高考數(shù)學二輪復習向量極化恒等式培

培優(yōu)點6向量極化恒等式專題二

三角函數(shù)與解三角形平面向量基本定理及數(shù)量積是高考考查的重點，很多時候需要用基底代換，運算量大且復雜，用向量極化恒等式、等和(高)線求解，能簡化向量代換，減少運算量，使題目更加清晰簡單.考點一向量極化恒等式考點二等和(高)線解基底系數(shù)和(差)問題專題強化練內容索引向量極化恒等式

考點一例1考向1利用向量極化恒等式求值27∴AO＝6，OE＝3，設BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n.根據(jù)向量的極化恒等式，例2考向2利用向量極化恒等式求最值、范圍如圖所示，取OC的中點D，連接PD，因為O為AB中點，由極化恒等式得(2)平面向量a，b滿足|2a－b|≤3，則a·b的最小值為________.由向量極化恒等式知當且僅當|2a＋b|＝0，|2a－b|＝3，利用向量的極化恒等式可以快速對數(shù)量積進行轉化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點的向量問題.規(guī)律方法跟蹤演練1依題意得AD∥BC，∠BAD＝120°，取MN的中點E，連接DE(圖略)，當點M，N在線段BC上運動時，DE的最小值等于點D到直線BC的距離，[0,2]由正方體的棱長為2，得內切球的半徑為1，MN為內切球的直徑.設內切球的球心為O，等和(高)線解基底系數(shù)和(差)問題

考點二等和(高)線①當?shù)群途€恰為直線AB時，k＝1；②當?shù)群途€在O點和直線AB之間時，k∈(0,1)；③當直線AB在O點和等和線之間時，k∈(1，＋∞)；④當?shù)群途€過O點時，k＝0；⑤若兩等和線關于O點對稱，則定值k1，k2互為相反數(shù)；⑥定值k的變化與等和線到O點的距離成正比.例3√方法二

如圖，過N作BC的平行線，√如圖，作出定值k為1的等和線DE，AC是過圓上的點最遠的等和線，當M在N點所在的位置時，2x＋y最大，設2x＋y＝k，所以2x＋y取得最大值2.要注意等和(高)線定理的形式，解題時一般要先找到k＝1時的等和(高)線，以此來求其他的等和(高)線.易錯提醒跟蹤演練22方法一

以O為坐標原點，則C(cosα，sinα).圖(1)方法二令x＋y＝k，在所有與直線AB平行的直線中，切線離圓心最遠，如圖(2)，即此時k取得最大值，圖(1)圖(2)專題強化練

12345678如圖所示，取CD的中點E，連接PE，√所以當P與A(B)重合時，12345678√12345678＝100－64＝36.12345678√12345678如圖，O為AB的中點，|MO|max＝|OC|＋1＝3，|AB|min＝2a＝8，12345678√12345678如圖，當P位于點A時，(λ＋μ)min＝0，當P位于點D時，(λ＋μ)max＝3.12345678√12345678所以P0為EB的中點，取BC的中點D，連接DP0，DP，則DP0為△CEB的中位線，DP0∥CE.根據(jù)向量的極化恒等式，必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E為AB的中點，所以AC＝BC.12345678[－2,6]12345678如圖所示，取AB的中點D，連接CD，因為△ABC為等邊三角形，所以O為△ABC的重心，O在CD上，因為P在圓O上，所以當P在點C處時，|PD|max＝3，當P在CO的延長線與圓O的交點處時，12345678212345678當且僅當O，N，M三點共線時取等號.如圖，取BC的中點M，AD的中點N