2025年高考數(shù)學總復習 49 課時質量評價(四十九)

課時質量評價(四十九)1．在平面直角坐標系中，直線3xcosα＋2ysinα＝1(α∈R)與圓O：x2＋y2＝12A．相切 B．相交C．相離 D．相交或相切D解析：因為圓心到直線的距離d＝13當且僅當α＝kπ＋π2(k∈Z)又圓O：x2＋y2＝12的半徑為2所以直線與圓相交或相切．2．圓C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4與圓C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切線的條數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4C解析：圓C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圓心為C1(－1，2)，半徑為2，圓C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圓心為C2(3，2)，半徑為2，兩圓的圓心距|C1C2|＝－1－32+2－23．過點A(a，0)(a＞0)，且傾斜角為30?的直線與圓O：x2＋y2＝r2(r＞0)相切于點B，且|AB|＝3，則△OAB的面積是()A．12 B．C．1 D．2B解析：在Rt△AOB中，∠OBA＝90?，∠BAO＝30?，|AB|＝3，故OB＝所以S△OAB＝12ABOB4．已知圓C的圓心在直線l1：x＋2y－7＝0上，且與直線l2：x＋2y－2＝0相切于點M(－2，2)，則圓C被直線l3：2x＋y－6＝0截得的弦長為()A．25 B．4C．21055 DD解析：設圓C的圓心坐標為(a，b)，則有a+解得a＝－1，b＝4，則圓心為C(－1，4)，半徑r＝－1則圓心C到直線2x＋y－6＝0的距離d＝－2則弦長為2r25．若圓C：x2＋y2－6x－6y－m＝0上有到(－1，0)的距離為1的點，則實數(shù)m的取值范圍為()A．(－18，6] B．[－2，6]C．[－2，18] D．[4，18]C解析：將圓C的方程化為標準方程得(x－3)2＋(y－3)2＝m＋18，所以m>－18.因為圓C上有到(－1，0)的距離為1的點，所以圓C與圓C′：(x＋1)2＋y2＝1有公共點，所以m+18－1≤|CC′|因為|CC′|＝3+12所以m+18－1≤5≤m+18＋1，解得6．(多選題)(2021·新高考全國Ⅰ卷)已知點P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點A(4，0)，B(0，2)，則()A．點P到直線AB的距離小于10B．點P到直線AB的距離大于2C．當∠PBA最小時，|PB|＝32D．當∠PBA最大時，|PB|＝32ACD解析：設圓(x－5)2＋(y－5)2＝16的圓心為M(5，5)，由題易知直線AB的方程為x4+y2＝1，即x＋2y－4＝0，則圓心M到直線AB的距離d＝5+2×5－45＝115>4，所以直線AB與圓M相離，所以點P到直線AB的距離的最大值為4＋易知點P到直線AB的距離的最小值為d－4＝115－4，115－4<1255過點B作圓M的兩條切線，切點分別為N，Q，如圖所示，連接MB，MN，MQ，則當∠PBA最小時，點P與點N重合，|PB|＝MB2當∠PBA最大時，點P與點Q重合，|PB|＝MB2－MQ2＝7．(2023·新高考全國Ⅱ卷)已知直線x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC的面積為85”的m的一個值2或-2或12或-12解析：由⊙C：(x可得圓心坐標為C(1，0)，半徑為r＝2.因為△ABC的面積為85，可得S△ABC＝12×2×2×sin∠ACB＝85，解得sin∠ACB設12∠ACB＝θ，所以2sinθcosθ＝4由2sinθcosθsin2θ+cos2θ＝4所以cosθ＝25或cosθ＝1故圓心C(1，0)到直線x－my＋1＝0的距離d＝45或2即21+m2＝45或21+m8．已知圓C與圓x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原點，且過點A(0，－6)，則圓C的標準方程為______________.(x＋3)2＋(y＋3)2＝18解析：設圓C的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圓心為C(a，b)，半徑為r.因為x2＋y2＋10x＋10y＝0可化為(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，所以其圓心為(－5，－5)，半徑為52.因為兩圓相切于原點O，且圓C過點(0，－6)，點(0，－6)在圓(x＋5)2＋(y＋5)2＝50的內部，所以兩圓內切，所以a解得a＝－3，b＝－3，r＝32，所以圓C的標準方程為(x＋3)2＋(y＋3)2＝18.9．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.(1)若直線l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，證明：無論m為何值，直線l都與圓C相交；(2)若過點P(1，0)的直線l′與圓C相交于A，B兩點，求△ABC面積S的最大值，并求此時直線l′的方程．(1)證明：轉化l的方程(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0，可得m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0.由x－y所以直線l恒過點(2，3)．由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4，得點(2，3)在圓C內，即直線l恒過圓C內一點，所以無論m為何值，直線l都與圓C相交．(2)解：由圓C的圓心為(3，4)，半徑r＝2，易知此時直線l′的斜率存在且不為0，故設直線l′的方程為x＝ny＋1(n≠0)，即ny－x＋1＝0，圓心到直線l′的距離d＝4n－3所以|AB|＝2r2所以S2＝1＝4－4令t＝4n可得S2＝4t－t2，當t＝2時，Smax2＝4，所以△ABC面積S的最大值為2.由2＝4n－22n2+1，整理得7n2－8n＋1＝0，解得此時直線l′的方程為x－y－1＝0或7x－y－7＝0.10．(2024·昆明模擬)直線2x·sinθ＋y＝0被圓x2＋y2－25y＋2＝0截得的弦長的最大值為()A．25 B．23C．3 D．22D解析：易知圓的標準方程為x2＋y－52＝所以圓心為0，5，半徑r＝由題意知圓心到直線2x·sinθ＋y＝0的距離d＝54sin2θ+1<3，解得所以弦長為2r2因為53<4sin2θ＋1≤5，所以1≤54所以2r2－d所以當4sin2θ＋1＝5，即sin2θ＝1時，弦長有最大值22.11．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直線l：2x＋y＋2＝0，P為l上的動點，過點P作⊙M的切線PA，PB，切點為A，B，當|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為()A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0D解析：圓M的方程可化為(x－1)2＋(y－1)2＝4，則圓心為M(1，1)，點M到直線l的距離為d＝2×1+1+222+12＝5＞2，所以直線l與圓M相離．由圓的性質可知，點A，P，B，M四點共圓，且AB⊥PM，所以|PM|·|AB|＝4S△PAM＝4×12×PA×AM＝4|PA|.而|PA|＝PM2－AM2＝PM2－4，當直線l由x-2y+1＝0，2x+y+2＝0，解得x＝－1，y＝0，所以P(－1，0)．所以以PM為直徑的圓的方程為(x－1)(x＋1)＋y(y－1)＝012．(新定義)有數(shù)學家證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數(shù)k(k>0，k≠1)的點的軌跡是圓．若平面內兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足PAPB＝2，當點P，A，B不共線時，△22解析：以經過點A，B的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系(圖略)，則A(－1，0)，B(1，0)．設P(x，y)，因為PAPB＝2整理得x2＋y2－6x＋1＝0，即(x－3)2＋y2＝8，當點P到AB(x軸)的距離最大時，△PAB的面積最大，此時面積為1213．已知圓C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1與x軸切于點A，與y軸切于點B，設劣弧AB的中點為M，則過點M的圓C的切線方程是______________.x－y＋2－2＝0解析：因為圓C與兩軸相切，且M是劣弧AB的中點，所以直線CM是第二、四象限的角平分線，所以斜率為－1，所以過點M的切線的斜率為1.因為圓心到原點的距離為2，所以OM＝2－1，所以M(22-1，1-22)，所以切線方程為y－1＋22＝x14．已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求切線的方程；(2)從圓C外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求|PM|取得最小值時點P的坐標．解：(1)圓C的標準方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝2，圓心為(－1，2)，半徑為2，易知切線斜率存在．由圓C的切線在兩坐標軸上的截距相等，可分兩種情況：①當截距不為零時，可設切線的方程為x＋y－b＝0，由－1+2－b2＝2，解得b故切線的方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.②當截距為零時，可設切線的方程為y＝kx，即kx－y＝0，由－k－2k2+1＝2，解得k＝2故切線的方程為y＝2+6x或y＝2綜上可知，切線的方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0或y＝2+6x或y＝2(2)因為|PM|＝|PO|，所以|PO|取最小值時，|PM|也取最小值．因為切線PM與半徑CM垂直，所以|PM|2＝|PC|2－|CM|2.又|PM|＝|PO|，所以|PC|2－|CM|2＝|PO|2，所以(x1＋1)2＋(y1－2)2－2＝x1整理得2x1－4y1＋3＝0，即點P(x1，y1)在直線2x－4y＋3＝0上，所以|PO|的最小值等于點O到直線2x－4y＋3＝0的距離d，此時d＝32故|PO|取得最小值時，|PO|2＝x1所以x12所以此時點P的坐標為－315．已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．(1)求圓C的方程．(2)過點M(1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(點A在x軸上方)，問：在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)設圓心C(a，0)a>則4a+105＝2，解得a＝0或a＝－所以圓C的方程為x2＋y2＝4.(2)當直線AB⊥x軸，即直線AB的斜率不存在時，x軸平分∠A