河北省衡水市中學(xué)·2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析_第1頁(yè)
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河北省衡水市中學(xué)·2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為;②函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形;③函數(shù)的極大值為;④函數(shù)的最小值為.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④2.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B. C. D.3.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知定義在上的函數(shù),若函數(shù)為偶函數(shù),且對(duì)任意,,都有,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知集合,B={y∈N|y=x﹣1,x∈A},則A∪B=()A.{﹣1,0,1,2,3} B.{﹣1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{x﹣1≤x≤2}6.盒中有6個(gè)小球,其中4個(gè)白球,2個(gè)黑球,從中任取個(gè)球,在取出的球中,黑球放回,白球則涂黑后放回,此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù),則()A., B.,C., D.,7.已知平面向量,,滿足:,,則的最小值為()A.5 B.6 C.7 D.88.若的展開(kāi)式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.259.下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)何種變換可以得到的圖象()A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位10.函數(shù)fxA. B.C. D.11.復(fù)數(shù)()A. B. C.0 D.12.已知實(shí)數(shù),則下列說(shuō)法正確的是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知圓柱的上下底面的中心分別為,過(guò)直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形,則該圓柱的體積為_(kāi)___14.已知全集,,則________.15.《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個(gè)問(wèn)題“今有圓堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.問(wèn)積幾何?答曰:二千一百一十二尺,術(shù)曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”,這里所說(shuō)的圓堡瑽就是圓柱體,它的體積為“周自相乘,以高乘之,十二而一”,就是說(shuō):圓堡瑽(圓柱體)的體積為(底面圓的周長(zhǎng)的平方高),則由此可推得圓周率的取值為_(kāi)_______.16.已知中,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),的面積為,則線段的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.18.(12分)已知中,角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為,且(1)求角的大小;(2)求的值.19.(12分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,an+1=2Sn+1(1)求數(shù)列{an}(2)設(shè)cn=bnan,求數(shù)列20.(12分)已知等差數(shù)列滿足,.(l)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與燒開(kāi)一壺水所用時(shí)間y的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如表),得到了散點(diǎn)圖(如圖).表中,.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型?(不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量t成正比,那么x為多少時(shí),燒開(kāi)一壺水最省煤氣?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.22.(10分)已知函數(shù),其中.(1)①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;②若滿足,且.求證:.(2)函數(shù).若對(duì)任意,都有,求的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

因?yàn)?,所以①不正確;因?yàn)?,所以,,所以,所以函?shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形,②正確;易知函數(shù)的最小正周期為,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可.當(dāng)時(shí),,且,令,得,可知函數(shù)在處取得極大值為,③正確;因?yàn)椋?,所以函?shù)的最小值為,④正確.故選D.2、A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),求得的坐標(biāo)得出答案.【詳解】解:,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)得,,即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,即可得出結(jié)果.【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng),難度容易.4、A【解析】

根據(jù)題意,分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱且在上為減函數(shù),則不等式等價(jià)于,解得的取值范圍,即可得答案.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱,因?yàn)閷?duì)任意,,都有,所以函數(shù)在上為減函數(shù),則,解得:.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,涉及不等式的解法,屬于綜合題.5、A【解析】

解出集合A和B即可求得兩個(gè)集合的并集.【詳解】∵集合{x∈Z|﹣2<x≤3}={﹣1,0,1,2,3},B={y∈N|y=x﹣1,x∈A}={﹣2,﹣1,0,1,2},∴A∪B={﹣2,﹣1,0,1,2,3}.故選:A.【點(diǎn)睛】此題考查求集合的并集,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解不等式,根據(jù)描述法表示的集合,準(zhǔn)確寫出集合中的元素.6、C【解析】

根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出概率并求得數(shù)學(xué)期望,由此判斷出正確選項(xiàng).【詳解】表示取出的為一個(gè)白球,所以.表示取出一個(gè)黑球,,所以.表示取出兩個(gè)球,其中一黑一白,,表示取出兩個(gè)球?yàn)楹谇颍?,表示取出兩個(gè)球?yàn)榘浊?,,所?所以,.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,屬于中檔題.7、B【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系,將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式,再將的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達(dá)的算式,利用基本不等式求得最小值.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示,設(shè),,且,由于,所以..所以,即..當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值,此時(shí)由得,當(dāng)時(shí),有最小值為,即,,解得.所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最小值為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模,考查基本不等式的運(yùn)用,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.8、C【解析】

通過(guò)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)分析得到,即得解.【詳解】由已知得,故當(dāng)時(shí),,于是有,則.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)和系數(shù)問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9、D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個(gè)解析式為,再根據(jù)平移法則得到答案.【詳解】設(shè)函數(shù)解析式為,根據(jù)圖像:,,故,即,,,取,得到,函數(shù)向右平移個(gè)單位得到.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式,三角函數(shù)平移,意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.10、A【解析】

由f12=e-14>0排除選項(xiàng)D;【詳解】由f12=e-14>0,可排除選項(xiàng)D,f-1=-e【點(diǎn)睛】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見(jiàn)的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多,但是并不是無(wú)路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及x→011、C【解析】略12、C【解析】

利用不等式性質(zhì)可判斷,利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】解:對(duì)于實(shí)數(shù),,不成立對(duì)于不成立.對(duì)于.利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì),即可得出.對(duì)于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì),因此不成立.故選:.【點(diǎn)睛】利用不等式性質(zhì)比較大?。⒁獠坏仁叫再|(zhì)成立的前提條件.解決此類問(wèn)題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外,還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由軸截面是正方形,易求底面半徑和高,則圓柱的體積易求.【詳解】解:因?yàn)檩S截面是正方形,且面積是36,所以圓柱的底面直徑和高都是6故答案為:【點(diǎn)睛】考查圓柱的軸截面和其體積的求法,是基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用集合的補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】由全集,,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集運(yùn)算,需理解補(bǔ)集的概念,屬于基礎(chǔ)題.15、3【解析】

根據(jù)圓堡瑽(圓柱體)的體積為(底面圓的周長(zhǎng)的平方高),可得,進(jìn)而可求出的值【詳解】解:設(shè)圓柱底面圓的半徑為,圓柱的高為,由題意知,解得.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思,結(jié)合方程的思想即可求出結(jié)果.16、【解析】

設(shè),利用正弦定理,根據(jù),得到①,再利用余弦定理得②,①②平方相加得:,轉(zhuǎn)化為有解問(wèn)題求解.【詳解】設(shè),所以,即①由余弦定理得,即②,①②平方相加得:,即,令,設(shè),在上有解,所以,解得,即,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、≤x≤【解析】由題知,|x-1|+|x-2|≤恒成立,故|x-1|+|x-2|不大于的最小值.∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,當(dāng)且僅當(dāng)(a+b)·(a-b)≥0時(shí)取等號(hào),∴的最小值等于2.∴x的范圍即為不等式|x-1|+|x-2|≤2的解,解不等式得≤x≤.18、(1);(2).【解析】

(1)正弦定理的邊角轉(zhuǎn)換,以及兩角和的正弦公式展開(kāi),特殊角的余弦值即可求出答案;(2)構(gòu)造齊次式,利用正弦定理的邊角轉(zhuǎn)換,得到,結(jié)合余弦定理得到【詳解】解:(1)由已知,得又∵∴∴,因?yàn)榈谩摺?(2)∵又由余弦定理,得∴【點(diǎn)睛】1.考查學(xué)生對(duì)正余弦定理的綜合應(yīng)用;2.能處理基本的邊角轉(zhuǎn)換問(wèn)題;3.能利用特殊的三角函數(shù)值推特殊角,屬于中檔題19、(1)an=(2)Tn【解析】

(1)利用an與Sn的遞推關(guān)系可以an的通項(xiàng)公式;P點(diǎn)代入直線方程得b【詳解】(1)由an+1=2S兩式相減得an+1-a又a2=2S1+1=3,所以a由點(diǎn)P(bn,bn+1則數(shù)列{bn(2)因?yàn)閏n=b則13兩式相減得:23所以Tn【點(diǎn)睛】用遞推關(guān)系an=Sn-20、(1);(2).【解析】試題分析:(1)設(shè)等差數(shù)列滿的首項(xiàng)為,公差為,代入兩等式可解。(2)由(1),代入得,所以通過(guò)裂項(xiàng)求和可求得。試題解析:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由題意可得,解得.所以.(2)因?yàn)椋?所以.21、(1)更適宜(2)(3)x為2時(shí),燒開(kāi)一壺水最省煤氣【解析】

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖是否按直線型分布作答;(2)根據(jù)回歸系數(shù)公式得出y關(guān)于的線性回歸方程,再得出y關(guān)于x的回歸方程;(3)利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件.【詳解】(1)更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型.(2)由公式可得:,,所以所求回歸方程為.(3)設(shè),則煤氣用量,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”,即時(shí),煤氣用量最小.故x為2時(shí),燒開(kāi)一壺水最省煤氣.【點(diǎn)睛】本題考查擬合模型的選擇,回歸方程的求解,涉及均值不等式的使用,屬綜合中檔題.22、(1)①單調(diào)遞增區(qū)間,,單調(diào)遞減區(qū)間;②詳見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)①求導(dǎo)可得,再分別求解與的解集,結(jié)合定義域分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.②根據(jù)(1)中的結(jié)論,求出的表達(dá)式,再分與兩種情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析的范圍即可.(2)求導(dǎo)分析的單調(diào)性,再結(jié)合單調(diào)性,設(shè)去絕對(duì)值化簡(jiǎn)可得,再構(gòu)造函數(shù),,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與恒成立問(wèn)題可知,再換元

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