遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

絕密★啟用前遼寧省名校聯(lián)盟2024年高三10月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)命題人：遼寧名校聯(lián)盟試題研發(fā)中心審題人：遼寧名校聯(lián)盟試題研發(fā)中心本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，，則（）A.0B.2C.1D.43.已知向量不共線，，其中，若三點(diǎn)共線，則的最小值為（）A.5B.4C.3D.24.“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.設(shè)函數(shù)，則的最小值為（）A.780B.390C.400D.2006.已知，則（）A.B.C.D.7.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志而得名，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，它的具體內(nèi)容是：如圖，已知是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，則.若為的垂心，且，則（）A.B.C.D.8.，用表示中的較小者，記為，設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.B.C.在上為增函數(shù)D.函數(shù)在上有且只有2個(gè)零點(diǎn)10.下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中正確的是（）A.已知點(diǎn)是直線上三個(gè)不同的點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，且，則B.已知向量，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是C.已知點(diǎn)為三條邊的中線的交點(diǎn)，則D.已知，則在上的投影的坐標(biāo)為11.設(shè)函數(shù)且，則（）A.函數(shù)和的圖像關(guān)于直線對(duì)稱B.函數(shù)和的圖像的交點(diǎn)均在直線上C.若，方程的根為，方程的根為，則D.已知，若恒成立，則的取值范圍為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，若在上是增函數(shù)，則正數(shù)的取值范圍是__________.13.設(shè)函數(shù)，若在上是減函數(shù)，則的取值范圍為_(kāi)_________.14.，若定義，則中的元素有__________個(gè).四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，求的最小值.16.（15分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，若，求的極值點(diǎn)和極值?最值點(diǎn)和最值；（2）討論在上的單調(diào)性.17.（15分）已知函數(shù).（1）求方程在上的解集；（2）設(shè)函數(shù).（i）證明：在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；（ii）在（i）的條件下，記函數(shù)的零點(diǎn)為，證明：18.（17分）已知函數(shù).（1）若在上為增函數(shù)，求的取值范圍；（2）已知的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像，且是的一個(gè)零點(diǎn)，若在上恰好有6個(gè)零點(diǎn)，求的最大值；（3）已知函數(shù)，在第（2）問(wèn)的條件下，若對(duì)任意，存在，使得成立，求的取值范圍.19.（17分）已知函數(shù).（1）若，證明：；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為.（i）若，證明：.（ii）已知函數(shù)，若，證明：.遼寧名校聯(lián)盟高三10月聯(lián)考參考答案及解析1.C【解析】因?yàn)椋?故選C項(xiàng).2.D【解析】由題意得，所以.故選D項(xiàng).3.B【解析】若三點(diǎn)共線，則，所以所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選B項(xiàng).4.B【解析】若，則，所以，必要性成立；若，則，所以，充分性不成立.故“”是“”的必要不充分條件.故選B項(xiàng).5.C【解析】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；以此類推，直到，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選C項(xiàng).6.D【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以，所?故選D項(xiàng).7.B【解析】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，且，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以在中，，在中，，因?yàn)?，所以，即，?故選B項(xiàng).8.A【解析】因?yàn)?，所以在上為增函?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)1時(shí)，成立.同時(shí)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，，即.設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.故選A項(xiàng).二?多選題9.ABD【解析】由題意得函數(shù)的最小正周期為，所以成立，A項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以是的最小值，所以直線是圖像的一條對(duì)稱軸，所以成立，B項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，C項(xiàng)錯(cuò)誤；由題意知在有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)，由函數(shù)的圖像，易知與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，D項(xiàng)正確.故選ABD項(xiàng).10.ACD【解析】因?yàn)?，所以，故A項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與的夾角為，不是銳角，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；易知C項(xiàng)正確；在上的投影的坐標(biāo)為，故D項(xiàng)正確.故選ACD.11.AC【解析】易知A項(xiàng)正確.例如：當(dāng)時(shí)，和的圖像有交點(diǎn)和，均不在直線上，故B項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，得，故，設(shè)函數(shù)，易知其為增函數(shù)，因?yàn)?，所以，即成立，故C項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù).若，則，與矛盾，舍去，所以，若恒成立，則，即，兩邊取對(duì)數(shù)可得，即，利用導(dǎo)數(shù)可求得的最大值為，所以，所以.同理可得等價(jià)于，即，即，所以，所以.綜上，的取值范圍為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AC項(xiàng).三?填空題12.【解析】因?yàn)?，所以，則包含0的增區(qū)間為，因?yàn)?，所以，所以故的取值范圍?13.【解析】由題知，即對(duì)任意恒成立，所以只需時(shí)恒成立即可.因?yàn)闀r(shí)，，所以由，得，所以，所以，故的取值范圍為14.14【解析】因?yàn)?，，所以，，?4個(gè)元素.四?解答題15.解：（1）由，得，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，所?（2）由（1）得，則，所以，顯然在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以使成立的的最小值為6.16.解：（1）當(dāng)，則.當(dāng)時(shí)，令，得或.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為0；極大值為，極小值為.因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，恒成立，所以的最大值點(diǎn)為1，最小值點(diǎn)為0；最大值為，最小值為0.（2）.若，則，所以在上單調(diào)遞增.若，令，得.若，即，則當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.若，即，則當(dāng)時(shí)，0，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.17.（1）解：因?yàn)?，所以，所以?當(dāng)時(shí)，，則，又，所以或；當(dāng)時(shí)，則，又，所以，所以或，所以或.所以方程在上的解集為.（2）（i）證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以在時(shí)有唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，所以，所以在時(shí)沒(méi)有零點(diǎn).綜上，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).（ii）證明：由函數(shù)的零點(diǎn)為，得，且，所以，所以，令，因?yàn)椋运?，又所以，所?設(shè)，則在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即，故.18.解：（1）由，得，所以，所以解得.因?yàn)椋越獾?，因?yàn)椋?，所以，故的取值范圍?（2）因?yàn)楹瘮?shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像，所以，又是的一個(gè)零點(diǎn)，所以，即，所以或，解得或，由，可得，所以，令，則，即或，解得或所以由小到大依次取值，第七個(gè)正數(shù)零點(diǎn)是故在上恰好有6個(gè)零點(diǎn)，則的最大值為.（3）由（2）知，對(duì)任意，存在，使得成立，則.當(dāng)時(shí)，，則，則，當(dāng)時(shí)，，則，則，由，可得解得，故的取值范圍為.19.證明：