高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)教師用書(shū)第八章第七節(jié)拋物線

第七節(jié)拋物線1．拋物線的定義滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線：(1)在平面內(nèi)；(2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離相等；(3)定點(diǎn)不在定直線上．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸x軸y軸焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝eq\a\vs4\al(1)準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開(kāi)口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．()(2)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.()(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．()(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(a,4).()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．已知點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，直線l：x＝－eq\f(1,4)，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)．若過(guò)點(diǎn)B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是()A．雙曲線 B．橢圓C．圓 D．拋物線解析：選D由已知得|MF|＝|MB|，根據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線．3．拋物線8x2＋y＝0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：由8x2＋y＝0，得x2＝－eq\f(1,8)y.∴2p＝eq\f(1,8)，p＝eq\f(1,16)，∴焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,32))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,32)))4．焦點(diǎn)在直線2x＋y＋2＝0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．解析：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，令方程2x＋y＋2＝0中的y＝0，得焦點(diǎn)為(－1,0)，故拋物線方程為y2＝－4x，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，令方程2x＋y＋2＝0中的x＝0，得焦點(diǎn)為(0，－2)，故拋物線方程為x2＝－8y.答案：y2＝－4x或x2＝－8y5．(教材習(xí)題改編)若拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是________．解析：M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,16)，設(shè)M(x，y)，則y＋eq\f(1,16)＝1，∴y＝eq\f(15,16).答案：eq\f(15,16)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[考什么·怎么考]高考要求考生掌握四種不同的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式.高考試題的考查形式主要有兩種：一是求拋物線的方程；二是根據(jù)拋物線的方程研究拋物線的幾何性質(zhì)，題型多為選擇題、填空題，難度適中.1．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)點(diǎn)P(－4，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．y2＝－x B．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y解析：選D(待定系數(shù)法)設(shè)拋物線為y2＝mx，代入點(diǎn)P(－4，－2)，解得m＝－1，則拋物線方程為y2＝－x；設(shè)拋物線為x2＝ny，代入點(diǎn)P(－4，－2)，解得n＝－8，則拋物線方程為x2＝－8y.2．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1,1)，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(－1,0) B．(1,0)C．(0，－1) D．(0,1)解析：選B拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，由題設(shè)知－eq\f(p,2)＝－1，即eq\f(p,2)＝1，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．3．若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，且|AM|＝eq\r(17)，|AF|＝3，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________．解析：設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p＞0)，A(x1，y1)，則Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y1＋\f(p,2)))2＝17，,x\o\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y1－\f(p,2)))2＝9，,x\o\al(2,1)＝2py1，))解得p＝4或p＝2.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝8y或x2＝4y.答案：x2＝8y或x2＝4y4．(2017·天津高考)設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.已知點(diǎn)C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A.若∠FAC＝120°，則圓的方程為_(kāi)_______________．解析：由題意知該圓的半徑為1，設(shè)圓心坐標(biāo)為C(－1，a)(a＞0)，則A(0，a)．又F(1,0)，所以eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－1,0)，eq\o(AF,\s\up7(→))＝(1，－a)，由題意得eq\o(AC,\s\up7(→))與eq\o(AF,\s\up7(→))的夾角為120°，故cos120°＝eq\f(－1,1×\r(1＋－a2))＝－eq\f(1,2)，解得a＝eq\r(3)，所以圓的方程為(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1.答案：(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1[怎樣快解·準(zhǔn)解]求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式，要掌握焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線、焦點(diǎn)的距離，通徑長(zhǎng)與標(biāo)準(zhǔn)方程中系數(shù)2p的關(guān)系．(2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時(shí)要進(jìn)行分類討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為y2＝mx或x2＝my(m≠0)．(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離簡(jiǎn)稱為焦準(zhǔn)距，拋物線y2＝2px(p＞0)上的點(diǎn)常設(shè)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y2,2p)，y)).[注意]求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，一定要先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，否則極易發(fā)生漏解的情況．(如第1題)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二拋物線的定義及其應(yīng)用)eq\a\vs4\al(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——追根溯源)eq\x(\a\al(拋物線定義的考查形式多為選擇題或填空題，也常出現(xiàn)在解答題的第1問(wèn)，難度中等.,常見(jiàn)的命題角度有：,1利用拋物線的定義解決最值、距離問(wèn)題；,2利用拋物線的定義處理焦點(diǎn)弦問(wèn)題.))[題點(diǎn)全練]角度(一)利用拋物線的定義解決最值、距離問(wèn)題1．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為()A．(0,0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(2,2)解析：選D過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足是N，則|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，當(dāng)A，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，|MF|＋|MA|取得最小值，此時(shí)M(2,2)．2．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A.eq\f(3\r(5),5) B．2C.eq\f(11,5) D．3解析：選B由題可知l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，則動(dòng)點(diǎn)P到l2的距離等于|PF|，故動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值，即焦點(diǎn)F到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，所以最小值是eq\f(|4－0＋6|,5)＝2.3．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為eq\r(3)的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為()A.eq\r(5) B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)解析：選C法一：由題意，得F(1,0)，則直線FM的方程是y＝eq\r(3)(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得x＝eq\f(1,3)或x＝3.由M在x軸的上方，得M(3,2eq\r(3))，由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4.又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以點(diǎn)M到直線NF的距離為4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).法二：依題意，得直線FM的傾斜角為60°，則|MN|＝|MF|＝eq\f(2,1－cos60°)＝4.又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以點(diǎn)M到直線NF的距離為4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).[題型技法](1)涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的有關(guān)問(wèn)題，應(yīng)充分利用拋物線的定義求解．由拋物線定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化．(2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2).角度(二)利用拋物線的定義處理焦點(diǎn)弦問(wèn)題4．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|＋|DE|的最小值為()A．16 B．14C．12 D．10[思維路徑]要求|AB|＋|DE|的最小值，需用合適的變量表示|AB|＋|DE|，因?yàn)锳B和DE均過(guò)焦點(diǎn)F，故考慮利用拋物線的定義，用點(diǎn)A，B和D，E的坐標(biāo)表示|AB|和|DE|，然后利用函數(shù)或基本不等式求最值．解析：選A法一：拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0.不妨設(shè)直線l1的斜率為k，則l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－eq\f(1,k)(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1))消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝2＋eq\f(4,k2)，由拋物線的定義可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋eq\f(4,k2)＋2＝4＋eq\f(4,k2).同理得|DE|＝4＋4k2，∴|AB|＋|DE|＝4＋eq\f(4,k2)＋4＋4k2＝8＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋k2))≥8＋8＝16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,k2)＝k2，即k＝±1時(shí)取等號(hào)，故|AB|＋|DE|的最小值為16.法二：如圖所示，設(shè)直線AB的傾斜角為θ，過(guò)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A1，B1，則|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，過(guò)點(diǎn)F向AA1引垂線FG，得eq\f(|AG|,|AF|)＝eq\f(|AF|－p,|AF|)＝cosθ，則|AF|＝eq\f(p,1－cosθ)，同理|BF|＝eq\f(p,1＋cosθ)，則|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq\f(2p,sin2θ)，即|AB|＝eq\f(4,sin2θ)，因?yàn)閘1與l2垂直，故直線DE的傾斜角為θ＋eq\f(π,2)或θ－eq\f(π,2)，則|DE|＝eq\f(4,cos2θ)，則|AB|＋|DE|＝eq\f(4,sin2θ)＋eq\f(4,cos2θ)＝eq\f(4,sin2θcos2θ)＝eq\f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin2θ))2)＝eq\f(16,sin22θ)，則易知|AB|＋|DE|的最小值為16.[題型技法]1．靈活選用方法準(zhǔn)解題定義法|AB|＝x1＋x2＋p斜率法|AB|＝eq\f(1＋k2,k2)×2p(k為AB的斜率)傾斜角法|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)(θ為AB的傾斜角)2．謹(jǐn)記二級(jí)結(jié)論快解題如圖所示，AB是拋物線y2＝2px(p＞0)過(guò)焦點(diǎn)F的一條弦，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).②|AF|＝eq\f(p,1－cosθ)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosθ)(θ為AB的傾斜角)．③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)為定值eq\f(2,p).④焦點(diǎn)弦端點(diǎn)與頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積：S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ)＝eq\f(1,2)|AB||d|＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|.⑤以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．⑥以AF或BF為直徑的圓與y軸相切．⑦過(guò)焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上．[沖關(guān)演練]1．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝________.解析：法一：依題意，拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)F(2,0)，因?yàn)镸是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N，M為FN的中點(diǎn)，設(shè)M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2eq\r(2)，所以N(0,4eq\r(2))，|FN|＝eq\r(4＋32)＝6.法二：如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，∴PM∥OF.由題意知，F(xiàn)(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.∵點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PM∥OF，∴|MP|＝eq\f(1,2)|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.答案：62．已知過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2eq\r(2)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點(diǎn)，且|AB|＝9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋λeq\o(OB,\s\up7(→))，求λ的值．解：(1)由題意得直線AB的方程為y＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，與y2＝2px聯(lián)立，消去y得4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4).由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(5p,4)＋p＝9，所以p＝4，從而該拋物線的方程為y2＝8x.(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，則x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，從而A(1，－2eq\r(2))，B(4,4eq\r(2))．設(shè)C(x3，y3)，則eq\o(OC,\s\up7(→))＝(x3，y3)＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋λeq\o(OB,\s\up7(→))＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4，4eq\r(2))＝(4λ＋1,4eq\r(2)λ－2eq\r(2))．又yeq\o\al(2,3)＝8x3，所以[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.3．設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．證明：直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.證明：設(shè)直線AB的方程為x＝my＋eq\f(p,2)，代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得yAyB＝－p2，即yB＝－eq\f(p2,yA).∵BC∥x軸，且C在準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)上，∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，yB)).則kOC＝eq\f(yB,－\f(p,2))＝eq\f(2p,yA)＝eq\f(yA,xA)＝kOA.∴直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)直線與拋物線的位置關(guān)系是每年高考的重點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，屬于中等偏上.[典題領(lǐng)悟](2017·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)A，B為曲線C：y＝eq\f(x2,4)上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．[學(xué)審題]看到曲線的切線想到導(dǎo)數(shù)的幾何意義；看到AM⊥BM想到直角三角形的性質(zhì)或eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(BM,\s\up7(→))＝0.解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2，y1＝eq\f(x\o\al(2,1),4)，y2＝eq\f(x\o\al(2,2),4)，x1＋x2＝4，于是直線AB的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝1.(2)法一：由y＝eq\f(x2,4)，得y′＝eq\f(x,2).設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知eq\f(x3,2)＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，故線段AB的中點(diǎn)為N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.將y＝x＋m代入y＝eq\f(x2,4)，得x2－4x－4m＝0.當(dāng)Δ＝16(m＋1)＞0，即m＞－1時(shí)，x1,2＝2±2eq\r(m＋1).從而|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝4eq\r(2m＋1).由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，即4eq\r(2m＋1)＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直線AB的方程為x－y＋7＝0.法二：由y＝eq\f(x2,4)，得y′＝eq\f(x,2)，設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知eq\f(x3,2)＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,y＝\f(x2,4)，))得x2－4x－4m＝0.由Δ＝16(m＋1)＞0，得m＞－1.則x1＋x2＝4，x1x2＝－4m∵AM⊥BM，∴eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(BM,\s\up7(→))＝0，即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，又y＝x＋m，∴(x1－2)(x2－2)＋(x1＋m－1)(x2＋m－1)＝0，即2x1x2＋(m－3)(x1＋x2)＋4＋(m－1)2＝0，∴－8m＋4(m－3)＋4＋(m－1)2＝0整理得m2－6m－7＝0解得m＝7或m＝－1，又m＞－1，∴m＝7，∴直線AB的方程為x－y＋7＝0.[解題師說(shuō)]解決直線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題的常用方法(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．(2)有關(guān)直線與拋物線相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝|xA|＋|xB|＋p或|AB|＝|yA|＋|yB|＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．(3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．[注意]涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解．[沖關(guān)演練](2018·洛陽(yáng)模擬)已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，D是拋物線的準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)．(1)若AB∥l，且△ABD的面積為1，求拋物線的方程；(2)設(shè)M為AB的中點(diǎn)，過(guò)M作l的垂線，垂足為N.證明：直線AN與拋物線相切．解：(1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p.∴S△ABD＝p2，∴p＝1，故拋物線C的方程為x2＝2y.(2)設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋eq\f(p,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(p,2)，,x2＝2py))得x2－2kpx－p2＝0.∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.其中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),2p)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),2p))).∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kp，k2p＋\f(p,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kp，－\f(p,2))).∴kAN＝eq\f(\f(x\o\al(2,1),2p)＋\f(p,2),x1－kp)＝eq\f(\f(x\o\al(2,1),2p)＋\f(p,2),x1－\f(x1＋x2,2))＝eq\f(\f(x\o\al(2,1)＋p2,2p),\f(x1－x2,2))＝eq\f(\f(x\o\al(2,1)－x1x2,2p),\f(x1－x2,2))＝eq\f(x1,p).又x2＝2py，∴y′＝eq\f(x,p).∴拋物線x2＝2py在點(diǎn)A處的切線斜率k＝eq\f(x1,p).∴直線AN與拋物線相切．(一)普通高中適用作業(yè)A級(jí)——基礎(chǔ)小題練熟練快1．已知拋物線x2＝2py(p＞0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，－1)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(0,1) B．(0,2)C．(1,0) D．(2,0)解析：選A由拋物線x2＝2py(p＞0)的準(zhǔn)線為y＝－eq\f(p,2)＝－1，得p＝2，故所求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)．2．已知AB是拋物線y2＝2x的一條焦點(diǎn)弦，|AB|＝4，則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是()A．2 B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(5,2)解析：選C設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2).3．設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A，過(guò)拋物線C上一點(diǎn)P作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q.若△QAF的面積為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(1,2)或(1，－2) B．(1,4)或(1，－4)C．(1,2) D．(1,4)解析：選A設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)．因?yàn)椤鱍AF的面積為2，所以eq\f(1,2)×2×|y0|＝2，即|y0|＝2，所以x0＝1，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)或(1，－2)．4．已知點(diǎn)F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A.eq\f(7,4) B.eq\f(5,4)C.eq\f(3,4) D．1解析：選B設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，則|AF|＋|BF|＝xA＋eq\f(p,2)＋xB＋eq\f(p,2)＝xA＋xB＋p＝3，則AB的中點(diǎn)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xA＋xB,2)，\f(yA＋yB,2)))到y(tǒng)軸的距離d＝eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(3－p,2)＝eq\f(5,4).5．已知點(diǎn)A(0,2)，拋物線C1：y2＝ax(a＞0)的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N.若|FM|∶|MN|＝1∶eq\r(5)，則a的值為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．4解析：選D依題意，點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為K，由拋物線的定義知|MF|＝|MK|，|KM|∶|MN|＝1∶eq\r(5)，則|KN|∶|KM|＝2∶1.∵kFN＝eq\f(0－2,\f(a,4)－0)＝－eq\f(8,a)，kFN＝－eq\f(|KN|,|KM|)＝－2，∴eq\f(8,a)＝2，解得a＝4.6．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若△AOB的面積為4，則|AB|＝()A．6 B．8C．12 D．16解析：選D設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2))，F(xiàn)(1,0)．當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|＝4，S△AOB＝eq\f(1,2)|OF|·|AB|＝2，不成立，所以eq\f(y2,\f(y\o\al(2,2),4)－1)＝eq\f(y1,\f(y\o\al(2,1),4)－1)?y1y2＝－4.由△AOB的面積為4，得eq\f(1,2)|y1－y2|×1＝4，所以yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝56，因此|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(y\o\al(2,1)＋y\o\al(2,2),4)＋2＝16.7．已知點(diǎn)P在拋物線y2＝4x上，且點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與其到焦點(diǎn)的距離之比為eq\f(1,2)，則點(diǎn)P到x軸的距離為_(kāi)_______．解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP，yP)，拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，故eq\f(xP,xP－－1)＝eq\f(1,2)，解得xP＝1，所以yeq\o\al(2,P)＝4，所以|yP|＝2.答案：28．一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，另外兩點(diǎn)在拋物線y2＝2x上的正三角形的面積為_(kāi)_______．解析：如圖，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得∠AOx＝30°.直線OA的方程y＝eq\f(\r(3),3)x，代入y2＝2x，得x2－6x＝0，解得x＝0或x＝6.即得A的坐標(biāo)為(6,2eq\r(3))．∴|AB|＝4eq\r(3)，正三角形OAB的面積為eq\f(1,2)×4eq\r(3)×6＝12eq\r(3).答案：12eq\r(3)9．已知拋物線y2＝4x，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D，則|AC|＋|BD|的最小值為_(kāi)_______．解析：由題意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)|AB|取得最小值．依拋物線定義知當(dāng)|AB|為通徑，即|AB|＝2p＝4時(shí)為最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值為2.答案：210．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＝3，則|BF|＝________.解析：設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，點(diǎn)A在第一象限，則|AF|＝xA＋1＝3，所以xA＝2，yA＝2eq\r(2)，所以直線AB的斜率為k＝eq\f(2\r(2),2－1)＝2eq\r(2).則直線AB的方程為y＝2eq\r(2)(x－1)，與拋物線方程聯(lián)立整理得2x2－5x＋2＝0，xA＋xB＝eq\f(5,2)，所以xB＝eq\f(1,2)，所以|BF|＝xB＋eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)B級(jí)——中檔題目練通抓牢1．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，P是拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且P的縱坐標(biāo)為正數(shù)，Q是直線PF與拋物線C的一個(gè)交點(diǎn)．若|PQ|＝eq\r(2)|QF|，則直線PF的方程為()A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0C．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0解析：選B如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥l于點(diǎn)M.∵|QF|等于點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離|QM|，∴|PQ|＝eq\r(2)|QM|，∴∠PQM＝45°，∴∠PFO＝45°，∴直線PF的傾斜角為135°，即斜率k＝－1，∴直線PF的方程為y－0＝－1×(x－2)，即x＋y－2＝0.2．已知點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M，點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))，則|PA|＋|PM|的最小值是()A.eq\f(7,2) B．4C.eq\f(9,2) D．5解析：選C設(shè)拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，則|PF|＝|PM|＋eq\f(1,2)，∴|PM|＝|PF|－eq\f(1,2).∴|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－eq\f(1,2).將x＝eq\f(7,2)代入拋物線方程y2＝2x，得y＝±eq\r(7).∵eq\r(7)＜4，∴點(diǎn)A在拋物線的外部．∴當(dāng)P，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|PF|有最小值．∵Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，∴|AF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－\f(1,2)))2＋4－02)＝5.∴|PA|＋|PM|有最小值5－eq\f(1,2)＝eq\f(9,2).3.如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為()A．y2＝eq\f(3,2)x B．y2＝3xC．y2＝eq\f(9,2)x D．y2＝9x解析：選B如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則|BC|＝2a由拋物線的定義得，|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a2|AE|＝|AC|，所以6＝3＋3a，從而得a＝1因?yàn)锽D∥FG，所以eq\f(|DB|,|FG|)＝eq\f(|BC|,|FC|).即eq\f(1,p)＝eq\f(2,3)，解得p＝eq\f(3,2)，因此拋物線方程為y2＝3x.4．(2017·山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2＝2py(p>0)交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_______．解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義可知|AF|＝y(tǒng)1＋eq\f(p,2)，|BF|＝y(tǒng)2＋eq\f(p,2)，|OF|＝eq\f(p,2)，由|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋eq\f(p,2)＋y2＋eq\f(p,2)＝y(tǒng)1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,x2＝2py))消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以y1＋y2＝eq\f(2pb2,a2)，所以eq\f(2pb2,a2)＝p，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，故eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x.答案：y＝±eq\f(\r(2),2)x5．已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)．若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得∠ACB為直角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．解析：如圖，設(shè)C(x0，xeq\o\al(2,0))(xeq\o\al(2,0)≠a)，A(－eq\r(a)，a)，B(eq\r(a)，a)，則eq\o(CA,\s\up7(→))＝(－eq\r(a)－x0，a－xeq\o\al(2,0))，eq\o(CB,\s\up7(→))＝(eq\r(a)－x0，a－xeq\o\al(2,0))．∵CA⊥CB，∴eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))＝0，即－(a－xeq\o\al(2,0))＋(a－xeq\o\al(2,0))2＝0，(a－xeq\o\al(2,0))(－1＋a－xeq\o\al(2,0))＝0.∴xeq\o\al(2,0)＝a－1≥0，∴a≥1.答案：[1，＋∞)6．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過(guò)A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程；(2)若過(guò)M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．解：(1)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，于是4＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝2.∴拋物線方程為y2＝4x.(2)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,4)，由題意得B(0,4)，M(0,2)．又∵F(1,0)，∴kFA＝eq\f(4,3)，∵M(jìn)N⊥FA，∴kMN＝－eq\f(3,4).∴FA的方程為y＝eq\f(4,3)(x－1)，①M(fèi)N的方程為y－2＝－eq\f(3,4)x，②聯(lián)立①②，解得x＝eq\f(8,5)，y＝eq\f(4,5)，∴N的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5))).7.如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．(1)寫(xiě)出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程．(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求y1＋y2的值及直線AB的斜率．解：(1)由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)．因?yàn)辄c(diǎn)P(1,2)在拋物線上，所以22＝2p×1，解得p＝2.故所求拋物線的方程是y2＝4x，準(zhǔn)線方程是x＝－1.(2)設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB.則kPA＝eq\f(y1－2,x1－1)(x1≠1)，kPB＝eq\f(y2－2,x2－1)(x2≠1)，因?yàn)镻A與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，所以kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，①,y\o\al(2,2)＝4x2，②))所以eq\f(y1－2,\f(1,4)y\o\al(2,1)－1)＝－eq\f(y2－2,\f(1,4)y\o\al(2,2)－1)，所以y1＋2＝－(y2＋2)．所以y1＋y2＝－4.由①－②得，yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2)，所以kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝－1(x1≠x2)．C級(jí)——重難題目自主選做1．過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′，B′兩點(diǎn)，以線段A′B′為直徑的圓C過(guò)點(diǎn)E(－2,3)，則圓C的方程為()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝5C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝17D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝26解析：選B設(shè)直線AB的方程為x－1＝ty.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝ty，,y2＝4x，))得y2－4ty－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A′(－1，y1)，B′(－1，y2)．∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.又∵以A′B′為直徑的圓C過(guò)點(diǎn)E(－2,3)，eq\o(A′E,\s\up7(→))＝(－1,3－y1)，eq\o(B′E,\s\up7(→))＝(－1,3－y2)，∴eq\o(A′E,\s\up7(→))·eq\o(B′E,\s\up7(→))＝1＋(3－y1)(3－y2)＝0，即y1y2－3(y1＋y2)＋10＝－4－12t＋10＝0，解得t＝eq\f(1,2).∴y1＋y2＝2，∴圓C的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1－1,2)，\f(y1＋y2,2)))＝(－1,1)．半徑R＝eq\f(|y1－y2|,2)＝eq\f(\r(y1＋y22－4y1y2),2)＝eq\r(5).∴圓C的方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝5.2．(2018·武漢調(diào)研)已知直線y＝k(x－2)與拋物線Γ：y2＝eq\f(1,2)x相交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)M作y軸的垂線交Γ于點(diǎn)N.(1)證明：拋物線Γ在點(diǎn)N處的切線與直線AB平行；(2)是否存在實(shí)數(shù)k使eq\o(NA,\s\up7(→))·eq\o(NB,\s\up7(→))＝0？若存在，求k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)證明：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝\f(1,2)x))消去y并整理，得2k2x2－(8k2＋1)x＋8k2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(8k2＋1,2k2)，x1x2＝4，∴xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(8k2＋1,4k2)，yM＝k(xM－2)＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k2＋1,4k2)－2))＝eq\f(1,4k).由題設(shè)條件可知，yN＝y(tǒng)M＝eq\f(1,4k)，xN＝2yeq\o\al(2,N)＝eq\f(1,8k2)，∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8k2)，\f(1,4k))).設(shè)拋物線Γ在點(diǎn)N處的切線l的方程為y－eq\f(1,4k)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,8k2)))，將x＝2y2代入上式，得2my2－y＋eq\f(1,4k)－eq\f(m,8k2)＝0.∵直線l與拋物線Γ相切，∴Δ＝1－4×2m×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4k)－\f(m,8k2)))＝eq\f(m－k2,k2)＝0，∴m＝k，即l∥AB.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使eq\o(NA,\s\up7(→))·eq\o(NB,\s\up7(→))＝0，則NA⊥NB.∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴|MN|＝eq\f(1,2)|AB|.由(1)，得|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k2＋1,2k2)))2－4×4)＝eq\r(1＋k2)·eq\f(\r(16k2＋1),2k2).∵M(jìn)N⊥y軸，∴|MN|＝|xM－xN|＝eq\f(8k2＋1,4k2)－eq\f(1,8k2)＝eq\f(16k2＋1,8k2).∴eq\f(16k2＋1,8k2)＝eq\f(1,2)eq\r(1＋k2)·eq\f(\r(16k2＋1),2k2)，解得k＝±eq\f(1,2).故存在k＝±eq\f(1,2)，使eq\o(NA,\s\up7(→))·eq\o(NB,\s\up7(→))＝0.(二)重點(diǎn)高中適用作業(yè)A級(jí)——保分題目巧做快做1．設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，曲線y＝eq\f(k,x)(k＞0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k＝()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2解析：選D∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲線y＝eq\f(k,x)(k＞0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，∴P(1,2)．將點(diǎn)P(1,2)的坐標(biāo)代入y＝eq\f(k,x)(k＞0)，得k＝2.2．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)．若eq\o(FP,\s\up7(→))＝4eq\o(FQ,\s\up7(→))，則|QF|＝()A．3 B.eq\f(5,2)C.eq\f(7,2) D.eq\f(3,2)解析：選A已知F(2,0)，設(shè)P(－2，t)，Q(x0，y0)，則eq\o(FP,\s\up7(→))＝(－4，t)，eq\o(FQ,\s\up7(→))＝(x0－2，y0)．由題設(shè)可得4(x0－2)＝－4，即x0＝1，所以|QF|＝x0＋2＝3.3．已知拋物線x2＝4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,2)C．1 D．2解析：選D設(shè)AB的中點(diǎn)為M，焦點(diǎn)為F(0,1)，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線l：y＝－1的垂線MN，垂足為N，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥l于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥l于點(diǎn)D，則|MN|＝eq\f(|AC|＋|BD|,2)＝eq\f(|AF|＋|BF|,2)≥eq\f(|AB|,2)＝3，當(dāng)且僅當(dāng)直線AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)等號(hào)成立，所以AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離dmin＝3－1＝2.故選D.4．已知點(diǎn)A是拋物線C：x2＝2py(p＞0)上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若A，B是以點(diǎn)M(0,10)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑的圓與拋物線C的兩個(gè)公共點(diǎn)，且△ABO為等邊三角形，則p的值是()A.eq\f(5,2) B.eq\f(5,3)C.eq\f(5,6) D.eq\f(5,9)解析：選C如圖，因?yàn)閨MA|＝|OA|，所以點(diǎn)A在線段OM的垂直平分線上．又因?yàn)镸(0,10)，所以可設(shè)A(x,5)．由tan30°＝eq\f(x,5)，得x＝eq\f(5,\r(3)).將Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,\r(3))，5))代入方程x2＝2py，得p＝eq\f(5,6).5．(2018·太原模擬)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AB|＝6，則△AOB的面積為()A.eq\r(6) B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．4解析：選A因?yàn)閽佄锞€y2＝4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，|AB|＝4，不滿足題意，所以設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，與y2＝4x聯(lián)立，消去x得ky2－4y－4k＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝eq\r(\f(16,k2)＋16)，因?yàn)閨AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝6，所以4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))＝6，解得k＝±eq\r(2)，所以|y1－y2|＝eq\r(\f(16,k2)＋16)＝2eq\r(6)，所以△AOB的面積為eq\f(1,2)×1×2eq\r(6)＝eq\r(6)，故選A.6．過(guò)點(diǎn)P(－2,0)的直線與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|＝eq\f(1,2)|AB|，則點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_______．解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別過(guò)點(diǎn)A，B作直線x＝－2的垂線，垂足分別為D，E，∵|PA|＝eq\f(1,2)|AB|，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x1＋2＝x2＋2，,3y1＝y(tǒng)2，))又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2，))得x1＝eq\f(2,3)，則點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為1＋eq\f(2,3)＝eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)7．(2017·山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2＝2py(p>0)交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_______．解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義可知|AF|＝y(tǒng)1＋eq\f(p,2)，|BF|＝y(tǒng)2＋eq\f(p,2)，|OF|＝eq\f(p,2)，由|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋eq\f(p,2)＋y2＋eq\f(p,2)＝y(tǒng)1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,x2＝2py))消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以y1＋y2＝eq\f(2pb2,a2)，所以eq\f(2pb2,a2)＝p，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，故eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x.答案：y＝±eq\f(\r(2),2)x8．已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)．若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得∠ACB為直角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．解析：如圖，設(shè)C(x0，xeq\o\al(2,0))(xeq\o\al(2,0)≠a)，A(－eq\r(a)，a)，B(eq\r(a)，a)，則eq\o(CA,\s\up7(→))＝(－eq\r(a)－x0，a－xeq\o\al(2,0))，eq\o(CB,\s\up7(→))＝(eq\r(a)－x0，a－xeq\o\al(2,0))．∵CA⊥CB，∴eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))＝0，即－(a－xeq\o\al(2,0))＋(a－xeq\o\al(2,0))2＝0，(a－xeq\o\al(2,0))(－1＋a－xeq\o\al(2,0))＝0.∴xeq\o\al(2,0)＝a－1≥0，∴a≥1.答案：[1，＋∞)9.如圖所示，已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)．(1)若線段AB的中點(diǎn)在直線y＝2上，求直線l的方程；(2)若線段|AB|＝20，求直線l的方程．解：(1)由已知，得拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)．因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)在直線y＝2上，所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2，))得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以2y0k＝4.又y0＝2，所以k＝1，故直線l的方程是y＝x－1.(2)設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，與拋物線方程聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,y2＝4x，))消去x，得y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋|AB|＝eq\r(m2＋1)|y1－y2|＝eq\r(m2＋1)·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(m2＋1)·eq\r(4m2－4×－4)＝4(m2＋1)．所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2，所以直線l的方程是x＝±2y＋1，即x±2y－1＝0.10.(2018·合肥模擬)如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)A是直線l與拋物線C在第一象限的交點(diǎn)．以點(diǎn)F為圓心，|FA|為半徑的圓與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B.(1)若點(diǎn)O到直線l的距離為eq\f(\r(3),2)，求直線l的方程；(2)試判斷直線AB與拋物線C的位置關(guān)系，并給出證明．解：(1)由題易知，拋物線C的焦點(diǎn)為F(1,0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即x＝1時(shí)，不符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.所以eq\f(|－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(\r(3),2)，解得k＝±eq\r(3).即直線l的方程為y＝±eq\r(3)(x－1)．(2)直線AB與拋物線C相切，證明如下：設(shè)A(x0，y0)，則yeq\o\al(2,0)＝4x0.因?yàn)閨BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)．所以直線AB的方程為y＝eq\f(y0,2x0)(x＋x0)，整理得，x＝eq\f(2x0y,y0)－x0，把上式代入y2＝4x得y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，Δ＝64xeq\o\al(2,0)－16x0yeq\o\al(2,0)＝64xeq\o\al(2,0)－64xeq\o\al(2,0)＝0，所以直線AB與拋物線C相切．B級(jí)——拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A．2 B．4C．6 D．8解析：選B設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，圓的方程為x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，∴不妨設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5))).∵點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))在圓x2＋y2＝r2上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(16,p2)＋8＝r2，,\f(p2,4)＋5＝r2，))∴eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，解得p＝4(負(fù)值舍去)．∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.2．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，則拋物線C的方程為()A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x解析：選C由已知得拋物線的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，設(shè)點(diǎn)A(0,2)，M(x0，y0)，則eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－2))，eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2p)，y0－2)).由已知得，eq\o(AF,\s\up7(→))·eq\o(AM,\s\up7(→))＝0，即yeq\o\al(2,0)－8y0＋16＝0，因而y0＝4，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)，4)).由|MF|＝5得，eq\f(8,p)＋eq\f(p,2)＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，所以拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝16x.3．過(guò)拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)F作直線AB，CD與拋物線交于A，B，C，D四點(diǎn)，且AB⊥CD，則eq\o(FA,\s\up7(→))·eq\o(FB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))·eq\o(FD,\s\up7(→))的最大值為()A．－4 B．－16C．4 D．－8解析：選B設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，依題意可得，eq\o(FA,\s\up7(→))·eq\o(FB,\s\up7(→))＝－(|eq\o(FA,\s\up7(→))|·|eq\o(FB,\s\up7(→))|)．又因?yàn)閨eq\o(FA,\s\up7(→))|＝y(tǒng)A＋1，|eq