1知△ABC中，∠=90°AB=AC線m經(jīng)過點A,BD⊥直線mCE⊥直線mD,E．求證：=BD+CE．(2)如圖2(1)△ABC中，AB=AC,D,A,E三點都在直線m∠=∠AEC=∠．請寫出,BD,CE(1)利用已知得出∠CAE=∠ABDAAS得出則△ABD≌△CAE=BD+CE；(2)根據(jù)∠B=∠AEC=∠∠CAE=∠ABD△和△CEAAAS證出△≌△CEAAE=BDAD=CE=BD+CE；(1)=BD+CE．理由如下：∵BD⊥mCE⊥m，∴∠B=∠AEC=90°又∵∠=90°，∴∠+∠CAE=90°∠+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD∠ABD=∠CAE在△ABD和△CAE中，∠=∠CEA=90°，AB=AC∴△ABD≌△CAE(AAS)∴BD=AEAD=CE，∵=AD+AE，17∴=CE+BD；(2)=BD+CE∵∠B=∠AEC=∠，∴∠+∠=∠+∠CAE，∴∠CAE=∠ABD，∠ABD=∠CAE在△和△CEA中，∠=∠CEA，AB=AC∴△≌△CEA(AAS)，∴AE=BDAD=CE，∴BD+CE=AE+AD=．13.(23-24八年級上·山西大同·階段練習(xí))形．(1)如圖1△ABC中，∠=90°AB=AC線l經(jīng)過點ABD⊥直線lCE⊥直線l足分別為點DE．證明：=BD+CE．(2)組員小明對圖2∠=90°AB=AC線l經(jīng)過點A．BD⊥直線lCE⊥直線lDE．他發(fā)現(xiàn)線段BDCEBDCE之間的數(shù)量關(guān)系，(3)如圖3△ABC的邊ABAC向外作正方形和正方形ACFG(正方形的4條邊都相等，4個角都是直角)AH是BCHA交EG于點IBH=3CH=7AI的長．(1)根據(jù)BD⊥直線lCE⊥直線l∠=90°∠CAE=∠ABDAAS可證明△≌△CEA，根據(jù)=AE+AD即可得到=BD+CE；(2)同(1)利用AAS可證明△≌△CEA=AE-AD即可得到=BD-CE；(3)過E作EM⊥HI于MGN⊥HI的延長線于N△ABH≌△EAM△AHC≌△GNAEM=GNMN=4△EMI≌△CNI可得MI=NI=2確定AI的長度；(1)證明：∵BD⊥直線lCE⊥直線l，∴∠B=∠CEA=90°，∵∠=90°，∴∠+∠CAE=90°，∵∠+∠ABD=90°，18∴∠CAE=∠ABD，∠ABD=∠CAE在△和△CEA中，∠=∠CEA，AB=AC∴△≌△CEAAAS∴BD=AEAD=CE，∴=AE+AD=BD+CE；(2)∵BD⊥直線lCE⊥直線l，∴∠B=∠CEA=90°，∵∠=90°，∴∠+∠CAE=90°，∵∠+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，∠ABD=∠CAE在△和△CEA中，∠=∠CEA，AB=AC∴△≌△CEAAAS∴BD=AEAD=CE，∴=AE-AD=BD-CE；(3)E作EM⊥HI于MGN⊥HI的延長線于N，∴∠EMI=∠GNI=90°∵∠+∠EAM=90°∠+∠ABH=90°，∴∠EAM=∠ABH∠AHB=∠EMA在△ABH和△EAM中，∠ABH=∠EAM，AB=AE∴△ABH≌△EAM(AAS)∴BH=AM=3AH=EM，同理可得：△AHC≌△GNA∴CH=AN=7AH=GN，即：EM=GNMN=AN-AM=7-3=4，在△EMI和△CNI中，∠EMI=∠CNI∠EIM=∠CIN，EM=CN∴△EMI≌△CNI(AAS)，12∴MI=NI=MN=2，∴AI=AM+MI=3+2=5．14.(23-24八年級上·河北石家莊·階段練習(xí))19(1)如圖1∠=90°AB=AD點B作BC⊥AC于點C點D作⊥AC于點E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°△ABC≌△．進而得到AC=BC=AEK(2)如圖2∠=∠CAE=90°AB=ADAC=AE接BC,BC⊥AF于點F與直線AF交于點GG是的中點；(3)如圖3和為正方形，△AFD的面積為S△DCE的面積為SS+S=121210．求出S1的值．(1)由△ABC≌△即可求解；(2)作DM⊥AF,EN⊥AFK△ABF≌△,△ACF≌△EANDM=EN△DMG≌△ENG即可；(3)作PQ⊥CE,AM⊥PQ,FN⊥PQK△ADM≌△DCP,△DFN≌△EDP步可證△AMQ≌△FNQ(1)解：∵△ABC≌△E∴AC=故答案為：；(2)DM⊥AF,EN⊥AFK△A