第24講直線與圓的位置關(guān)系（三大題型歸納分層練）（原卷版）

第24講直線與圓的位置關(guān)系【人教A版選修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01直線與圓的位置關(guān)系的判斷 3題型02圓的弦長問題 5題型03圓的切線問題 9分層練習 12夯實基礎(chǔ) 12能力提升 18創(chuàng)新拓展 28一、直線與圓的位置關(guān)系的判斷直線l：Ax＋By＋C＝0與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)個個個判斷方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離為d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判別式Δ二、圓的弦長問題求直線與圓相交時弦長的兩種方法：(1)幾何法：如圖①，直線l與圓C交于A，B兩點，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，即|AB|＝2eq\r(r2－d2).圖①(2)代數(shù)法：如圖②所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，圖②則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直線l的斜率k存在)．題型01直線與圓的位置關(guān)系的判斷【解題策略】直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷．(2)代數(shù)法：根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組的解的個數(shù)來判斷．(3)直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷定點與圓的位置關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系．但有一定的局限性，必須是過定點的直線系【典例分析】【例1】例1已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.當m為何值時，圓與直線：(1)有兩個公共點；(2)只有一個公共點；(3)沒有公共點．【變式演練】【變式1】（2324高二下·浙江·期中）已知直線，圓.則直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．與a有關(guān)【變式2】（2324高二上·上?！て谀c在圓外，則直線與該圓的位置關(guān)系為.【變式3】（2022高二·全國·專題練習）判斷直線與圓的位置關(guān)系．題型02圓的弦長問題【解題策略】(1)求直線與圓的弦長的兩種方法：代數(shù)法、幾何法．(2)利用弦長求直線方程、圓的方程時，應(yīng)注意斜率不存在的情況【典例分析】課本例1已知直線l：3x＋y－6＝0和圓心為C的圓x2＋y2－2y－4＝0，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長．【例2】求直線x－eq\r(3)y＋2eq\r(3)＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長．【變式演練】【變式1】（2223高二上·福建泉州·期中）直線被圓截得的弦長為定值，則直線l的方程為．【變式2】（2324高二上·陜西咸陽·階段練習）已知圓及直線，當直線被圓截得弦長最長時，直線的方程為．【變式3】（2324高二上·新疆和田·期中）已知圓方程為，直線方程為，則(1)求圓圓心坐標及半徑；(2)判斷直線與圓位置關(guān)系，若相交，求弦長.題型03圓的切線問題【解題策略】求過某一點的圓的切線方程(1)過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法①若切線斜率存在且不為0，則先求切點與圓心連線所在直線的斜率k(k≠0)，由垂直關(guān)系得切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點斜式方程可得切線方程．②若切線斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.(2)過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法①若切線斜率存在，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．②當切線斜率不存在時要加以驗證．③過圓外一點的切線有兩條【典例分析】課本例2過點P(2,1)作圓O：x2＋y2＝1的切線l，求切線l的方程．【例3】(1)過點A(－1,4)作圓(x－2)2＋(y－3)2＝1的切線l，則切線l的方程為__________．(2)由直線y＝x＋1上任一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則該切線長的最小值為()A．1B．2eq\r(2)C.eq\r(7)D．3【變式演練】【變式1】（2324高二下·北京·期中）已知圓，直線經(jīng)過點，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．【變式2】（2324高二下·河北張家口·期中）已知和點，則過點的的所有切線方程為.【變式3】（2324高二上·廣西南寧·階段練習）過點P作圓的切線，求切線的方程【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2324高二下·廣東梅州·階段練習）已知圓，則直線與圓C（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相交或相切2．（2324高二上·廣東惠州·階段練習）直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定3．（2324高二上·天津·期末）過點且與圓相切的直線方程為（

）A． B．C．或 D．或4．（2024高二上·全國·專題練習）直線被圓所截得的弦長等于，則a的值為（）A．或3 B．或 C．1或3 D．或二、多選題5．（2324高二下·江西贛州·階段練習）已知圓C方程為，則下列說法中正確的是（）A．圓C的圓心坐標為 B．圓C的半徑為3C．圓C與直線相切 D．點在圓外6．（2324高二上·河南周口·階段練習）過點作與圓相切的直線l，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．三、填空題7．（2324高二上·山東聊城·期末）寫出經(jīng)過坐標原點，且被圓截得的弦長為的直線l的一個方程．8．（2324高二下·上海松江·階段練習）已知直線與圓相交于兩點，且，則實數(shù).9．（2324高二上·上?！て谀┻^點作圓的切線，則切線方程為.四、解答題10.已知直線l經(jīng)過直線2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交點，且與直線x＋y－2＝0垂直．(1)求直線l的方程；(2)若圓C的圓心坐標為(3,0)，直線l被該圓所截得的弦長為2eq\r(2)，求圓C的標準方程．11．（2324高二下·四川·階段練習）已知圓C和直線，若圓C的圓心為(0,0)，且圓C經(jīng)過直線和的交點．(1)求圓C的標準方程；(2)過定點(1,2)的直線l與圓C交于M，N兩點，且，求直線l的方程．12．（2324高二上·新疆喀什·期末）已知直線過點，圓.(1)證明：直線與圓相交；(2)求直線被圓截得的弦長的最小值.【能力提升】一、單選題1．（2324高二上·廣西南寧·階段練習）若直線與圓交于兩點，且，則（）A． B． C．1 D．或2．（2324高二上·江蘇連云港·期中）圓在點處的切線方程為（）A． B．C． D．3．（2324高二上·吉林長春·期末）已知圓，過點作圓的切線，則該切線的一般式方程為（

）A． B．C． D．4．（2324高二上·天津武清·階段練習）已知過點的直線與圓相切，且與直線平行，則（

）A．2 B． C． D．二、多選題5．（2324高二上·云南昆明·階段練習）已知圓M的方程為，則關(guān)于圓M的說法正確的是（

）A．圓心M的坐標為B．點在圓M內(nèi)C．直線被圓M截得的弦長為D．圓M在點處的切線方程為6．（2324高二下·四川雅安·開學考試）已知圓，直線，則下列選項正確的是（

）A．直線恒過定點B．直線與圓可能相切C．直線被圓截得的弦長的最小值為4D．當時，圓上到直線距離為2的點恰有三個三、填空題7．（2324高二上·福建漳州·期末）圓在點處的切線方程為.8．（2324高二上·河南南陽·階段練習）若方程有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍.9．（2324高二上·海南省直轄縣級單位·期末）過點作圓的切線，則切線的斜率為.四、解答題10．（2324高二上·湖北·期末）已知圓.(1)過點作圓的切線，求切線的方程；(2)若直線過點，且被圓截得的弦長為2，求直線的方程.11．（2324高二上·北京·期中）已知圓過原點和點，圓心在軸上.(1)求圓的方程；(2)直線經(jīng)過點，且被圓截得的弦長為6，求直線的方程.12．已知圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一點P(4，－1)，過點P作直線l.(1)當直線l與圓C相切時，求直線l的方程；(2)當直線l的傾斜角為135°時，求直線l被圓C所截得的弦長．13．已知圓C過點(1,1)，圓心在x軸正半軸上，且與直線y＝x－4相切．(1)求圓C的標準方程；(2)已知過點P(1,3)的直線l交圓C于A，B兩點，且|AB|＝2，求直線l的方程．【創(chuàng)新拓展】一、單選題1．（2324高二上·湖南長沙·期中）過點的直線l與圓相切，則直線l的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或二、多選題2．（2324高二上·遼寧·階段練習）已知圓，則下列命題是真命題的是（

）A．若圓C關(guān)于直線對稱，則B．存在一條定直線與圓C相切C．當時，不過點C的直線與圓C交于P，Q兩點，則的面積的取值范圍是D．當時，直線，M為直線l上的動點，過點M作圓C的兩條切線，，切點分別為A，B，則的最小值為4三、填空題3．（2324高二上·山西呂梁·階段練習）過點與圓相切的直線方程為．四、解答題4．（2324高二上·浙江麗水·期末）已知圓經(jīng)過點，，.(1)求圓的方程；(2)過點作直線與圓相切，求直線的方程.5．已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，半徑