2021全國碩士研究生招生考試《數(shù)學(xué)1》真題

單選題(共10題，共10分)

1.二次型f(xl,x2,x3)=(xl+x2)2+(x2+x3)2(x3xl)2的正慣性指數(shù)與負慣性指

數(shù)依次為().

【答案】B

【解析】

A.2,0

B.1,1

C.2,1

D.1,2

2.設(shè)A,B為隨機事件，且0

【答案】D

【解析】

故D項不正確.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

3.

【答案】D

【解析】因為

函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零.

A.連續(xù)且取得極大值

B.連續(xù)且取得極小值

C.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為零

D.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零

4.設(shè)函數(shù)f(x,y)可微，且f(x+Lex)=x(x+l)2,f(x,x2)=2x21nx,則

df(l,1)=().

【答案】C

【解析】將f(x+l,ex解析x+l)2兩邊對x求導(dǎo)得

A.dx+dy

B.dx-dy

C.dy

【解析】因為-r(A,BA)+r(AAT)-r(A,BA)+r(A),fir(A,BA)>

r(A),所以

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

’……-I

7.設(shè)(XI,Yl),(X0Y2),…，(Xn,Yn)為來自總體的

簡單隨機樣本，令口=

，則().

【答案】C

【解析】

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

8.設(shè)函數(shù)1__________I處的3次泰勒多項式為ax+bx2+cx3,則

().

【答案】A

【解析】

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

9.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，則I____________1().

【答案】B

【解析】由定積分定義得_____________________________I,這里將區(qū)間［0,

1］分為n等份，即

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

10.設(shè)XI,X2,…，X16是來自總鄧（口，4）的簡單隨機樣本，考慮假設(shè)檢驗

問題：HO：uW10,Hl：u>10.」（x）表示標準正態(tài)分布函數(shù).若該檢驗問

題的拒絕域為,其中I_____L則口二11?5時，該檢

驗犯第二類錯誤的概率為（）.

【答案】B

“斯】

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A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

問答題（共6題，共6分）

11.

【答案】

【解析】

12.

【答案】

【解析】

13.己知曲線I_______________________求C上的點到xOy坐標平面距離的最

大值.

【答案】

【解析】設(shè)C上的點(x,y,Z)到xOy坐標平面的距離為d,則d=|z|根據(jù)題

意，目標函數(shù)為f(x,y,z)=z2,約束條件是x2+2y2-z-6=0及4x+2y+z-

30-0.構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x,y,z,入，u)-z2+X(x2+2y2-z-6)+u

(4x+2y+z一30),則

14.設(shè)DR2是有界單連通閉區(qū)域,

【答案】

【解析】(1)要使1_______________________________I取得最大值，則D應(yīng)該

包含所有使得被積函數(shù)f(x,y)=4-x2-y2^0并且D中不能包含使得f(x,

y)=4-x2-y2<0的區(qū)域,故D1={(x,y)x2+y2W4},

又Q(x,y),P(x,y)在」D1圍成的區(qū)域DI上有奇點，所以要補充曲線L：

x2+4y2=￡2,￡)0足夠小，取順時針方向，且L圍成的區(qū)域為D”，則Q(x,

y),￡6。y)在口)1與L圍成的色域>上滿足格林公式的條件，

取得最大值的積分區(qū)域記為D1

(I)求I(D1)的值;

(II)

其中I—bi是DI的正向邊界.

15.

【答案】

【解析】(D

所以

A的特征值為入1二七2二a一1,入3=a+2.當(dāng)入1二人2二a―1時，|A-(a-

l)E|x=O,

([)求正交矩陣P,使PTAP為對角矩陣;

(11)求止定矩陣C,使C2=(a-3)E-A,其中E為三階單位矩陣.

16.在區(qū)間(0,2)上隨機取一點，將該區(qū)間分成兩段，其中較短一段的長度記為

X,較長一段的

【答案】

【解析】(I)由題意知，X+Y=2,0

長度記為Y,

(I)求X的概率密度;

(II)求Z的概率密度;

(HI)求E(^_I).

填空題(共6題，共6分)

17.