山東省淄博市高青縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二二部上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

2023級(jí)二部高二10月份月考試題數(shù)學(xué)第I卷（選擇題）一、單選題1．已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（

）A． B． C． D．2．某公園有東、南、西、北共4個(gè)大門供游客出入，小軍、小明從不同的大門進(jìn)入公園游玩，游玩結(jié)束后，他們隨機(jī)地從其中一個(gè)大門離開，則他們恰好從同一個(gè)大門出去的概率是（

）A． B． C． D．3．已知，且，則（

）A． B．C． D．4．已知，且與夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．下列命題中正確的是（

）A．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為D．已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則6．甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，設(shè)“甲中靶”，“乙中靶”，則（

）A．A與B，A與，與B，與都相互獨(dú)立B．與是對(duì)立事件C．D．7．已知平面和平面的夾角為，，已知A，B兩點(diǎn)在棱上，直線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于．已知，，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．或8．正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在線段上，動(dòng)點(diǎn)在平面上，且平面.線段長(zhǎng)度的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與垂直 B．與共線C．與所成角為銳角 D．，，，可作為空間向量的一組基底10．已知事件，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．如果，那么C．如果與互斥，那么 D．如果與相互獨(dú)立，那么11．已知，則下列說法正確的是（

）A．是平面的一個(gè)法向量 B．四點(diǎn)共面C． D．第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．已知，，點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.13．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為.14．某高校的入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，李華答對(duì)每道題目的概率都是，若每位面試者共有三次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止，假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的，則李華最終通過面試的概率為.四、解答題15．已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段AF的中點(diǎn).(1)用，，表示；(2)求的值.16．已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍(lán)球共4個(gè)，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是，得到黃球或藍(lán)球的概率是．(1)求盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)；(2)設(shè)置游戲規(guī)則如下：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色．若取到兩個(gè)球顏色相同則甲勝，否則乙勝，從概率的角度判斷這個(gè)游戲是否公平，請(qǐng)說明理由．17．已知空間三點(diǎn)，設(shè)．(1)若，，求；(2)求與的夾角的余弦值；(3)若與互相垂直，求k．18．第22屆亞運(yùn)會(huì)已于2023年9月23日至10月8日在我國(guó)杭州舉行．為慶祝這場(chǎng)體育盛會(huì)的勝利召開，某市決定舉辦一次亞運(yùn)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，該市A社區(qū)舉辦了一場(chǎng)選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表A社區(qū)參加市亞運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽．已知A社區(qū)甲、乙、丙3位選手都參加了初賽且通過初賽的概率依次為，a，b，通過初賽后，甲、乙、丙3位選手通過決賽的概率均為，假設(shè)他們之間通過與否互不影響．其中，甲乙兩人都能代表A社區(qū)參加市亞運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽的概率為，乙丙都不能代表A社區(qū)參加市亞運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽的概率為.(1)求a，b的值；(2)求這3人至少一人參加市知識(shí)競(jìng)賽的概率；(3)某品牌商贊助了A社區(qū)的這次知識(shí)競(jìng)賽，給參加選拔賽的選手提供了獎(jiǎng)勵(lì)方案：只參加了初賽的選手獎(jiǎng)勵(lì)200元，通過了初賽并參加了決賽的選手獎(jiǎng)勵(lì)500元．求三人獎(jiǎng)金總額為1200元的概率．19．如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，，分別是，的中點(diǎn).

(1)求證：.(2)已知點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，試確定點(diǎn)的位置.2023級(jí)二部高二10月份月考試題數(shù)學(xué)參考答案：題號(hào)12345678910答案DCBDCADCBCBCD題號(hào)11答案AD1．D【分析】根據(jù)互斥事件，對(duì)立事件的概率關(guān)系即可計(jì)算求解.【詳解】由題可知，，又，所以，解得，所以.故選：D.2．C【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果，可求得小軍、小明恰好從同一個(gè)出口出該公園的情況，再利用古典概率公式求解即可求得答案．【詳解】如圖，由樹狀圖可知，共有16種等可能結(jié)果，其中小軍、小明恰好從同一個(gè)出口出該公園的有4種等可能結(jié)果，所以小軍、小明恰好從同一個(gè)出口出該公園的概率為，故選：C．3．B【分析】運(yùn)用空間向量平行坐標(biāo)結(jié)論，結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算即可解.【詳解】向量，則，因，于是得，解得，所以.故選：B.4．D【分析】由題意且與不共線，利用向量共線和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，有，解得，此時(shí)，與夾角為，所以與夾角不可能為，與夾角為銳角時(shí)，有，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.5．C【分析】由空間點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷A；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可判斷B；由線面角的定義可判斷C；由共面向量定理可判斷D.【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，，有，則或，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則，解得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.6．A【分析】由獨(dú)立事件的定義以及乘法公式判斷AC，由對(duì)立事件的定義、互斥事件的概率公式判斷D.【詳解】對(duì)于A：由于兩人射擊的結(jié)果沒有相互影響，則A與B，A與，與B，與都相互獨(dú)立，故A正確；對(duì)于B：表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其對(duì)立事件為“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，即與不是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤；故選：A7．D【分析】由題意可得二面角的大小為或，則或，將用，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【詳解】平面和平面的夾角為，則二面角的大小為或，因?yàn)?，所以或，由題可知，，故或，或．故選：D.8．C【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，則，因?yàn)槠矫?，所以，即，解得，所以，所以，又，所以?dāng)時(shí)，即是的中點(diǎn)時(shí)，取得最小值，當(dāng)或，即與點(diǎn)或重合時(shí)，取得最大值，所以線段長(zhǎng)度的取值范圍為.故選：C9．BC【分析】對(duì)A：計(jì)算出即可得；對(duì)B：由向量共線定理計(jì)算即可得；對(duì)C：計(jì)算并判斷與是否共線即可得；對(duì)D：借助空間向量基本定理即可得.【詳解】對(duì)A：，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由、，有，故與共線，故B正確；對(duì)C：，且與不共線，故與所成角為銳角，故C正確；對(duì)D：由與共線，故，，不可作為空間向量的一組基底，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．BCD【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)與相互獨(dú)立時(shí)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：若，則，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：與互斥，那么，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：如果與相互獨(dú)立，那么，D選項(xiàng)正確；故選：BCD.11．AD【分析】根據(jù)向量垂直，即可結(jié)合法向量定義求解A，根據(jù)共面定理即可求解B，根據(jù)向量共線即可求解C，由模長(zhǎng)公式即可求解D.【詳解】，所以平面，所以平面，所以是平面的一個(gè)法向量，故A正確；設(shè)，則，無解，所以四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；，所以與不平行，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：AD.12．【分析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式列出方程即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，依題意得，解得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故答案為：13．【分析】根據(jù)題意，由投影向量的定義，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】由條件可得，，所以在方向上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：14．【分析】利用相互獨(dú)立事件以及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算即可.【詳解】依題意，李華3道題都沒有答對(duì)的概率為，所以李華最終通過面試的概率為.故答案為：.15．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)空間向量的基本定理，結(jié)合向量運(yùn)算求得答案.（2）利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算即得.【詳解】（1）在正四面體中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段AF的中點(diǎn)，，所以.（2）正四面體的棱長(zhǎng)為1，則，所以.16．(1)盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)分別是2，1，1；(2)不公平，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題設(shè)的概率可得關(guān)于球數(shù)的方程組，求出其解后可得不同顏色的求出.（2）利用列舉法可求甲勝或乙勝的概率，從而可判斷游戲是否公平.【詳解】（1）設(shè)盒中紅球、黃球、藍(lán)球個(gè)數(shù)分別為x，y，z，從中任取一球，得到紅球或黃球?yàn)槭录嗀，得到黃球或藍(lán)球?yàn)槭录﨎，則，由己知得，解得，所以盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)分別是2，1，1；（2）由（1）知紅球、黃球、藍(lán)球個(gè)數(shù)分別為2個(gè)，1個(gè)，1個(gè)，用，表示紅球，用表示黃球，用表示藍(lán)球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，則樣本空間，．可得，記“取到兩個(gè)球顏色相同”為事件，“取到兩個(gè)球顏色不相同”為事件，則，所以，所以，因?yàn)?，所以此游戲不公平?7．(1)或(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)向量共線設(shè)出向量的坐標(biāo)，由模長(zhǎng)公式列出方程，求解即可；（2）利用向量的坐標(biāo)公式和向量的夾角公式即可得出；（3）根據(jù)向量垂直時(shí)數(shù)量積為0，結(jié)合向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到k．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因此或；?）因?yàn)樗耘c的夾角的余弦值為；（3）因?yàn)榕c互相垂直，所以或.18．(1)，(2)(3)【分析】（1）先計(jì)算出這三人各自能參加市亞運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽的概率，再利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算即可；（2）結(jié)合（1）問，利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算即可；（3）計(jì)算出三人中有兩人通過初賽的概率，再利用概率的加法公式計(jì)算即可.【詳解】（1）甲能代表A社區(qū)參加市亞運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽的概率為；乙能代表A社區(qū)參加市亞運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽的概率為；丙能代表A社區(qū)參加市亞運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽的概率為；由于他們之間通過與否互不影響,所以甲乙兩人都能代表A社區(qū)參加市亞運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽的概率，解得：，乙丙都不能代表A社區(qū)參加市亞運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽的概率為，解得：，（2）結(jié)合（1）問可知：這3人都不能代表A社區(qū)參加市知識(shí)競(jìng)賽的概率:，所以這3人至少一人參加市知識(shí)競(jìng)賽的概率為：.（3）由題意可得：要使獎(jiǎng)金之和為1200元，則只有兩人參加決賽，記“甲，乙，丙三人獲得的獎(jiǎng)金之和為1200元”為事