滬教版2024-2025學(xué)年七年級(jí)上冊(cè)同步提升講義第19講因式分解單元綜合檢測(cè)(難點(diǎn))(學(xué)生版+解析)

第19講因式分解單元綜合檢測(cè)（難點(diǎn)）一、單選題1．已知，則（）A． B． C．7 D．112．對(duì)于任何整數(shù)，整式的值都能（

）A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被5整除3．已知三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．因式分解x2-mx﹣12＝（x-p）（x-q），其中m、p、q都為整數(shù)，則這樣的m的最大值是（）A．1 B．4 C．11 D．125．小方將4張長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形紙片先按圖1所示方式拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，然后按圖2所示連接了四條線段，并畫出部分陰影圖形，若大正方形的面積是圖中陰影部分圖形面積的3倍，則滿足（

）A． B． C． D．6．如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均為和諧數(shù)．那么，不超過(guò)2019的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（）A．6858 B．6860 C．9260 D．9262二、填空題7．因式分解：；；；8．因式分解：9．因式分解：；10．因式分解：．11．已知關(guān)于x的整式x2-kx﹣3能分解成兩個(gè)一次整式的積，那么整數(shù)k的值為．12．已知，則的值為21．因式分解：．22．分解因式：（n為大于2的正整數(shù)）23．已知，求的值．24．【閱讀理解，自主探究】把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)增加問(wèn)題的條件，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問(wèn)題等都有著廣泛的應(yīng)用．例1用配方法因式分解：a2＋6a＋8．原式＝a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，∴當(dāng)a＝b＝1時(shí)，M有最小值1．請(qǐng)根據(jù)上述自主學(xué)習(xí)材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：a2＋10a＋________；(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．(3)若M＝a2－3a-1，則M的最小值為________；(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，則a＋b＋c的值為________；25．如圖，有型、型、型三種不同的紙板，其中型：邊長(zhǎng)為厘米的正方形；型：長(zhǎng)為厘米，寬為1厘米的長(zhǎng)方形；型：邊長(zhǎng)為1厘米的正方形．

(1)型2塊，型4塊，型4塊．此時(shí)紙板的總面積為________；①?gòu)倪@10塊紙板中拿掉1塊型紙板，剩下的紙板在不重疊的情況下，可以緊密的排出一個(gè)大正方形．這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為________；②從這10塊紙板中拿掉2塊同類型的紙板，使得剩下的紙板在不重疊的情況下，可以緊密的排出兩個(gè)相同形狀的大正方形，請(qǐng)問(wèn)拿掉的是2塊哪種類型的紙板？此時(shí)大正方形的面積是多少平方厘米？（計(jì)算說(shuō)明）(2)型12塊、型12塊、型4塊，從這28塊紙板中拿掉1塊紙板，使得剩下的紙板在不重疊的情況下，可以緊密的排出三個(gè)相同形狀的大正方形，請(qǐng)直接寫出大正方形的邊長(zhǎng)．26．在因式分解的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們知道可以利用提公因式法或公式法將部分整式分解因式．下面以為例，介紹一種新的因式分解法——試根法．①觀察發(fā)現(xiàn)，時(shí)，，說(shuō)明是方程的一個(gè)解（或“根”）．由此推斷分解后有一個(gè)因式是．②根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算，另一個(gè)因式只能是一次式且一次項(xiàng)系數(shù)為7，所以設(shè)另一個(gè)因式是．③于是．根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，得，則．④所以．以上因式分解的方法叫“試根法”．利用“試根法”，解決下面的問(wèn)題：(1)因式分解：．解：①把代入該式，得．所以該整式分解后有一個(gè)因式是．②因?yàn)樵阶罡叽雾?xiàng)系數(shù)為2，所以設(shè)另一個(gè)因式是．請(qǐng)繼續(xù)完成下列步驟：③填空：______，______；④觀察的各項(xiàng)系數(shù)特點(diǎn)，利用“試根法”對(duì)進(jìn)行因式分解；⑤整式因式分解的結(jié)果為______．(2)利用“試根法”因式分解：．27．關(guān)于、、的整式，，，，在將字母、、輪換（即將換成，換成，換成）時(shí)，保持不變．這樣的整式稱為、、的輪換式．我們可以利用輪換式的特征幫助我們進(jìn)行巧妙地因式分解，我們也叫輪換式法．例題：分解因式解：令時(shí)，原式所以是原式的因式，由于原式是、、的輪換式，所以、也是原式的因式，從而可以設(shè)，（保證兩邊次數(shù)相同，其中是系數(shù)）令，得，即所以閱讀上述材料分解因式完成下列兩題：(1)對(duì)整式令________，原式；令________，原式所以設(shè)令得________(2)用輪換式法因式分解：因式分解單元綜合檢測(cè)（難點(diǎn)）一、單選題1．已知，則（）A． B． C．7 D．11【答案】A【分析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用．根據(jù)題意可得，再由完全平方公式，可得，即可求解．【解析】解：∵，∴，∴∵，∴．故選B．2．對(duì)于任何整數(shù)，整式的值都能（

）A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被5整除【答案】A【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，分解因式后再逐個(gè)判斷即可．【解析】解：，為任意整數(shù)，的值總能被3整除，3．已知三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】本題主要考查了等式的性質(zhì)，因式分解的應(yīng)用．熟練掌握完全平方公式，根據(jù)相等關(guān)系，代入消元，運(yùn)用完全平方公式分解因式，判斷各選項(xiàng)即可．【解析】A．若，則，即，則：，故A正確；B．若，則，把代入得：，∴，把，代入得：，分解因式得：，∴或∴或，故B錯(cuò)誤；C．若，則，∴，∴，故C錯(cuò)誤；D．若，則把代入得：，∴，故D錯(cuò)誤．4．因式分解x2-mx﹣12＝（x-p）（x-q），其中m、p、q都為整數(shù)，則這樣的m的最大值是（）A．1 B．4 C．11 D．12【答案】B【分析】根據(jù)整式的乘法和因式分解的逆運(yùn)算關(guān)系，按整式乘以整式法則把式子變形，然后根據(jù)p、q的關(guān)系判斷即可．【解析】∵(x＋p)(x＋q)=x2＋（p-q）x-pq=x2＋mx－12∴p-q=m，pq=-12．∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12∴m=-11或11或4或-4或1或-1．∴m的最大值為11．故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式乘法和因式分解的逆運(yùn)算的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)整式的乘法還原因式分解的關(guān)系式，注意分類討論的作用．5．小方將4張長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形紙片先按圖1所示方式拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，然后按圖2所示連接了四條線段，并畫出部分陰影圖形，若大正方形的面積是圖中陰影部分圖形面積的3倍，則滿足（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)大正方形的面積為S，圖中空白部分的面積為S1，陰影部分的面積為S2，先用含有a、b的代數(shù)式分別表示出S、S1和S2，再根據(jù)S1=3S2得到關(guān)于a、b的等式，整理即可．【解析】解：設(shè)大正方形的面積為S，圖中空白部分的面積為S1，陰影部分的面積為S2，由題意，得S1=b（a-b）×2-ab×2-（a-b）2=a2-2b2，S2=（a-b）2-S1=（a-b）2-（a2-2b2）=2ab-b2，S=（a-b）2，∵S=3S2，∴（a-b）2=3（2ab-b2），整理，得（a-2b）2=0，∴a-2b=0，∴a=2b．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練運(yùn)用完全平方公式及因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．6．如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均為和諧數(shù)．那么，不超過(guò)2019的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（）A．6858 B．6860 C．9260 D．9262【答案】A【分析】根據(jù)“和諧數(shù)”的概念找出公式：(2k-1)3﹣(2k﹣1)3＝2(12k2-1)（其中k為非負(fù)整數(shù)），然后再分析計(jì)算即可．【解析】解：(2k-1)3﹣(2k﹣1)3＝[(2k-1)﹣(2k﹣1)][(2k-1)2-(2k-1)(2k﹣1)-(2k﹣1)2]＝2(12k2-1)（其中k為非負(fù)整數(shù)），由2(12k2-1)≤2019得，k≤9，∴k＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超過(guò)2019的“和諧數(shù)”，它們的和為[13﹣(﹣1)3]-(33﹣13)-(53﹣33)-…-(173﹣153)-(193﹣173)＝193-1＝6860．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，以及立方差公式，有一定難度，重點(diǎn)是理解題意，找出其中規(guī)律是解題的關(guān)鍵所在．二、填空題7．因式分解：；；；【答案】/；；．【分析】利用完全平方公式、十字相乘法、提取公因式法以及分組分解法求解即可．【解析】解：；；；；故答案為：；；；．【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)整式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．8．因式分解：【答案】【分析】本題考查了提取公因式法和公式法分解因式，首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，正確運(yùn)用乘法公式分解因式是解題的關(guān)鍵．【解析】解：．9．因式分解：；【答案】【分析】先運(yùn)用十字相乘法進(jìn)行因式分解，再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解即可．【解析】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，掌握十字相乘法和公式法進(jìn)行因式分解是解答本題的關(guān)鍵．10．因式分解：．【答案】【分析】將原式進(jìn)行拆解變形為后，先將前面幾項(xiàng)利用十字相乘法因式分解，后面分組進(jìn)行提公因式，然后進(jìn)一步分解因式即可.【解析】==-==.所以答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了十字相乘法與提公因式法進(jìn)行因式分解，熟練掌握相關(guān)方法并且合適地進(jìn)行分組分解是解題關(guān)鍵.11．已知關(guān)于x的整式x2-kx﹣3能分解成兩個(gè)一次整式的積，那么整數(shù)k的值為．【答案】【分析】把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)整數(shù)的乘積，k就等于那兩個(gè)整數(shù)之和．【解析】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k＝﹣3-1＝﹣2或k＝﹣1-3＝2，∴整數(shù)k的值為：±2，故答案為：±2．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解—十字相乘法，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．12．已知，則的值為【答案】【分析】先根據(jù)完全平方公式的變形求出，再把所求式子提取公因式得到，據(jù)此代值計(jì)算即可．【解析】解：∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式的變形求值，正確得到是解題的關(guān)鍵．13．已知，那么整式的值為.【答案】//【分析】先根據(jù)式子的特點(diǎn)展開，然后求出的值，再代入即可求解．【解析】解：，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了乘法公式與因式分解的運(yùn)算和求值的應(yīng)用，熟練掌握整式的因式分解和整體代入的思想是解題的關(guān)鍵．14．已知：，因式分解，結(jié)果為．【答案】【分析】將提出一個(gè)，再將提出一個(gè)，繼續(xù)提出一個(gè)，以此類推，直到原式變?yōu)?，再化?jiǎn)即可．【解析】解：…故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法，一般地，如果整式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來(lái)，將整式寫成整式與另一個(gè)因式的乘積的形式，在這種分解因式的方法叫做提公因式法．15．甲、乙兩個(gè)大小不一樣的正方形按如圖所示的兩種方式放置．，記圖①中的陰影部分面積為，圖②中的陰影部分面積為．（1）若，則的值是；（2）若，，則的值是．【答案】20【分析】（1）根據(jù)已知條件得到乙正方形的邊長(zhǎng)為，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)陰影部分的面積可得，，兩式相除得到a、b的關(guān)系，再代入求解即可．【解析】解：（1）∵，∴乙正方形的邊長(zhǎng)為，∴，故答案為：20；（2）∵，∴，∵，∴，∴，整理，得，即，∴或，∴或（舍去）∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了整式與幾何圖形的面積以及因式分解，正確理解題意、靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，且，則稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”．例如，，16就是一個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，可以利用進(jìn)行研究．若將智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列，第9個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，根據(jù)，均為正整數(shù)，得出，，，，…，從而得出，，，，…，把平方差公式中的換成和相關(guān)的式子，得到新的式子，然后將，，，…一次代入計(jì)算即可，理解題意，熟練掌握平方差公式是解此題的關(guān)鍵．【解析】解：，均為正整數(shù)，，，，，…，，，，，…，，當(dāng)時(shí)，，得到的“智慧優(yōu)數(shù)”分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，當(dāng)時(shí)，，得到的“智慧優(yōu)數(shù)”分別為：，，，，，，，，，，，，…，當(dāng)時(shí)，，得到的“智慧優(yōu)數(shù)”分別為：，，，，，，，，…，當(dāng)時(shí)，，得到的“智慧優(yōu)數(shù)”分別為：，，，，，，…，當(dāng)時(shí)，，得到的“智慧優(yōu)數(shù)”分別為：，，，，…，當(dāng)時(shí)，，得到的“智慧優(yōu)數(shù)”分別為：，，，…，當(dāng)時(shí)，，得到的“智慧優(yōu)數(shù)”分別為：，…，把這些“智慧優(yōu)數(shù)”從小到大排列為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，第9個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是，故答案為：．17．若a,b,c滿足，則【答案】【分析】關(guān)鍵整式的乘法法則運(yùn)算，并整體代入變形即可.【解析】因?yàn)樗?，即因?yàn)樗砸驗(yàn)樗砸驗(yàn)樗约匆驗(yàn)榧垂蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查的是整式的乘法，熟練掌握乘法法則并會(huì)對(duì)算式進(jìn)行變形是關(guān)鍵.18．已知關(guān)于x的整式，下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，，則；②若，則整式有一個(gè)因式是；③若，則整式的最小值是0；④若，則．其中正確的是（填寫序號(hào)）．【答案】①②④【分析】①將代入，即可判斷；②當(dāng)時(shí)，，即可判斷；③，根據(jù)平方的非負(fù)性，即可判斷；④當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，則，即可判斷．【解析】①將代入，得，所以①正確；②若，則當(dāng)時(shí)，，則整式有一個(gè)因式是；所以②正確③，時(shí)，時(shí)，∴若，則整式的最值是0，所以③錯(cuò)誤；④∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴∴所以④正確故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題考查整式求值、平方的非負(fù)性，因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確．三、解答題19．分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先去括號(hào)，再利用完全平方公式進(jìn)行分解即可；（2）直接利用完全平方公式進(jìn)行分解即可；（3）先利用平方差公式進(jìn)行分解，再利用完全平方公式進(jìn)行二次分解即可；（4）先利用完全平方公式進(jìn)行分解，再利用平方差公式進(jìn)行二次分解即可．【解析】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【點(diǎn)睛】本題考查公式法分解因式，積的乘方．掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．20．因式分解：；【答案】【分析】本題租用考查了分解因式，先分組得到，進(jìn)而提取公因式得到，再利用平方差公式分解因式即可．【解析】解：．21．因式分解：．【答案】【分析】本題考查的是利用分組分解法分解因式，先把后三項(xiàng)作為一組，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟練的分組是解本題的關(guān)鍵．【解析】解：．22．分解因式：（n為大于2的正整數(shù)）【答案】【分析】本題考查的是綜合提公因式與公式法分解因式，本題先提取公因式，再利用完全平方公式與平方差公式進(jìn)行分解即可，熟記把整式的每個(gè)因式都分解到不能再分解為止是解本題的關(guān)鍵．【解析】解：．23．已知，求的值．【答案】【解析】解：，，，．24．【閱讀理解，自主探究】把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)增加問(wèn)題的條件，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問(wèn)題等都有著廣泛的應(yīng)用．例1用配方法因式分解：a2＋6a＋8．原式＝a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，∴當(dāng)a＝b＝1時(shí)，M有最小值1．請(qǐng)根據(jù)上述自主學(xué)習(xí)材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：a2＋10a＋________；(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．(3)若M＝a2－3a-1，則M的最小值為________；(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，則a＋b＋c的值為________；【答案】(1)25；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可；（2）原式常數(shù)項(xiàng)35分為，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，再利用平方差公式分求解即可；（3）配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出最小值即可；（4）將已知等式利用完全平方公式配方后，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，，的值，代入原式計(jì)算即可．【解析】（1）解：；故答案為：25；（2）解：；（3）解：，當(dāng)，即時(shí)，取最小值，最小值為；故答案為：；（4）解：，，即，，，，，，，解得：，，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方，完全平方式，以及因式分解分組分解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各自的運(yùn)算法則及公式．25．如圖，有型、型、型三種不同的紙板，其中型：邊長(zhǎng)為厘米的正方形；型：長(zhǎng)為厘米，寬為1厘米的長(zhǎng)方形；型：邊長(zhǎng)為1厘米的正方形．

(1)型2塊，型4塊，型4塊．此時(shí)紙板的總面積為________；①?gòu)倪@10塊紙板中拿掉1塊型紙板，剩下的紙板在不重疊的情況下，可以緊密的排出一個(gè)大正方形．這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為________；②從這10塊紙板中拿掉2塊同類型的紙板，使得剩下的紙板在不重疊的情況下，可以緊密的排出兩個(gè)相同形狀的大正方形，請(qǐng)問(wèn)拿掉的是2塊哪種類型的紙板？此時(shí)大正方形的面積是多少平方厘米？（計(jì)算說(shuō)明）(2)型12塊、型12塊、型4塊，從這28塊紙板中拿掉1塊紙板，使得剩下的紙板在不重疊的情況下，可以緊密的排出三個(gè)相同形狀的大正方形，請(qǐng)直接寫出大正方形的邊長(zhǎng)．【答案】(1)①②(2)【分析】（1）由于1塊型的面積為，1塊型的面積為，1塊型的面積為，所以型2以上因式分解的方法叫“試根法”．利用“試根法”，解決下面的問(wèn)題：(1)因式分解：．解：①把代入該式，得．所以該整式分解后有一個(gè)因式是．②因?yàn)樵阶罡叽雾?xiàng)系數(shù)為2，所以設(shè)另一個(gè)因式是．請(qǐng)繼續(xù)完成下列步驟：③填空：______，______；④觀察的各項(xiàng)系數(shù)特點(diǎn)，利用“試根法”對(duì)進(jìn)行因式分解；⑤整