2024年高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題專項(xiàng)復(fù)習(xí)：平面向量（新高考專用）含答案

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題（新高考專用）專題07平面向量

（3大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）（新高考

專用）含答案專題07平面向量

-易錯(cuò)點(diǎn)：注意零向量書寫及三角形

題型一：平面向量線性運(yùn)算

飛、與平行四邊形適用前提___________

題型二：平面向量的基本定理

易錯(cuò)點(diǎn)：忽略基底選取原則

及坐標(biāo)表示a

題型三：平面向量的數(shù)量積及

式易錯(cuò)點(diǎn)：忽視數(shù)量積不滿足結(jié)合律

易錯(cuò)點(diǎn)一：注意零向量書寫及三角形與平行四邊形適用前提（平面向量線

性運(yùn)算）

i.向量的有關(guān)概念

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）.

（2）向量的模：向量通的大小，也就是向量血的長度，記作|麗|.

（3）特殊向量：

①零向量：長度為。的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：0與任一向量平行.

④相等向量：長度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算和向量共線定理

（1）向量的線性運(yùn)算

5S~H法則（或幾何意義）運(yùn)算律

①交換律

求兩個(gè)向量a+b=b+a

加法

和的運(yùn)算a②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c=a+(b+c)

求日與5的

相反向量與的

減法a—b=a+(~b)

和的運(yùn)算叫做aa

與萬的差三角形法則

(1)\Aa\=\A\\a\

2(//a)=

求實(shí)數(shù)X與

(2)當(dāng)2>0時(shí)，彳心與商的方向相同；

數(shù)乘向量。的積的運(yùn)(A+ju)a=Xa+jua

當(dāng);1<0時(shí)，位?與N的方向相同；

算A(a+b)=Aa+Ab

當(dāng)2=0時(shí)，Aa=O

共線向量定理

向量。伍wo)與B共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)式，使得5=而.

共線向量定理的主要應(yīng)用：

(1)證明向量共線：對(duì)于非零向量1，b,若存在實(shí)數(shù)幾，使"痛,則々與B共線.

(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)人使通=幾近，則A,B,C三點(diǎn)共線.

(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.

平面向量線性運(yùn)算問題的求解策略：

(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，

三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來.

(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式

等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用.

(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：

①觀察各向量的位置；

②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；

③運(yùn)用法則找關(guān)系；

④化簡結(jié)果.

解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注以下七點(diǎn)：

(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵.

(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).

(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向

量.

(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談.

aa.

(6)非零向量方與f的關(guān)系：二；是商方向上的單位向量.

\a\\a\

(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大小

易錯(cuò)提醒：(1)向量表達(dá)式中的零向量寫成0,而不能寫成。.

(2)兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或重

合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系.

(3)要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須重

合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首尾

相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件.

(4)向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：OA-OB=BA，AM-AN=NM，

OA=OB+CA^OA-OB=CA^BA-CA=BA+AC=BC.

三

例.如圖，在平行四邊形ABC。中，下列計(jì)算正確的是()

A.AB+AD=ACB.AB+CD+DO=OA

ULUUUIUUUIUUUIU_____k____._____._

c.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA=O

變式1：給出下列命題，其中正確的命題為（）

A.若麗=①，則必有A與C重合，8與。重合，A3與CD為同一線段

__,i__2____?

B.^AD=-AC+^AB,則可知覺=3而

ULK1ULT1ULT1uun

C.若Q為AABC的重心，則尸。0PA+grB+gPC

D.非零向量￡,b,2滿足￡與石，石與人"與日都是共面向量，則2，b,"必共面

21

變式2：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB=a,AD=b,BM=-BC,AN=-AB.

34

⑴試用向量Z石來表示麗，說;

(2)AM交DN于0點(diǎn)、,求AO:的值.

變式3：如圖所小，在矩形ABCD中，，?=8,設(shè)瓦濘，AB=a>BD=c>求

1.已知￡、B為不共線的向量，AB=a+5b，~BC=-2a+Sb^CD=3^a-bj,貝|()

A.AB,C二點(diǎn)共線B.AC,。三點(diǎn)共線

C.AB,。三點(diǎn)共線D.B,C,。三點(diǎn)共線

2.如圖，在平行四邊形A8CD中，E是8c的中點(diǎn)，尸是線段AE上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則而等于(

D___________________c

12

B

3-3-

513

CD

6-3-4-

3.在四邊形ABCZ)中，若衣=荏+而，貝I]()

A.四邊形ABC。是平行四邊形B.四邊形ABC。是矩形

C.四邊形ABCD是菱形D.四邊形ABCD是正方形

4.已知A23E分別為AABC的邊BC,AC上的中線，設(shè)通=￡,屁乩，則及=（）

「2-4-62―4-

C.~a~~bD.~~a+~b

J333

5.如果[，晟是平面a內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）

①。=兒0+〃e2（4,〃eR）可以表示平面a內(nèi)的所有向量;

②對(duì)于平面a內(nèi)任一向量￡,使。=4弓+〃02（4〃€口）的實(shí)數(shù)對(duì)（/〃）有無窮多個(gè)；

③若向量4冢+從晟與4冢+〃2公共線，則3"=乙

④若實(shí)數(shù)4、〃使得4q+〃e?=0,貝U2=〃=0.

A.①②B.②③C.③④D.②

6.給出下列各式：?AB+CA+BC，?AB-CD+BD-AC>?AD-OD+OA，?NQ-MP+QP+MN,

對(duì)這些式子進(jìn)行化簡，則其化簡結(jié)果為6的式子的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

7.已知平面向量Z,b,c）下列結(jié)論中正確的是（）

A.若Z〃B，貝|JZ=石B.若帶W，貝1喘=石

C.若G〃石，b//c，則￡〃"D.若p+q第+忖,則2〃B

8.設(shè)1與晟是兩個(gè)不共線的向量，AB=3e[+2^,CB=ke[+e^,CD=^-2ke^,若A,B,。三點(diǎn)共線，則

k的值為（）

9.在中，已知|礪|=2,|何=4,P是AB的垂直平分線/上的任一點(diǎn)，貝U而.通=()

A.6B.-6C.12D.-12

10.已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為尸,準(zhǔn)線為/,點(diǎn)Ae/,線段AF交拋物線C于點(diǎn)8,過點(diǎn)B作/的垂

線，垂足為“，若麗=3麗，貝！1()

A.B.網(wǎng)=4

C.畫=3畫D.網(wǎng)=4畫

11.下列各式中結(jié)果為零向量的為()

A.JB+MB+BO+OMB.AB+BC+CA

c.AB-AC+B15-CDD.OA+OC+BO+CO

易錯(cuò)點(diǎn)二：忽略基Ji■J(平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示)

1.平面向量基本定理和性質(zhì)

(1)共線向量基本定理

如果苕=如(六我)，則M/后；反之，如果商/區(qū)且以0,則一定存在唯一的實(shí)數(shù)X,使商=".(口

訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘).

(2)平面向量基本定理

如果1和或是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量1,都存在唯一的一對(duì)

實(shí)數(shù)4,4,使得萬晟，我們把不共線向量冢，區(qū)叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為

｛弓七｝,41+否5叫做向量1關(guān)于基底｛弓Q｝的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量冢與最不共線，平面內(nèi)的任一向量m都可以分解成形如

冢+4￡的形式，并且這樣的分解是唯一的.［叫做I，晟的一個(gè)線性組合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).

推論1：若方=41+41=4家+41，則4=4,4=彳4.

推論2：若及=44+4最=0,則4=4=0.

(3)線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式

如圖所示，在△A5C中，若點(diǎn)。是邊BC上的點(diǎn)，且麗=彳比則向量蒞=A8+=J在

1+A

向量線性表示(運(yùn)算)有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌

握.

(4)三點(diǎn)共線定理

平面內(nèi)三點(diǎn)A,B,C央線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)尢〃，使反=2礪+〃礪，其中幾+〃=1,。為

平面內(nèi)一點(diǎn).此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.

A、B、C三點(diǎn)共線

o存在唯一的實(shí)數(shù)X,使得恁=4通；

。存在唯一的實(shí)數(shù)；I,使得灰+九國；

o存在唯一的實(shí)數(shù)2,OC=(1-A)OA+WB；

o存在彳+〃=1,使得反二期+〃礪.

(5)中線向量定理

如圖所示，在中，若點(diǎn)。走邊的中點(diǎn)，則中線向量蒞=。(司豆+Z?,反之亦正確.

2.平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算

(1)平面向量的坐標(biāo)表示.

在平面直角坐標(biāo)中，分別取與x軸，y軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面向

量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量,，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)工，丁使1=行+獷，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)(元,y)

叫做向量々的坐標(biāo)，記作口=(無,y).

(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有

向量（X,y）、一芝、向量區(qū)、一對(duì)應(yīng)、點(diǎn)A（尤,y）.

（3）設(shè)商=（無Qi）,b=（x2,y2）,則a+B=（%+%,%+%），a-b=-x1,yl-y2）,即兩個(gè)向量的和

與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

若乙=（無,y）,4為實(shí)數(shù)，貝lJX4=（/U,2y）,即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)

坐標(biāo).

（4）設(shè)Aa,%）,B（x2,y2）,則荏=麗一函=（七-%，%-%），即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向

線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).

3.平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

①已知點(diǎn)A（X],%）,B（X2,y2）,則通=（3-占，%-%），I通1="（交一if+（%一'if

②已知。=（占,%）,By%,%），則商±5=（&±馬，M±為），^a=（Axl,Ayl）,

a-b=xlx2+yly2,|.|=&+y；.

力〃5o玉%=0,M_L5o占％+%%=0

向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

1.利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地，在求與一個(gè)已知向量益共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量

為灰？（2eR）,然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于4的方程，求出力的值后代入即可得到所求的向量.

2.利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若方=（冷必），

B=（%,%），則萬〃石的充要條件是玉為=尤2%”解題比較方便.

3.三點(diǎn)共線問題.A,B,C三點(diǎn)共線等價(jià)于旗與衣共線.

4.利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒

等變換求解.

用平面向量基本定理解決問題的一般思路

（1）先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進(jìn)行

向量的運(yùn)算.

（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便，另外，要熟練運(yùn)用線段中點(diǎn)的

向量表達(dá)式.

向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.

兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.

易錯(cuò)提醒：（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個(gè)不共線的向量.

（2）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示

出來.

（3）強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相

似等。

苣

例.已知向量￡=（2,1）,5=（-3,1）,則（）

A.若"=芋-芋'則近2B.向量￡在向量B上的投影向量為一.

變式L下列說法中錯(cuò)誤的為（）

A.已知2=（1,2）,力=（1,1）且￡與￡+篇的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是1-1,+8

B.向量1=（2,-3）,￡=不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

C.非零向量九b，滿足同＜料且2與石同向，貝

D.非零向量￡和B，滿足/用=*@,則Z與Z+B的夾角為30。

變式2.（多選）下列說法中正確的是（）

A.若°=（占,%）工=（%,%），且，與I共線,則？=j

人2）2

B.若a=（尤=（尤2，%），且玉%工兀2%,則:與辦不共線

C.若A,B,。三點(diǎn)共線.則向量^,病,&都是共線向量

D.若向量〃=（1,2）,》=（一2,〃），且則〃=一4

變式3.已知冢，晟是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（）

A.若實(shí)數(shù)機(jī)，n?mex+ne2=0,貝|根=〃=0

B.平面內(nèi)任意一個(gè)向量M都可以表示成商=m,+〃晟，其中根，〃為實(shí)數(shù)

C.對(duì)于機(jī)，〃記i+不一定在該平面內(nèi)

D.對(duì)平面內(nèi)的某一個(gè)向量5,存在兩對(duì)以上實(shí)數(shù)相，n,a=mex+ne2

1.在梯形A5CD中，AB!/CD,AB=2CD,E,尸分別是AB,CD的中點(diǎn)，AC與5。交于M,設(shè)荏=%

AD=b，則下列結(jié)論正確的是（）

—?1一—?1_

A.AC=—a+bB.BC=-@+b

22

——-12-—?1一

C.BM=——a+—bD.EF=——a+b

334

2.已知點(diǎn)A。,2),8(3,x),向量a=(2-x,-l),羽〃G,則()

A.x=2+0時(shí)前與日方向相同

B.x=2-應(yīng)時(shí)，通與Z方向相同

C.x=2-0時(shí)前與西方向相反

D.x=2+應(yīng)時(shí)，9與力方向相反

3.已知點(diǎn)4(1,2),5(3,幻，向量@=(2-羽一1),濕〃區(qū)則()

A.x=3時(shí)通與￡方向相同

B.x=2-形,時(shí)旗與￡方向相同

C.x=3時(shí)須與Z方向相反

D.x=2+應(yīng)，時(shí)前與己方向相反

4.如果耳,馬是平面a內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中正確的是()

A.彳弓+〃馬(X,〃eR)可以表示平面a內(nèi)的所有向量

B.對(duì)于平面。內(nèi)任一向量心使6=2號(hào)+〃馬的實(shí)數(shù)對(duì)(4〃)有無窮個(gè)

C.若向量4弓+〃?與％耳+〃2卷共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)九，使得4弓+從馬=九(4區(qū)+/%)

D.若存在實(shí)數(shù)九〃使得幾耳+〃馬=0,則幾=〃=0

5.已知平面內(nèi)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)4(-2,1),5(-1,3),C(3,4),則第四個(gè)頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

A.(-2,2)B.(4,6)

C.(—6,0)D.(2,-2)

6.已知橢圓E：［+y2=i的左、右焦點(diǎn)分別為％,F2,過下頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)工的直線與E交于另一點(diǎn)8,

8月與y軸交于點(diǎn)尸，則（）

B?礫1=￡

A.AF11AF2

c.AAB月的內(nèi)切圓半徑為巫D.4庭-3而=6

2

7.設(shè)0<。<兀，非零向量a=（sin29,cos，），ZF=(COS^,1),則().

A.若tanO=；,貝!!￡〃石B.若。二3兀?，則石

4

C.存在。，使力=bD.若a〃B，則tan6=5

8.已知向量2=（2,-1）3=（相,2）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若■〃分，則m=-4B.若々J_B，則“2=1

C.若12M—方|=|萬+5|,則〃z=lD.若.+貝?。荨▃=T

9.如圖，在AABC中，3。=12,￡>,片是BC的三等分點(diǎn)，則（）

A.AE=-AB+-AC

33

2—?

B.若荏.彩=0，則屈在而上的投影向量為弓A8

C.若荏?/=9，則通―/=40

D.^AD-AE=4,AB2+AC2=88

10.已知。=（1,2）石=（4j）,則下列敘述正確的是（）

A.若則%=8B.若，貝卜=2

C.卜-2的最小值為5D.若向量方與向量5的夾角為鈍角，貝h<-2

11.已知空間向量2=（1,-1,2）,則下列說法正確的是（）

A.|o|=V6

B.向量Z與向量(2,2,-4)共線

C.向量Z關(guān)于x軸對(duì)稱的向量為(1,1,-2)

D.向量￡關(guān)于yOz平面對(duì)稱的向量為(一1,1,—2)

易錯(cuò)點(diǎn)三：忽視數(shù)量積不滿足結(jié)合律(平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用)

1.平面向量的數(shù)量積。

(1)平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量與分，我們把數(shù)量個(gè)ISIcos昂叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，

記作即。力=|a||)|cose,規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

(2)平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：lalcosg叫做向量。在》方向上的投影數(shù)量，當(dāng)。為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)。為鈍角時(shí),

它是負(fù)數(shù)；當(dāng)。為直角時(shí)，它是0.

②的幾何意義：數(shù)量積a,等于。的長度與b在。方向上射影傳Icos6的乘積.

2.數(shù)量積的運(yùn)算律

已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)力，貝上

①a?b=b-a；

②(2a)-b=A(ab)=a-(2Z>)；

@(a+b)c=ac+bc.

3.數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)。、b都是非零向量，e是與方向相同的單位向量，。是。與e的夾角，則

@e-a=a-e^a\cos0.②a_LZ>oe》=0.

③當(dāng)。與方同向時(shí)，a-b^a\\b\■當(dāng)。與，反向時(shí)，ab=-\a^\b\.

特別地，a?a=|a『或|a|=y/aa.

d?h

@COS0=——(|aIIZ?M0).⑤|a?川曰aI網(wǎng).

4.數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

已知非零向量a=(占，％),b={x2,y2),6為向量。、。的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模\a\=y/a-aIa|=4+y2

數(shù)量積a'b=\a\\b\cos0ab=%%2+%%

八abcos”,=+/

夾角cos6=--------

lall6l

aD的充要

ab=OV2+yty2=0

條件

的充要

a=AbCbw0)%巧+Vl%=0

條件

?一與

\a-b\<\a\\b\（當(dāng)且1%%+%%IW

\a\\b\

僅當(dāng)a〃〃時(shí)等號(hào)成立）

的關(guān)系

1.平面向量數(shù)量積的類型及求法:

（1）平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式。小=IaII。Icos。；二是坐標(biāo)公式。.》=占9+%%.

（2）求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡.

2.平面向量數(shù)量積主要有兩個(gè)應(yīng)用：

（1）求夾角的大?。喝舴譃榉橇阆蛄?，則由平面向量的數(shù)量積公式得cos，=7"匕（夾角公式），

所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題.

（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的

兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角.

3.向量與平面幾何綜合問題的解法與步驟：

（1）向量與平面幾何綜合問題的解法

①坐標(biāo)法

把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算

和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.

②基向量法

適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解.

（2）用向量解決平面幾何問題的步驟

①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;

②通過向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；

③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

4.利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路：

（1）求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式

及三角函數(shù)中常用公式求解.

（2）求角時(shí)通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，先求值再求角.

（3）解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即通過向量的相關(guān)運(yùn)算把

問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.

（4）解三角形.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和

定理或正、余弦定理解決問題.

5.用向量法解決實(shí)際問題的步驟如下：

第一步：抽象出實(shí)際問題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；

第二步：建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；

第三步：利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型；

第四步：用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)求解問題.

6.常見的向量表示形式：

（1）重心.若點(diǎn)G是AABC的重心，貝1*5+麗+配=0或而=g（再+而+斤）（其中尸為平面內(nèi)任

意一點(diǎn)）.反之，^GA+GB+GC=0＞則點(diǎn)G是△ABC的重心.

（2）垂心.若H是△ABC的垂心，則蘇.麗=麗.炭=炭.恒.反之，若亙?.麗=麗.衣=辰.病

,則點(diǎn)》是ZWC的垂心.

（3）內(nèi)心.若點(diǎn)/是“BC的內(nèi)心，則|反T瓦?厲+|麗卜而=0.反之，若|反hS+|西|-

1B+\AB\IC=O,則點(diǎn)/是△ABC的內(nèi)心.

（4）外心.若點(diǎn)。是△ABC的外心，貝!J（ZH+屈）?麗=（礪+云）?屈=（前+兩—Z=0或

\OA\=\OB\=\OC\.反之，若|函|=|礪|=|%|,則點(diǎn)。是△ABC的外心.

題型：平面向量的模及其應(yīng)用的類型與解題策略：

（1）求向量的模.解決此類問題應(yīng)注意模的計(jì)算公式|a|=病=卬，或坐標(biāo)公式|a|=舊+9的應(yīng)用,

另外也可以運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算公式列方程求解.

（2）求模的最值或取值范圍.解決此類問題通常有以下兩種方法：

①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；

②代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍.

（3）由向量的模求夾角.對(duì)于此類問題的求解，其實(shí)質(zhì)是求向量模方法的逆運(yùn)用.

易錯(cuò)提醒：（1）平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且|無5區(qū)5I|5|.

（2）當(dāng)方一。時(shí)，由萬力=0不能推出B一定是零向量，這是因?yàn)槿我慌ca垂直的非零向量方都有無方=0.

當(dāng)時(shí)，且無5=無^時(shí)，也不能推出一定有5=^,當(dāng)5是與日垂直的非零向量，^是另一與m垂直的

非零向量時(shí)，有無石=無^=o,但忑.

（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即（小5兄萬，這是因?yàn)椋o5元是一個(gè)與淳共線的向量，而（石亮招是一個(gè)

與1共線的向量，而萬與不一定共線，所以（商出兄不一定等于（加1法，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選

項(xiàng)，一般都是錯(cuò)誤選項(xiàng).

（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）.當(dāng)且僅當(dāng)無5>0且1力彳方（2>0）（或無5<0,且萬大彳方（彳<0））.

三

例.下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.單位向量都相等

B.向量旗與而是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、。必在同一條直線上

C.兩個(gè)非零向量第5,若|M+B|=|萬則商與5共線且反向

D.已知向量M=（4,3-根）,方=（1,叫，若商與■的夾角為銳角,則一1<"2<4

變式1.給出下列命題，其中正確的有（）

A.已知向量￡_1_九則％@+"）+1（方叫=51

B.若向量￡石共線,則向量所在直線平行或重合

C.已知向量2,九則向量與任何向量都不構(gòu)成空間的一個(gè)基底

D.A,B,M,N為空間四點(diǎn)，若BA,BM,BN構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則AB,M,N共面

變式2.設(shè)［4均為單位向量，對(duì)任意的實(shí)數(shù)。有國+鬲+運(yùn)I恒成立，則（）

A.［與1的夾角為60。B.|I+ge；|=￥

C.|.一的1的最小值為gD.|4+，（6-62）1的最小值為3

變式3.已知拋物線f=4y的焦點(diǎn)為耳，"（4,%）在拋物線上，延長M/交拋物線于點(diǎn)N,拋物線準(zhǔn)線與＞

軸交于點(diǎn)。，則下列敘述正確的是（）

A.\MF\=6B.點(diǎn)N的坐標(biāo)為（—1,；）

___..9一

C.QMQN=-D.在1軸上存在點(diǎn)R,使得NM顧為鈍角

1.如圖，在三棱柱A5C-A與G中，M,N分別是A?,3G上的點(diǎn)，且5M=2RM,C、N=2B、N.設(shè)通“

AC=b,A^=cf若N5AC=90ZBAA.=ZCAA,=60°,A3=AC=A4=1,貝(J()

—■1-l2-B.\MN\=^-

A.MN=—a+—br+—c

333

)

C.AB^±BQD.cos(A4,8G=(

2.設(shè)肩瓦2是任意的非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.0a=0B.c=a(be)

C.Q?石=0=>QD.Q+B>Q-B)=|￡|2-而

3.（多選）下列各命題中，正確的命題為（）

A.y/a-a=|a\B.m(A,a)?b=(mA)a-b(m,2GR)

C.a-(b+c)=(b+c)-aD.a2b=b2a

4.給出下列命題，其中正確的命題是（）

A.若直線/的方向向量為"=。,0,3),平面。的法向量為則直線///0

—.1—,1—.1—.

B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)0,^OP=-OA+-OB+-OC,則P、A、B、C四點(diǎn)共面

442

C.兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線

D.已知向量2=(9,4,T),萬=(1,2,2),則Z在5上的投影向量為(1,2,2)

5.設(shè)向量值=儂2),5=(1,-1),則下列敘述錯(cuò)誤的是()

A.若左＜-2時(shí)，則方與5的夾角為鈍角B.同的最小值為2

C.與5共線的單位向量只有一個(gè)為D.若|々|=2出|,則左=20或-20

6.設(shè)/為拋物線C：丁=3》的焦點(diǎn)，過尸且傾斜角為30。的直線交C于A,8兩點(diǎn)，貝|()

______97

A.|AB|=12B.OAOB=~—

C.yAyB=-3D.xAxB=3

7.已知向量￡=-1),2=(2,f),其中“4〃均為正數(shù)，且下列說法正確的是(

A.￡與B的夾角為鈍角

B.向量Z在石方向上的投影為。

C.2m+n=4

D.機(jī)〃的最大值為2

8.已知AABC所在平面內(nèi)有三點(diǎn)。，N,P,則下列說法正確的是()

A.若網(wǎng)=|函=函，則點(diǎn)。是AABC的外心

B.^NA+NB+NC=0,則點(diǎn)N是AABC的重心

C.若西.而=而.無=亞?麗，則點(diǎn)尸是AASC的垂心

(__、___,__.

ABAC--ABAC1一

D.若曰+尸引BC=0,且而?后=5,貝為直角三角形

〔網(wǎng)“UlABllACl

9.如圖，在平行六面體ABCD-ABIGA中，AC與8。交于。點(diǎn)，M^BAD=ZBA^=ZDAAt=60°,

AB=AD=4?=5.則下列結(jié)論正確的有()

B.BCXA^C=9

D.OB,=-AB--AD-AA

122

10.（多選）下列說法中正確的是（）

A,若非零向量2④滿足R=W=則2與Z+后的夾角為30。

B.若75>0,則的夾角為銳角

C.若荏.荏=福./+麗?瓦函，則AABC一定是直角三角形

D.AABC的外接圓的圓心為。，半徑為1,若荏+/=2日萬，且|函|=|巨|,則向量放在向量前方

向上的投影數(shù)量為3:

2

11.下列說法中正確的是（）

A.若。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且次.歷=函.反=阮.礪，則。為AABC的垂心

B.若。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，^.BC（OB+OC）=AC（OA+OC）=AB（.OA+OB）=0,則。為AABC的外心

C.在四邊形ABGD中，^AB+CD=0,ACBD=0,則四邊形為菱形

D.若。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，l.OA+OB+OC=0，則。為AABC的內(nèi)心

專題07平面向量

c易錯(cuò)點(diǎn)：注意零向量書寫及三角形

題型一：平面向量線性運(yùn)算\與平行四邊形適用前提___________

題型二：平面向量的基本定理

易錯(cuò)點(diǎn)：忽略基底選取原則

及坐標(biāo)表示

題型三：平面向量的數(shù)量積及

0易錯(cuò)點(diǎn)：忽視數(shù)量積不滿足結(jié)合律

易錯(cuò)點(diǎn)一：注意零向量書寫及三角形與平行四邊形適用前提（平面向量線

性運(yùn)算）

1.向量的有關(guān)概念

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）.

（2）向量的模：向量血的大小，也就是向量血的長度，記作|麗

（3）特殊向量:

①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：0與任一向量平行.

④相等向量：長度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算和向量共線定理

（1）向量的線性運(yùn)算

運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

①交換律

求兩個(gè)向量a+b=b+a

加法

和的運(yùn)算a②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c-a+(b+c)

求才與B的

相反向量-6的

減法u—b—^+(—Z?)

和的運(yùn)算叫做方a

與5的差三角形法則

(1)12a1=1IIa1

求實(shí)數(shù)彳與%(曲)=

(2)當(dāng)；1>0時(shí)，2々與2的方向相同；

數(shù)乘向量日的積的運(yùn)(2+[d)a=Aa+jua

當(dāng);1<0時(shí)，42與方的方向相同；

算4(五+B)=Aa+Ab

當(dāng)；1=0時(shí)，Aa=O

共線向量定理

向量苕伍WO)與B共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)幾，使得5=41.

共線向量定理的主要應(yīng)用：

(1)證明向量共線：對(duì)于非零向量訝，b,若存在實(shí)數(shù)4,使苕=幾5,則值與B共線.

(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)人使旃=2正，則A,B,C三點(diǎn)共線.

(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.

平面向量線性運(yùn)算問題的求解策略：

(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，

三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來.

(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式

等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用.

(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：

①觀察各向量的位置；

②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；

③運(yùn)用法則找關(guān)系；

④化簡結(jié)果.

解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注以下七點(diǎn)：

(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵.

(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).

(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向

量.

(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談.

aa,

(6)非零向量方與二；的關(guān)系：二;是商方向上的單位向量.

l?I\a\

(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大小

易錯(cuò)提醒：(1)向量表達(dá)式中的零向量寫成0,而不能寫成0.

(2)兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或重

合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系.

(3)要注意二角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須重

合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首尾

相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件.

(4)向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：OA-OB=BA-AM-AN=NM，

OA=OB+CA^OA-OB=CA^BA-CA=BA+AC=BC.

苣9

例.如圖，在平行四邊形ABC。中，下列計(jì)算正確的是()

A.AB+AD=AC