2025屆青島市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆青島市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，則|MA|+|MF|的最小值為（）A.3 B.4C.5 D.62．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，，，則滿足成立的最大正整數(shù)是（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)，，都有恒成立，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.4．已知雙曲線漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.45．直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.都有可能6．設(shè)，命題“若，則或”的否命題是（）A.若，則或B.若，則或C.若，則且D.若，則且7．函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.8．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.250 B.210C.160 D.909．設(shè)、分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過的直線l與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，且，則的長為（）A. B.1C. D.10．設(shè)是等比數(shù)列，則“對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次從高變低）5個(gè)人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，問這5個(gè)人各出多少錢？”在這個(gè)問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數(shù)為（）A.14 B.20C.18 D.1612．已知直線和平面，且在上，不在上，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A.若，則存在無數(shù)條直線，使得B.若，則存在無數(shù)條直線，使得C.若存在無數(shù)條直線，使得，則D.若存在無數(shù)條直線，使得，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線，左右焦點(diǎn)分別為，若過右焦點(diǎn)的直線與以線段為直徑的圓相切，且與雙曲線在第二象限交于點(diǎn)，且軸，則雙曲線的離心率是_________.14．已知為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為________15．已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，以F為圓心的圓交線段AB于C，D兩點(diǎn)（從上到下依次為A，C，D，B），若，則該圓的半徑r的取值范圍是____________.16．已知是等差數(shù)列，，，設(shè)，數(shù)列前n項(xiàng)的和為，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在處取得極值（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍18．（12分）已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)為橢圓C上一點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）若M，N是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的角平分線總是垂直于y軸，求證：直線MN的斜率為定值19．（12分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，另外考生根據(jù)自己實(shí)際需要在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7門科目中自選3門參加考試．下面是某校高一200名學(xué)生在一次檢測中的物理、化學(xué)、生物三科總分成績，以組距20分成7組：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，畫出頻率分布直方圖如下圖所示（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）由頻率分布直方圖，求物理、化學(xué)、生物三科總分成績的第60百分位數(shù)；（3）若小明決定從“物理、化學(xué)、生物、政治、技術(shù)”五門學(xué)科中選擇三門作為自己的選考科目，求小明選中“技術(shù)”的概率20．（12分）某城市地鐵公司為鼓勵(lì)人們綠色出行，決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過12站的地鐵票價(jià)如下表：乘坐站數(shù)票價(jià)（元）246現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時(shí)從起點(diǎn)乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過12站，且他們各自在每個(gè)站下地鐵的可能性是相同的.（1）若甲、乙兩人共付費(fèi)6元，則甲、乙下地鐵的方案共有多少種？（2）若甲、乙兩人共付費(fèi)8元，則甲比乙先下地鐵的方案共有多少種？21．（12分）設(shè)AB是過拋物線焦點(diǎn)F的弦，若，，求證：（1）；（2）（為弦AB的傾斜角）22．（10分）設(shè)命題對(duì)于任意，不等式恒成立．命題實(shí)數(shù)a滿足（1）若命題p為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】作出圖象，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，結(jié)合圖形可得當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)M，A，H共線時(shí)|MA|+|MH|最小，求解即可【詳解】過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，由拋物線的定義可知|MF|＝|MH|，則問題轉(zhuǎn)化為|MA|+|MH|的最小值，結(jié)合圖形可得當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)M，A，H共線時(shí)|MA|+|MH|最小，其最小值為.故選：B2、B【解析】由等差數(shù)列的，及得數(shù)列是遞減的數(shù)列，因此可確定，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求前項(xiàng)和，確定和的正負(fù)【詳解】∵，∴和異號(hào)，又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，∴是遞減的數(shù)列，，由，所以，，∴滿足的最大自然數(shù)為4040故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題求滿足的最大正整數(shù)的值，關(guān)鍵就是求出，時(shí)成立的的值，解題時(shí)應(yīng)充分利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求解,屬于中檔題.3、A【解析】將已知條件轉(zhuǎn)化為時(shí)恒成立，利用參數(shù)分離的方法求出a的取值范圍【詳解】對(duì)任意都有恒成立，則時(shí)，，當(dāng)時(shí)恒成立，

，當(dāng)時(shí)恒成立，，故選：A4、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.5、A【解析】求出圓心到直線的距離，然后與圓的半徑進(jìn)行大小比較即可求解.【詳解】解：圓的圓心，，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以直線與圓的位置關(guān)系是相交，故選：A.6、C【解析】根據(jù)否命題的定義直接可得.【詳解】根據(jù)否命題的定義可得命題“若，則或”的否命題是若，則且，故選：C.7、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B8、B【解析】設(shè)為等比數(shù)列，由此利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和為能求出結(jié)果【詳解】設(shè)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，解得故選：B9、C【解析】由橢圓的定義得：，，結(jié)合條件可得，即可得答案.【詳解】由橢圓的定義得：，，又，，所以，由橢圓知，所以.故選：C10、C【解析】根據(jù)嚴(yán)格遞增數(shù)列定義可判斷必要性，分類討論可判斷充分性.【詳解】若是嚴(yán)格遞增數(shù)列，顯然，所以“對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”必要條件；對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，所以中不可能同時(shí)含正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)，，即，或，即，當(dāng)時(shí)，有，即，是嚴(yán)格遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，有，即，是嚴(yán)格遞增數(shù)列，所以“對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”充分條件故選：C11、D【解析】根據(jù)題意，建立等差數(shù)列模型，結(jié)合等差數(shù)列公式求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數(shù)為.故選：D.12、D【解析】根據(jù)直線和直線，直線和平面的位置關(guān)系依次判斷每一個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】若，則平行于過的平面與的交線，當(dāng)時(shí)，，則存在無數(shù)條直線，使得，A正確；若，垂直于平面中的所有直線，則存在無數(shù)條直線，使得，B正確；若存在無數(shù)條直線，使得，，，則，C正確；當(dāng)時(shí)，存在無數(shù)條直線，使得，D錯(cuò)誤.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)，可得再根據(jù)雙曲線的定義，即可得到，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】如圖所示：設(shè)切點(diǎn)為，所以，又軸所以，所以，由，，所以又，所以故答案為：.14、【解析】根據(jù)已知可得，設(shè)，利用勾股定理結(jié)合，求出，四邊形面積等于，即可求解.【詳解】因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，，即四邊形面積等于.故答案為：.15、【解析】設(shè)出直線的方程為，代入拋物線方程，消去，可得關(guān)于的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理及拋物線的定義，化簡計(jì)算可求解.【詳解】拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為,設(shè)以為圓心的圓的半徑為，可知，，設(shè)，直線的方程為，則，代入拋物線方程，可得，即有，，，，即，所以.故答案為：16、-3033【解析】先求得，進(jìn)而得到，再利用并項(xiàng)法求解.【詳解】解：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，，所以，解得，所以，則，所以，，，，.故答案為：-3033三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）由題意可得，從而可求出a的值；（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可由函數(shù)的變化情況可知，要函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，只要函數(shù)在內(nèi)的最大值大于等于零，最小值小于等于零，然后解不等式組可得答案【詳解】解：（1）在處取得極值，∴，∴．經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，在處取得極值（2）由（1）知，∴極值點(diǎn)為2，.將x，，在內(nèi)的取值列表如下：x024/-0+/b極小值由此可得，在內(nèi)有零點(diǎn)，只需∴18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、斜率公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】橢圓的離心率，又，∴∵橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，解得，∴橢圓C的方程為；【小問2詳解】∵∠MPN的角平分線總垂直于y軸，∴MP與NP所在直線關(guān)于直線對(duì)稱．設(shè)直線MP的斜率為k，則直線NP的斜率為∴設(shè)直線MP的方程為，直線NP的方程為設(shè)點(diǎn)，由消去y，得∵點(diǎn)在橢圓C上，則有，即同理可得∴，又∴直線MN的斜率為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由∠MPN的角平分線總垂直于y軸，得到MP與NP所在直線關(guān)于直線對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.19、（1）=0.005（2）232（3）【解析】（1）由頻率和為1列方程求解即可，（2）由于前3組的頻率和小于0.6，前4組的頻率和大于0.6，所以三科總分成績的第60百分位數(shù)在第4組內(nèi)，設(shè)第60百分位數(shù)為，則0.45+0.0125×(?220)=0.6，從而可求得結(jié)果，（3）利用列舉法求解即可【小問1詳解】由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075++0.0025)×20=1，解得=0.005【小問2詳解】因?yàn)?0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.6，(0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20=0.7>0.6，所以三科總分成績的第60百分位數(shù)在[220，240)內(nèi)，設(shè)第60百分位數(shù)為，則0.45+0.0125×(?220)=0.6，解得=232，即第60百分位數(shù)為232【小問3詳解】將物理、化學(xué)、生物、政治、技術(shù)5門學(xué)科分別記作．則事件A表示小明選中“技術(shù)”，則，所以P(A)=20、（1）24（種）（2）21（種）【解析】（1）先根據(jù)共付費(fèi)6元得一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)4元，再確定人與乘坐站數(shù)，即可得結(jié)果；（2）先根據(jù)共付費(fèi)8元得一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)6元或兩人都付費(fèi)4元，再求甲比乙先下地鐵的方案數(shù).【小問1詳解】由已知可得：甲、乙兩人共付費(fèi)6元，則甲、乙一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)4元，又付費(fèi)2元的乘坐站數(shù)有1，2，3三種選擇，付費(fèi)4元的乘坐站數(shù)有4，5，6，7四種選，所以甲、乙下地鐵的方案共有（3×4）×2=24（種）.【小問2詳解】甲、乙兩人共付費(fèi)8元，則甲、乙一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)6元或兩人都付費(fèi)4元；當(dāng)甲付費(fèi)2元，乙付費(fèi)6元時(shí)，甲乘坐站數(shù)有1，2，3三種選擇，乙乘坐站數(shù)有8，9，10，11，12五種選擇，此時(shí)，共有35=15（種）方案；當(dāng)兩人都付費(fèi)4元時(shí)，若甲在第4站下地鐵，則乙可在第5，6，7站下地鐵，有3種方案；若甲在第5站下地鐵，則乙可在第6，7站下地鐵，有2種方案；若甲在第6站下地鐵，則乙可在第7站下地鐵，有1種方案；綜上，甲比乙先下地鐵的方案共有（種）.21、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)直線的方程為，代入，再利用韋達(dá)定理，即可得到結(jié)論；（2）由拋物線