青海省湟川中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

青海省湟川中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-3 B.C. D.32．若直線經(jīng)過，,兩點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.3．若雙曲線（，）的焦距為，且漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則此雙曲線的方程為（）A. B.C. D.4．已知{an}是以10為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，則當(dāng){an}的前n項(xiàng)和Sn，取得最大值時，n=（）A.3 B.4C.5 D.65．酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100血液中酒精含量在20~80之間為酒后駕車，80及以上為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會以每小時20%的速度減少，若他想要在不違法的情況下駕駛汽車，則至少需經(jīng)過的小時數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.6 B.7C.8 D.96．隨機(jī)抽取甲乙兩位同學(xué)連續(xù)9次成績（單位：分），得到如圖所示的成績莖葉圖，關(guān)于這9次成績，則下列說法正確的是（）A.甲成績的中位數(shù)為33 B.乙成績的極差為40C.甲乙兩人成績的眾數(shù)相等 D.甲成績的平均數(shù)低于乙成績的平均數(shù)7．過點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是（）A. B.C. D.8．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則的面積為（）A. B.C. D.9．已知點(diǎn)P是圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為（）A.2 B.C. D.10．設(shè)，向量，，，且，，則（）A. B.C.3 D.411．已知點(diǎn)P是雙曲線上的動點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線l與雙曲線分別相交于M、N兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.4 B.3C.2 D.112．在等差數(shù)列中，若，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)為曲線上一點(diǎn)，，，若，則__________14．已知為拋物線上任意一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為平面內(nèi)一定點(diǎn)，則的最小值為__________.15．已知拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1，1):①點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為②過點(diǎn)P作過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)Q，則△OPQ的面積為③過點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為x－2y＋1＝0④過點(diǎn)P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，則直線MN的斜率為定值其中正確的是________.16．已知.若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面滿足，，底面，且，.（1）證明平面；（2）求平面與平面的夾角.18．（12分）已知函數(shù).（1）求的導(dǎo)數(shù)；（2）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程.19．（12分）已知二次曲線的方程：（1）分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；（2）若雙曲線與直線有公共點(diǎn)且實(shí)軸最長，求雙曲線方程；（3）為正整數(shù)，且，是否存在兩條曲線，其交點(diǎn)P與點(diǎn)滿足，若存在，求的值；若不存在，說明理由20．（12分）二項(xiàng)式展開式中第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第三項(xiàng)系數(shù)的4倍.求：（1）；（2）展開式中的所有的有理項(xiàng).21．（12分）已知，：，：.（1）若，為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍22．（10分）已知二次函數(shù)，令，解得.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)關(guān)于的不等式恒成立時，求實(shí)數(shù)的范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)給定條件利用兩條直線互相垂直的關(guān)系列式計(jì)算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為.故選：C2、D【解析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線斜率得，結(jié)合及，即可求的范圍.【詳解】根據(jù)題意，直線經(jīng)過，,，∴直線的斜率，又，∴，即，又，∴；故選：D3、B【解析】根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】雙曲線（，）的焦距為，故，.且漸近線經(jīng)過點(diǎn)，故，故，雙曲線方程為：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線方程，意在考查學(xué)生對于雙曲線基本知識的掌握情況.4、B【解析】由題可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，即得.【詳解】∵{an}是以10為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，∴，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故時，取得最大值故選：B.5、C【解析】根據(jù)題意列出不等式，利用指對數(shù)冪的互化和對數(shù)的運(yùn)算公式即可解出不等式.【詳解】設(shè)該駕駛員至少需經(jīng)過x個小時才能駕駛汽車，則，所以，則，所以該駕駛員至少需經(jīng)過約8個小時才能駕駛汽車.故選：C6、D【解析】按照莖葉圖所給的數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【詳解】由莖葉圖可知，甲的成績?yōu)椋?1，22，23，24，32，32，33，41，52，其中位數(shù)為32，眾數(shù)為32，平均數(shù)為；乙的成績?yōu)椋?0，22，31，32，35，42，42，50，52，極差為52-10=42，眾數(shù)為42，平均數(shù)為；由以上數(shù)據(jù)可知，A錯誤，B錯誤，C錯誤，D正確；故選：D.7、A【解析】過點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直線垂直于直線，再由點(diǎn)斜式求解即可【詳解】過點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直垂直于直線，，∴過點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直線的斜率為，∴過點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直線方程為：，即.故選：A8、A【解析】由余弦定理計(jì)算求得角,根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由余弦定理得，,∴，∴，故選：A9、C【解析】求出圓心到直線的距離，由這個距離加上半徑即得【詳解】由圓，可得圓心坐標(biāo)，半徑，則圓心C到直線的距離為，所以點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為.故選：C10、C【解析】根據(jù)空間向量垂直與平行的坐標(biāo)表示，求得的值，得到向量，進(jìn)而求得，得到答案.【詳解】由題意，向量，，，因?yàn)?，可得，解得，即，又因?yàn)?，可得，解得，即，可得，所?故選：C.11、C【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性可得為的中點(diǎn)，即可得到，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對稱性可知為的中點(diǎn)，所以，又在上，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在雙曲線的頂點(diǎn)時取等號，所以故選：C12、C【解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)可求得，由可求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：，，解得：；又，.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】化簡曲線方程，得到雙曲線的一支，結(jié)合雙曲線定義求出結(jié)果【詳解】由，得，即，故為雙曲線右支上一點(diǎn)，且分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則，.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義，解題時要先化簡曲線方程，然后再結(jié)合雙曲線定義求出結(jié)果，較為基礎(chǔ)14、3【解析】利用拋物線的定義，再結(jié)合圖形即求.【詳解】由題可得拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，則根據(jù)拋物線的定義可知，∴要求取得最小值，即求取得最小，當(dāng)三點(diǎn)共線時最小，為.故答案為：3.15、②③④【解析】由拋物線過點(diǎn)可得拋物線的方程，求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，由拋物線的性質(zhì)可判斷①；求出直線的方程與拋物線聯(lián)立切線的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形的面積，判斷②；設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立求得斜率，進(jìn)而可得在處的切線方程，從而判斷③；設(shè)直線的方程為拋物線聯(lián)立求出的坐標(biāo)，同理求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的斜率，從而可判斷④【詳解】解：由拋物線過點(diǎn)，所以，所以，所以拋物線的方程為：；可得拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，準(zhǔn)線方程為：，對于①，由拋物線的性質(zhì)可得到焦點(diǎn)的距離為，故①錯誤；對于②，可得直線的斜率，所以直線的方程為：，代入拋物線的方程可得：，解得，所以，故②正確；對于③，依題意斜率存在，設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立，得：ky2－y＋1－k＝0，＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切線方程為x－2y＋1＝0，故③正確；對于④，設(shè)直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，所以，所以，代入直線中可得，即，，直線的方程為：，代入拋物線的方程，可得，代入直線的方程可得，所以，，所以為定值，故④正確故答案為：②③④.16、【解析】將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】因?yàn)椋?；因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)?，所?故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由已知結(jié)合線面平行判定定理可得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法可解.【小問1詳解】∵，，∴，又平面，平面，∴平面；【小問2詳解】∵平面且、平面，∴，，又∵，故分別以所在直線為軸，軸、軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：由，，可得：，，，，，由已知平面，平面，，，，，平面，所以平面，為平面的一個法向量，且；設(shè)為平面的一個法向量，則，，，，，，，令，則，，，設(shè)平面與平面的夾角大小為，，由得：平面與平面的夾角大小為18、（1）；（2）.【解析】(1)利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則直接計(jì)算作答.(2)求出，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.【小問1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，所以函?shù).【小問2詳解】由(1)知，，而，于是得，即，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是.19、（1）時，方程表示橢圓，時，方程表示雙曲線；（2）；（3）存在，且或或.【解析】（1）當(dāng)且僅當(dāng)分母都為正，且不相等時，方程表示橢圓；當(dāng)且僅當(dāng)分母異號時，方程表示雙曲線（2）將直線與曲線聯(lián)立化簡得：，利用雙曲線與直線有公共點(diǎn)，可確定的范圍，從而可求雙曲線的實(shí)軸，進(jìn)而可得雙曲線方程；（3）由（1）知，，是橢圓，，，，是雙曲線，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)，任意兩橢圓之間無公共點(diǎn)，任意兩雙曲線之間無公共點(diǎn)，從而可求【詳解】（1）當(dāng)且僅當(dāng)時，方程表示橢圓；當(dāng)且僅當(dāng)時，方程表示雙曲線（2）化簡得：△或所以雙曲線的實(shí)軸為，當(dāng)時，雙曲線實(shí)軸最長為此時雙曲線方程為（3）由（1）知，，是橢圓，，，，是雙曲線，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)任意兩橢圓之間無公共點(diǎn)，任意兩雙曲線之間無公共點(diǎn)設(shè)，，，2，，，6，7，由橢圓與雙曲線定義及；所以所以這樣的，存在，且或或【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：曲線方程的確定可分為兩類：若已知曲線類型，則采用待定系數(shù)法；若曲線類型未知時，則可利用直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法等求解或者利用分類討論思想求解.20、（1）6；（2），，【解析】（1）先得到二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，再根據(jù)第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第三項(xiàng)系數(shù)的4倍，建立方程求解.（2）根據(jù)（1）的通項(xiàng)公式求解.【詳解】（1）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).依題意得，，所以，解得.（2）由（1）得，當(dāng)，3，6時為有理項(xiàng)，故有理有，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）（2）【解析】(1)化簡命題p，將m=3代入求出命題q，再根據(jù)或、且連接的命題真假確定p，q真假即可得解；(2)由給定條件可得p是q的必要不充分條件，再列式計(jì)算作答.【小問1詳解】依題意，：，：，得：.當(dāng)時，：，因?yàn)檎婷}，為假命題，則與一真一假，當(dāng)真假時，即或，無解，當(dāng)假真時，即或，解得或，綜上得：或，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是；【小問2詳解】因是的充分不必要條件，則p是q的必要不充分條件，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是22、（1）；（2）.【解