中直線與方程知識(shí)點(diǎn)解析及經(jīng)典例題

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)——直線及方程一、直線及方程〔1〕直線的傾斜角定義：x軸正向及直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特殊地，當(dāng)直線及x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°〔2〕直線的斜率①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線及x軸的傾斜程度。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不存在。②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：留意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k及P1、P2的依次無(wú)關(guān)；(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。xyo12l1l2例.如右圖，直線l1的傾斜角=30°，直線l1⊥xyo12l1l2解：k130°=∵l1⊥l2∴k1·k2=—1∴k2=—例：直線的傾斜角是()°°°°〔3〕直線方程①點(diǎn)斜式：直線斜率k，且過(guò)點(diǎn)留意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，0，直線的方程是1。當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是1。②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點(diǎn)式：〔〕即不包含于平行于x軸或y直線兩點(diǎn)軸的直線，直線兩點(diǎn)，，當(dāng)寫(xiě)成的形式時(shí)，方程可以表示任何一條直線。④截矩式：其中直線及軸交于點(diǎn),及軸交于點(diǎn),即及軸、軸的截距分別為。對(duì)于平行于坐標(biāo)軸或者過(guò)原點(diǎn)的方程不能用截距式。⑤一般式：〔A，B不全為0〕留意：\o\(○,1)各式的適用范圍\o\(○,2)特殊的方程如：平行于x軸的直線：〔b為常數(shù)〕；平行于y軸的直線：〔a為常數(shù)〕；例題：依據(jù)以下各條件寫(xiě)出直線的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(8，—2)；.(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,2)，平行于x軸；.(3)在軸和軸上的截距分別是；.4)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(3，—2)、P2(5，—4)；.例1：直線的方程為0，假設(shè)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且位于第二、四象限，則〔〕A．0，B>0 B．0，B>0，A>0C．0，<0D．0，>0例2：直線的方程為——0，假設(shè)A、B、C滿意.>0且<0，則l直線不經(jīng)的象限是〔〕A．第一B．第二C．第三D．第四〔4〕直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線〔一〕平行直線系平行于直線〔是不全為0的常數(shù)〕的直線系：〔C為常數(shù)〕〔二〕過(guò)定點(diǎn)的直線系〔ⅰ〕斜率為k的直線系：，直線過(guò)定點(diǎn)；〔ⅱ〕過(guò)兩條直線，的交點(diǎn)的直線系方程為〔為參數(shù)〕，其中直線不在直線系中?！踩炒怪敝本€系垂直于直線〔是不全為0的常數(shù)〕的直線系：例1：直線l：(21)(1)y—7m—4=0所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為。(m∈R)〔5〕兩直線平行及垂直當(dāng)，時(shí)，〔1〕；〔2〕留意：利用斜率推斷直線的平行及垂直時(shí)，要留意斜率的存在及否?！?〕及重合；〔4〕及相交。另外一種形式：一般的，當(dāng)，及時(shí)，〔1〕，或者。〔2〕?！?〕及重合0?！?〕及相交。例.設(shè)直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m，1)、B(—3，4)，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1，m)、D(—1，1)，當(dāng)(1)l1//l2(2)l1⊥l1時(shí)分別求出m的值l1：(1)y=2—m和l2：2416=0，m為何值時(shí)l1及l(fā)2①相交②平行例2.兩直線l1：(32)(1—4a)y+8=0和l2：(5a—2)(4)y—7=0垂直，求a值〔6〕兩條直線的交點(diǎn)相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無(wú)解；方程組有多數(shù)解及重合l1：2y+2=0和l2：4y—2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)例4.直線l的方程為，(1)求過(guò)點(diǎn)〔2，3〕且垂直于l的直線方程；(2)求過(guò)點(diǎn)〔2，3〕且平行于l的直線方程。例2：求滿意以下條件的直線方程(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，3)及兩條直線l1：3y—4=0和l2：521=0的交點(diǎn)Q；(2)經(jīng)過(guò)兩條直線l1：2—8=0和l2：x—21=0的交點(diǎn)且及直線4x—3y—7=0平行；(3)經(jīng)過(guò)兩條直線l1：2x—310=0和l2：34y—2=0的交點(diǎn)且及直線3x—24=0垂直；〔7〕兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則〔8〕點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離〔9〕兩平行直線距離公式在任始終線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)展求解。對(duì)于來(lái)說(shuō)：。例1：求平行線l1：34y—12=0及l(fā)2：811=0之間的距離。例2：平行線l1：32y—6=0及l(fā)2：64y—3=0，求及它們距離相等的平行線方程。(10)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中心對(duì)稱(chēng)A、假設(shè)點(diǎn)及關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得B、直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，主要方法是：在直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們對(duì)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再利用，由點(diǎn)斜式得出所求直線的方程。軸對(duì)稱(chēng)A、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)：假設(shè)及關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則線段的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上，而且連結(jié)的直線垂直于對(duì)稱(chēng)軸，由方程組可得到點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)〔其中。B、直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)：此類(lèi)問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)來(lái)解決，假設(shè)直線及對(duì)稱(chēng)軸相交，則交點(diǎn)必在及對(duì)稱(chēng)的直線上，然后再求出上任一個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)交點(diǎn)及點(diǎn)的直線就是；假設(shè)直線及對(duì)稱(chēng)軸平行，則及對(duì)稱(chēng)的直線和到直線的距離相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離，即可求出的對(duì)稱(chēng)直線。例1：直線l：2x—31=0和點(diǎn)P(—1，—2).(1)分別求：點(diǎn)P(—1，—2)關(guān)于x軸、y軸、直線、原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q坐標(biāo)(2)分別求：直線l：2x—31=0關(guān)于x軸、y軸、直線、原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)的直線方程.(3)求直線l關(guān)于點(diǎn)P(—1，—2)對(duì)稱(chēng)的直線方程。(4)求P(—1，—2)關(guān)于直線l軸對(duì)稱(chēng)的直線方程。例2：點(diǎn)P(—1，—2)關(guān)于直線l：—2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為。11.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P1(x1，y1)，則線段的中點(diǎn)M坐標(biāo)為(，)例.點(diǎn)A(7，—4)、B(—5,6),求線段的垂直平分線的方程直線方程練習(xí)題1．過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線方程為2．假設(shè)直線2=0和231=0相互垂直，則3、直線235=0關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的直線方程為4、及直線236=0關(guān)于點(diǎn)(11)對(duì)稱(chēng)的直線是5、過(guò)點(diǎn)P(41)且及直線346=0垂直的直線方程是6.過(guò)點(diǎn)〔1，2〕且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程7兩直線23y－0和x－12=0的交點(diǎn)在y軸上，則k的值是8、兩平行直線的距離是9、三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A〔-1，5〕、B〔-2，-1〕、C〔4，3〕，M是邊上的中點(diǎn)。〔1〕求邊所在的直線方程；〔2〕求中線的長(zhǎng)〔