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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精第3章三角恒等變換3.1兩角和與差的三角函數(shù)3。1。1兩角和與差的余弦5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練,可用于課前)1.若sin(+α)=-,α∈(,π),則cos(—α)=_______________.思路解析:由誘導(dǎo)公式得sin(+α)=cosα=—,又α∈(,π),所以sinα=。所以cos(—α)=coscosα+sinsinα=×(—)+×=.答案:2。計算cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=____________。思路解析:逆用兩角差的余弦公式可得到結(jié)果.原式=cos(α—35°—25°—α)=cos(-60°)=.答案:10分鐘訓(xùn)練(強化類訓(xùn)練,可用于課中)1.已知sinα=,cosβ=,求cos(α-β)的值.解:∵sinα=>0,cosβ=>0,∴α可能在一、二象限,β在一、四象限.若α、β均在第一象限,則cosα=,sinβ=,cos(α-β)=·+·=.若α在第一象限,β在第四象限,則cosα=,sinβ=-,cos(α-β)=·+·(-)=。若α在第二象限,β在第一象限,則cosα=—,sinβ=,cos(α-β)=(-)·+·=—.若α在第二象限,β在第四象限,則cosα=—,sinβ=—,cos(α—β)=(—)·+·(-)=—。2。計算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.思路解析:從整體出發(fā),對局部進行三角變換,出現(xiàn)特殊值是求值常用的方法.題目中都是非特殊角,不能直接計算,可將sin33°化為cos57°,cos63°化為sin27°,再逆用兩角和的余弦公式,則迎刃而解.解:原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=。3。已知cosα=,cos(α+β)=-,且α、β∈(0,),求cosβ的值.思路解析:本題的解法要求觀察并分析出角和角之間的關(guān)系β=(α+β)-α,再利用兩角差的余弦公式展開,求出結(jié)果.這種“變角"的技巧在三角函數(shù)求值以及證明中常用,因為變角后可充分利用已知條件中的三角函數(shù)值來計算或證明。要注意,避免出現(xiàn)將cos(α+β)展開,通過解方程cosβ—sinβ=求cosβ這種復(fù)雜方法.解:由于α,β∈(0,),cosα=,cos(α+β)=-,則sinα===,sin(α+β)==.所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=.4.已知sinα+sinβ=,cosα+cosβ=,求cos(α-β)的值。思路解析:本題是一道綜合題,由于cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,欲求cos(α—β)的值,只需求出cosαcosβ+sinαsinβ的值,而要得到兩組同名三角函數(shù)乘積,需將條件兩式平方,再相加即得cosαcosβ+sinαsinβ的結(jié)果。解:①sinα+sinβ=,②cosα+cosβ=.①式平方得sin2α+2sinαsinβ+sin2β=,②式平方得cos2α+2cosαcosβ+cos2β=.以上兩式相加,得2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1,即2+2cos(α—β)=1,得到cos(α—β)=—。5。求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值。解:cos80°cos35°+cos10°cos55°=cos80°cos35°+cos(90°-80°)cos(90°-35°)=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos(80°-35°)=cos45°=。6.已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且(α—β)∈(,π),(α+β)∈(,2π),求cos2β的值。思路解析:此題主要考查靈活“變角”的技巧.由分析可知2β=(α+β)—(α-β).解:由于cos(α-β)=—,cos(α+β)=,且(α-β)∈(,π),(α+β)∈(,2π),可得sin(α—β)=,sin(α+β)=—,所以cos2β=cos[(α+β)—(α—β)]=cos(α+β)·cos(α-β)+sin(α+β)·sin(α-β)=·(-)+(—)·=-1.志鴻教育樂園過路費甲同學(xué)要回坐位,但被乙同學(xué)擋著路,乙同學(xué)向甲同學(xué)說:“此路是我開,此樹是我栽,我想從此過,留下買路財!"這時老師站在門外說:“刷卡可以嗎?”30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練,可用于課后)1。(2005上海)若cosα=,α∈(0,),則cos(α+)=_________________。思路解析:∵α∈(0,),∴sinα==,cos(α+)=cosαcos-sinαsin=×—×=-.答案:-2。設(shè)α∈(0,),若sinα=,則cos(α+)等于()A.B。C?!狣.-思路解析:∵α∈(0,),若sinα=,∴cosα=.∴cos(α+)=(cosαcos—sinαsin)=.答案:B3。sin163°sin223°+sin253°sin313°等于()A?!狟。C?!狣。思路解析:sin163°sin223°+sin253°sin313°=sin163°sin223°+cos(90°-253°)cos(90°-313°)=cos163°cos223°+sin163°sin223°=cos(223°-163°)=cos60°=。答案:B4。(2005廣東)化簡f(x)=cos(π+2x)+cos(π-2x)+2sin(+2x)(x∈R,k∈Z),并求函數(shù)f(x)的值域和最小正周期.解:f(x)=cos(2kπ++2x)+cos(2kπ——2x)+2sin(+2x)=cos(+2x)+cos(+2x)+2sin(+2x)=2cos(+2x)+2sin(+2x)=4[cos(+2x)cos+sin(+2x)sin]=4cos2x.∴f(x)∈[—4,4],T==π.∴f(x)的值域是[—4,4],最小正周期是π.5.化簡3sinx+3cosx.解:原式=6(sinx+cosx)=6(sin60°sinx+cos60°cosx)=6cos(60°-x)。6。已知sinα+sinβ+sinγ=0,且cosα+cosβ+cosγ=0.求證:cos(α—β)=—.證明:由已知可得sinα+sinβ=—sinγ,cosα+cosβ=-cosγ。兩式平方相加得到2+2cos(α—β)=1。所以cos(α-β)=-。得證。7。如圖3—1-1,平面直角坐標(biāo)系中,已知=(cos80°,sin80°),=(cos20°,sin20°),求||。若AB中點是C,那么||呢?圖3-1-1思路解析:這道題屬于向量和三角函數(shù)的綜合問題。解:=(cos20°-cos80°,sin20°—sin80°),||======1??芍鰽OB是等邊三角形,可求得||=。8.已知sinα+sinβ=,求cosα+cosβ的取值范圍.思路解析:本題用到了平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1,這一關(guān)系在三角函數(shù)運算中經(jīng)常用到。解:由于sinα+sinβ=,等式兩邊平方可知,sin2α+2sinαsinβ+sin2β=。①設(shè)cosα+cosβ=m,平方可知,cos2α+2cosαcosβ+cos2β=m2.②①+②得sin2α+2sinαsinβ+sin2β+cos2α+2cosαcosβ+cos2β=m2+,整理,有m2=+2cos(α-β).又由于cos(α—β)∈[-1,1],所以m2∈[-,],即得0≤m2≤。解得-≤m≤。所以—≤cosα+cosβ≤.9。已知0<β<,<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值。思路解析:注意到(+β)—(—α)=+(α+

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