2025屆某中學(xué)高三年級(jí)上冊(cè)第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

長(zhǎng)郡中學(xué)2025屆高三第一次調(diào)研考試

皿r、、九

數(shù)學(xué)

本試題卷共4頁.時(shí)量120分鐘，滿分150分.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合4={尤|一一%=。},8={尤|、一無一2＜。},則（）

A.{0,1}C.{0,l,2}D.{-1,0,1}

2.已知根，”是兩條不同的直線，a,/?是兩個(gè)不同的平面，則〃？〃a的一個(gè)充分條件是（）

A.m//n,n//aB.m///3,a//

C.m,LaD.mon-A,n//

（?\2025

3.G-V的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）

A.第673項(xiàng)B.第674項(xiàng)

C.第675項(xiàng)D.第676項(xiàng)

4.銅鼓是流行于中國(guó)古代南方一些少數(shù)民族地區(qū)的禮樂器物，已有數(shù)千年歷史，是作為祭祀器具和打擊樂

器使用的.如圖，用青銅打造的實(shí)心銅鼓可看作由兩個(gè)具有公共底面的相同圓臺(tái)構(gòu)成，上下底面的半徑均為

25cm,公共底面的半徑為15cm,銅鼓總高度為30cm.已知青銅的密度約為8g/cn?,現(xiàn)有青銅材料

1000kg,則最多可以打造這樣的實(shí)心銅鼓的個(gè)數(shù)為（）（注：兀e3.14）

A.1B.2C.3D.4

5.已知定義在（0,+動(dòng)上的函數(shù)滿足〃x）＜x（尸（x）-1）（/'（X）為的導(dǎo)函數(shù)），且

/（1）=0,則（）

A./（2）＜2B./（2）＞2

C./（3）＜3D./（3）＞3

6.已知過拋物線C:V=2px（。＞0）的焦點(diǎn)尸且傾斜角為二的直線交C于A8兩點(diǎn)，M是A3的中點(diǎn)，

點(diǎn)尸是C上一點(diǎn)，若點(diǎn)"的縱坐標(biāo)為1,直線/:3x+2y+3=0,則P到C的準(zhǔn)線的距離與P至卜的距

離之和的最小值為（）

A3V13口5V13「3V13「9^/13

26261326

7.已知函數(shù)〃x）=2sin（0x+9）10〉O,[d＜m],對(duì)于任意的xe&/[+]]=,

+x]=0都恒成立，且函數(shù)/（x）在]—木,01上單調(diào)遞增，則①的值為（）

A.3B.9C.3或9D.V3

8.如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-AB'C'。'中，43=30=2,44'=J5,。為正方形A5CD的中心點(diǎn)，將長(zhǎng)

方體ABCD-A'B'C'D'繞直線0。進(jìn)行旋轉(zhuǎn).若平面a滿足直線。。與a所成的角為53°，直線/，a,

43

則旋轉(zhuǎn)的過程中，直線A3與/夾角的正弦值的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：sin53°aw，cos53°aw）

473-303百-4?3百+3「46+3

D.C.U.

10--------10-----------10-----------10

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某機(jī)械制造裝備設(shè)計(jì)研究所為推進(jìn)對(duì)機(jī)床設(shè)備的優(yōu)化，成立A8兩個(gè)小組在原產(chǎn)品的基礎(chǔ)上進(jìn)行不同方

向的研發(fā)，A組偏向于智能自動(dòng)化方向，8組偏向于節(jié)能增效方向，一年后用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法各抽取

6臺(tái)進(jìn)行性能指標(biāo)測(cè)試（滿分：100分），測(cè)得A組性能得分為：91,81,82,96,89,73,8組性能得分為：

73,70,96,79,94,88,則（）

A.A組性能得分的平均數(shù)比B組性能得分的平均數(shù)高

B.A組性能得分的中位數(shù)比3組性能得分的中位數(shù)小

C.A組性能得分的極差比B組性能得分的極差大

D.B組性能得分的第75百分位數(shù)比A組性能得分的平均數(shù)大

10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的莖或根上，使接在一

起的兩個(gè)部分長(zhǎng)成一個(gè)完整的植株.已知某段圓柱形的樹枝通過利用刀具進(jìn)行斜辟，形成兩個(gè)橢圓形截面，

如圖所示，其中AC,8。分別為兩個(gè)截面橢圓的長(zhǎng)軸，且A,C,8,。都位于圓柱的同一個(gè)軸截面上，AD

是圓柱截面圓的一條直徑，設(shè)上、下兩個(gè)截面橢圓的離心率分別為6,e2,則能夠保證|8快夜的

6,02的值可以是（）

11.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,定義運(yùn)算“十”x十y=|x-M+x+y,則滿足條件。十匕=b十c的實(shí)數(shù)a,b,c的

值可能為（）

03

A.a=-log050.3,6=O.4,c=log050.4

03

B.a=0.4,Z?=log。50.4,c=-log050.3

八…0.1110

C.ci—0.09,b——,c—In—

e0-19

D.a=~r,/?=In—,c—0.09

e019

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,1）,則上￡=.

1+Z

13.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②③的數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式4=.

①%Z%是常數(shù)，加,“eN*且機(jī)②3=2%；③｛。〃｝的前，項(xiàng)和存在最小值.

m—n

14.清代數(shù)學(xué)家明安圖所著《割圓密率捷法》中比西方更早提到了“卡特蘭數(shù)”（以比利時(shí)數(shù)學(xué)家歐仁?查

理?卡特蘭的名字命名）.有如下問題：在"X”的格子中，從左下角出發(fā)走到右上角，每一步只能往上或往

右走一格，且走的過程中只能在左下角與右上角的連線的右下方（不能穿過，但可以到達(dá)該連線），則共

有多少種不同的走法？此問題的結(jié)果即卡特蘭數(shù)C￡,-C；：.如圖，現(xiàn)有3x4的格子，每一步只能往上或往

右走一格，則從左下角A走到右上角3共有種不同的走法；若要求從左下角A走到右上角3

的過程中只能在直線AC的右下方，但可以到達(dá)直線AC,則有種不同的走法.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

已知M為圓￡+,2=9上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，垂直》軸，垂足為N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DOMN的重心為G.

（1）求點(diǎn)G的軌跡方程；

（2）記第（1）問中的軌跡為曲線C,直線/與曲線C相交于A3兩點(diǎn)，點(diǎn)Q（0,l）,若點(diǎn)”（百,0）恰

好是□ABQ的垂心，求直線I的方程.

16.（本小題滿分15分）

如圖，四邊形ABCD為圓臺(tái)。的軸截面，AC=2BD,圓臺(tái)的母線與底面所成的角為45。，母線長(zhǎng)為

是且D的中點(diǎn).

（1）已知圓。2內(nèi)存在點(diǎn)G,使得。平面BEG,作出點(diǎn)G的軌跡（寫出解題過程）；

（2）點(diǎn)K是圓。2上的一點(diǎn)（不同于AC）,2CK=AC,求平面A3K與平面CDK所成角的正弦值.

17.（本小題滿分15分）

素質(zhì)教育是當(dāng)今教育改革的主旋律，音樂教育是素質(zhì)教育的重要組成部分，對(duì)于陶冶學(xué)生的情操、增強(qiáng)學(xué)

生的表現(xiàn)力和自信心、提高學(xué)生的綜合素質(zhì)等有重要意義.為推進(jìn)音樂素養(yǎng)教育，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，某

校開設(shè)了一年的音樂素養(yǎng)選修課，包括一個(gè)聲樂班和一個(gè)器樂班，已知聲樂班的學(xué)生有24名，器樂班的

學(xué)生有28名，課程結(jié)束后兩個(gè)班分別舉行音樂素養(yǎng)過關(guān)測(cè)試，且每人是否通過測(cè)試是相互獨(dú)立的.

（1）聲樂班的學(xué)生全部進(jìn)行測(cè)試.若聲樂班每名學(xué)生通過測(cè)試的概率都為P（O<P<1）,設(shè)聲樂班的學(xué)生

中恰有3名通過測(cè)試的概率為/（同，求/（#的極大值點(diǎn)p0.

（2）器樂班采用分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行測(cè)試.若器樂班的學(xué)生中有4人學(xué)習(xí)鋼琴，有8人學(xué)習(xí)小提琴，

有16人學(xué)習(xí)電子琴，按學(xué)習(xí)的樂器利用分層隨機(jī)抽樣的方法從器樂班的學(xué)生中抽取7人，再從抽取的7

人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行測(cè)試，設(shè)抽到學(xué)習(xí)電子琴的學(xué)生人數(shù)為？，求7的分布列及數(shù)學(xué)期望.

18.（本小題滿分17分）

已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，｛d｝為等差數(shù)列，且勾=偽=2,%=8%,%=4.

（1）求｛4｝,｛%｝的通項(xiàng)公式;

>的前〃項(xiàng)和為S”,集合n共有個(gè)元素,

（2）數(shù)列（—1）412）」也2A=$4neN*5

、n-a”+2_

求實(shí)數(shù)/的取值范圍；

r_1r=log2。"

（3）若數(shù)列｛c,｝中，/人求證：

4"一

G+q?+q?0?%+…+q?&?%.......Cn<2

19.（本小題滿分17分）

設(shè)有〃維向量,［瓦=砧［+a2b2H---Fanbn為向量值和B的內(nèi)積,

當(dāng)，石］=0,稱向量1和B正交.設(shè)Sn為全體由-1和1構(gòu)成的〃元數(shù)組對(duì)應(yīng)的向量的集合.

(1)若值=，寫出一個(gè)向量B，使得［%B］=o；

(2)令3={［京列元yeS.}.若加68,證明：〃為偶數(shù);

(3)若〃=4,/（4）是從S4中選出向量的個(gè)數(shù)的最大值，且選出的向量均滿足［扇B］=0,猜測(cè)/（4）的

值，并給出一個(gè)實(shí)例.

長(zhǎng)郡中學(xué)2025屆高三第一次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)參考答案

與C的方程V=2px（聯(lián)立得V—2py—p2=0,

設(shè)4（玉,%）,3（%2?2），則%+%=2p=2,p=l,故C的方程為J/=2x,p］；,0

由拋物線定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，

聯(lián)立拋物線C:：/=2x與直線/：3x+2y+3=0,化簡(jiǎn)得9必+10x+9=0，

由△=100—4x9x9=—224<0得C與/相離.

。,5,尺分別是過點(diǎn)尸向準(zhǔn)線、直線/:3%+2丁+3=0以及

過點(diǎn)F向直線/:3x+2y+3=0引垂線的垂足，連接FP,FS,

所以點(diǎn)P到C的準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)P到直線I的距離之和|PQ|+|PS卜|PF|+|PS|>\FS\>|F7?|,

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為線段FR與拋物線的交點(diǎn)，

所以尸到C的準(zhǔn)線的距離與P到I的距離之和的最小值為

（113x—F0+3/-

點(diǎn)尸5，。到直線/：3%+2丁+3=0的距離，即底_3_9J13.

'）?-26

故選：D.

7.A【解析】設(shè)函數(shù)“X）的最小正周期為T,

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）在-白,0上單調(diào)遞增,

兀得女

所以0—因此0<口<10.

102G5

兀

由小+段7-----X知/（X）的圖象關(guān)于直線X=2對(duì)稱,

12

兀兀

則CD,（D—k,Tl—,k,GZ①.

122

由/（》）+/[曰—x]=0知/（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則0-：+夕=左2兀，k2eZ②.

兀兀

②-①得。?一二（左2—勺）兀——,k^keZ,令k=k?一k[,則。=6左一3,左eZ,

622

結(jié)合0<0（10可得0=3或9.

當(dāng)刃=3時(shí)，代入（1）得0=—卜k[7i,k[GZ,又|。|<—，所以/=—，

41124

C兀、L,、r兀r兀兀

此時(shí)/(%)=2sin3xH—,因?yàn)?---<3xH—<一，

4）2044

故/（x）在-白,0上單調(diào)遞增，符合題意;

當(dāng)0=9時(shí)，代入（1）得°=---1■尢兀，左]CZ,又|同<—,所以°=—，

41124

此時(shí)/(%)=2si“9x—,因?yàn)橐籢^<9x—￡<一：，

故/（x）在-A，0上不是單調(diào)遞增的，所以。=9不符合題意，應(yīng)舍去.

綜上，口的值為3.

故選：A.

8.A【解析】在長(zhǎng)方體ABCD—AB'C'。'中，AB//CD',

則直線AB與I的夾角等于直線CD'與I的夾角.

長(zhǎng)方體ABC。一AB'C'。'中，45=30=2,44=J5,。為正方形ABC。的中心點(diǎn)，則

2

"722+22>

OD'=OC'=+(V2)2=2,又CD'=2,

2

\7

所以口0c'￡>'是等邊三角形，故直線。。與CD'的夾角為60°.

則CD'繞直線旋轉(zhuǎn)的軌跡為圓錐，如圖所示，ZC'D'O=600.

D'

因?yàn)橹本€。。'與a所成的角為53°,/所以直線。。'與/的夾角為37°.

在平面C'D'。中，作D'E,D'F,使得NODE=NOD'F=37°.

結(jié)合圖形可知，當(dāng)/與直線D'E平行時(shí)，C'。'與/的夾角最小，為/C7XE=60°—37°=23°，

易知NC'D'F=60°+37°=97°.

設(shè)直線CZ>'與/的夾角為。，則23°W0W90°,故當(dāng)°=23°時(shí)sin°最小，

而sin23°=sin（60°-37°）=sin60°cos37°-cos60°sin37°

=sin60°sin53°-cos60°cos53°?-->

10

故直線AB與l的夾角的正弦值的最小值為31二1.

10

故選：A

二,多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.

9.AD

10.AD

11.BD【解析】由〃十=十c,可得|〃一。|+a+Z?=弧一+Z?+c,Bp—/?|—|/?—c|=c—ci,若

a<b,c<b,可得,一耳―忸一。|=c—a,符合題意，

若a4b,c>b,可得,一〃—卜一d=26-a-c,不符合題意，

若a>b,c《b,可得向一也一耳=a-c,不符合題意，

若a>b,c>b,可得,一耳―忸一@=c+a-26,不符合題意，

綜上所述。一。402一。之0,可得b?a,bNc,

故只需判斷四個(gè)選項(xiàng)中的〃是否為最大值即可.

對(duì)于A,B,而0<。.產(chǎn)<0.4°=1，

03

log050.4>log050.5=1,所以-log。$0.3<O.4<log050.4.

（點(diǎn)撥：函數(shù)_y=logo^x為減函數(shù)，y=04'.為減函數(shù)），

對(duì)于A,a<b<c；對(duì)于B,c<a<b,故A錯(cuò)誤，B正確.

對(duì)于c,D等3="5

e（L1

（將0.9轉(zhuǎn)化為1—0.1,方便構(gòu)造函數(shù)）構(gòu)造函數(shù)4%）=（1—

則/'(x)=—xe"因?yàn)闊oe[0,l),所以r(x)V0"(x)單調(diào)遞減,

因?yàn)?0）=1,所以

即0.90°1<1，所以0.09〈邛.

e,

（若找選項(xiàng)中的最大值，下面只需判斷2」與也”的大小即可）

e019

0.1,100.1,

-7rT-ln——---InI=撲1心事+叩一°.1）’

e019e01

1-x__1_(l-x)2-ex

構(gòu)造函數(shù)%(x)=2+ln(l—x),xe[0,1),貝ij=

ee"1-xe'(l-x)，

因?yàn)楣ぁ闧0,1),所以e光(1—%)>0,令=(1—%)2—e",貝ij〃(％)二—2(1—%)—e”,

當(dāng)xe[0,l）時(shí)，單調(diào)遞減，因?yàn)?lt;?⑼=0,

所以°（x）V0,即單調(diào)遞減，又"（0）=0,所以力（0.1）<0,

即-5T+1口（1—0.1）<0,所以—^y<ln石.

eey

綜上，0.09<23<In3.對(duì)于C,a<b<c；對(duì)于D,c<a<b,故C錯(cuò)誤，D正確.

e019

（提醒：本題要比較0。9與InW的大小關(guān)系的話可以利用作差法判斷，

9

即0.09-lnW=0.1x0.9-lnI=(1-0.9)x0.9+ln0.9,

9

構(gòu)造函數(shù)g(x)=(l-尤)x+lnx,無e(0,l],

T12f+x+l一(2x+l)(-x+l)

則g'(x)-1―N4?——

XXX

因?yàn)閤e（O,l],所以g〈x"0,g（x）單調(diào)遞增,因?yàn)間⑴=0,所以g（0.9）<0,

即0.09—In3<0,所以0.09<lnW）

99

故選：BD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

13i

12.-----

55

【解析】由于復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,1）,所以Z=l+i,

法2-z1—i（1-i）（2-i）1—3i13i

改1+z2+i（2+i）（2-i）555

1r\?

故答案為：--y

13.n-4（答案不唯一）

14.35；14

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【解析】（1）設(shè)G（x,y）,M（Xo，%），則"（%,0）,因G為口。的重心,

2%

x=

a3_x<-?c丫2

故有：\，解得％:7,%=3y,代入x；+y：=9,化簡(jiǎn)得一+y2=1,

A24

y=

3

又1為力0,故孫wo,所以G的軌跡方程為、+丁=1（孫片0）.

（2）因“為DABQ的垂心，故有ABLZ/CAHLBQ,

又如2=”^=—，，所以分=JL故設(shè)直線/的方程為y=gx+根（根wl）,

2

與?+>2=1聯(lián)立消去丁得：13x2+8V3mx+4m2-4=0，

由△=208—16根2>0得根2<13,

設(shè)4（%,%）,5（元2，%），則%+%=~~~~~^x\x2=4北§4

由AS%，得小??一，

+m-l=0,

所以4再入2+6（加一1）（%1+犬2）+m2—冽=0,

所以4（4機(jī)2一4）一24根（加-1）+13（機(jī)2-機(jī)）=0,化簡(jiǎn)得5根2+11加—16=0,

[A1A

解得加=1（舍去）或加=-（（滿足A〉。），故直線/的方程為y=Gx-

16.【解析】（1）?.?E是比）的中點(diǎn)，.?.DELEE.

要滿足DE1平面BEG,需滿足DE，BG,

又VDEu平面BDE,平面BEG1平面BDE

如圖，過3作下底面的垂線交下底面于點(diǎn)G,

過G作BE的平行線，交圓儀于G，G2,則線段G1G2即點(diǎn)G的軌跡.

（2）易知可以&為坐標(biāo)原點(diǎn)，QCQOi所在直線分別為V，

z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O2-xyz,

???母線長(zhǎng)為后，母線與底面所成角為45°,AC=28。，

O2A=2,OXB=1,OXO2=1,

取K的位置如圖所示，連接&K,

2CK=AC,NCO2K=60°,即NxO2K=30°,

則K（省』,0）,4（0,-2,0）,3（0,-1』）,。（0,2,0）,。（0』,1）,

則數(shù)=（百,3,0）,尿=（百,2,-1）,次=（百,-1,0）,派=（百,0,-

設(shè)平面A3K的法向量為力=（石,％,4）,

n-AK=0Vs%1+3%=0

則《即<

n-BK=0\/3%1+2yl-zl=Q

令X[=#>，則Zi=1,%五=（百,一1,1）.

設(shè)平面C￡>K的法向量為前=（X2，%，Z2），

m-CK=0

則《

m-DK=0

令％=G，則z2=3,y2=3,m=（百,3,3）.

設(shè)平面A3K與平面CDK所成的角為。，則

\n-m\_|V3xV3+（-l）x3+lx3|_

|cos^|=

|n|-|m|V5XA/2135

4>/70

sind=Vl-cos2^=

35

17.【解析】（1）24名學(xué)生中恰有3名通過測(cè)試的概率〃p）=C>p3（i—°）2i,

則/'（〃）=C；4[3p2（l—p）21—21p3（1—020[=C>3/.（—p）2O（_8p）,0<p<],

令/'（同=0,得“=：，

o

所以當(dāng)O<P<：時(shí)，r（p）〉o,/（同單調(diào)遞增；

8

當(dāng):<p<l時(shí)，/'（p）<0,/（p）單調(diào)遞減，

故的極大值點(diǎn)為=;

8

（2）利用分層隨機(jī)抽樣的方法從28名學(xué)生中抽取7名，

則7名學(xué)生中學(xué)習(xí)鋼琴的有1名，學(xué)習(xí)小提琴的有2名，學(xué)習(xí)電子琴的有4名，所以，的所有可能取值為

0,1,2,3,

「3119

尸(，=o)=*=(，P(7=1)=妥=1|

心2）=詈T,PS）噌I，

則隨機(jī)變量7的分布列為

70123

112184

p

35353535

E()=0xLlxU+2x"+3xJU

、,353535357

18.【解析】⑴設(shè)數(shù)列｛%,｝公比的為4,數(shù)列低｝公差的為d

x

則由4=8a5，d=8q=2,.l.an=a^c['=2",

。4=b?=16,即4=2+7d=16.1.d=2,bn=2+("—1)2=2”.

⑵設(shè)4=(/"哈哥"2

則d4n+d4n?+d4n_2+d4n_3=%+/T—4_2—/-3=128〃—48

二$4"=(4+12+4+[4)+…+(d"-3+dg+dAn_x+d4n)

_"(128〃-48+80)

-2

=〃(64〃+16)

,SQL(64”+16)?2(〃+2)(32〃+8加+2)

"nq+22”+22"

令〃“)=(32"+?〃+2),

則/(“+l)―/(7)=(32"+

2”+I2"+i

_-32H2-8?+88_4(-4?2-?+n),

可得"1）<