北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè) 探索勾股定理 同步練習(xí)（培優(yōu)卷）

北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.1探索勾股定理同步練習(xí)（培優(yōu)卷）

班級(jí)：姓名：

夯實(shí)基礎(chǔ)73黑/不肌勤學(xué)早.白育方悔父韋遲.

一、選擇題

1.如圖，在RtaABC中，點(diǎn)D,E分別是邊AC、AB上的兩點(diǎn)，連接BD,CE,CD=AE,已知BC=6,AB=

8,貝"BD+CE的最小值是（）

C.9.6D.5+V45

2.已知等腰三角形ABC,=AC,點(diǎn)。是BC上一點(diǎn)，若=10,BC=12.則△ABD

的周長(zhǎng)可能是（）

A.15B.20C.28D.36

3.如圖，已知AABC中，AB=AC=4,BC=6,在BC邊上取一點(diǎn)P（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合）,

使得AABP成為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P共有（）.

B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6,8,現(xiàn)將AABC如圖折疊，使點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，則折痕DE

A.3B.3.5C.3.75D.4

5.如圖1,以直角三角形的各邊為邊分別向外作正三角形，再把較小的兩張正三角形紙片按圖2的方式

放置在最大正三角形內(nèi).若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）

B.較小兩個(gè)正三角重疊部分的面積

C.最大正三角形的面積

D.最大正三角形與直角三角形的面積差

6.如圖，等邊AABC的邊長(zhǎng)為2,AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是邊AC的中點(diǎn)，則EM+CM

的最小值為（）

A.1B.2C.3D.V3

7.如圖，等邊AABC的邊長(zhǎng)為6,AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是邊AC上一點(diǎn)，若AE=2,

貝UEM+CM的最小值為（）

8.如圖，在邊長(zhǎng)為1正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，3AE=EB,有一只螞蟻

從E點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)F、G、H,最后回點(diǎn)E點(diǎn)，則螞蟻所走的最小路程是（)

A.2B.4C.2V2D.3V2

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)/在x軸的正半軸上.頂點(diǎn)6的坐標(biāo)為(3,V3)，點(diǎn)

C的坐標(biāo)為(1,0),且N/1加=30°點(diǎn)夕為斜邊。8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以+%的最小值為()

10.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F

處，連接CF,則CF的長(zhǎng)為()

鞏固積寶封母從康與出.梅花罟索

二、填空題

11.等邊的邊長(zhǎng)為2,過(guò)點(diǎn)C作直線/||/6,夕為直線/上一點(diǎn)，JLAP=V3AB,則點(diǎn)夕到8c所在

直線的距離是.

12.在Rt/XABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,點(diǎn)E,F分別在邊AB,AC_E,將AAEF沿直線EF翻折,

點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，且點(diǎn)P在直線BC上.則線段CP長(zhǎng)的取值范圍是.

13.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,2),C(4,4)是第一象限角平分線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為

2,且BA=CB,在y軸上取一點(diǎn)D,連接AB,BC,AD,CD,使得四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，則這個(gè)周長(zhǎng)的

最小值為.

14.在aABC中，BC=6,高線AD=4,則AABC周長(zhǎng)的最小值為.

15.如圖，已知等邊AABC的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，CP=3,則AP=,若點(diǎn)Q是邊AC

上一點(diǎn)，BQ=AP,則AQ=.

優(yōu)尖撥商書(shū)山者珞勤力校.學(xué)海無(wú)灌苗作舟.

三、解答題

16.如圖，已知AB=12,AB1_BC于B,AB_LAD于A,AD=5,BC=10點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，求AE的長(zhǎng).

17.一個(gè)25米長(zhǎng)的梯子AB,斜靠在一豎直的墻A0上，這時(shí)的A0距離為24米，如果梯子的頂端A沿墻

下滑4米，那么梯子底端B也外移4米，對(duì)嗎？為什么？

HB'

18.在aABC中，ZBAC=90°,AB=AC.點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合)，以AD為直角邊

在AD右側(cè)作等腰直角三角形ADE,使NDAE=90°,連結(jié)CE.

(1)探究：如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，證明BC=CE+CD.

(3)拓展：①如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，BC、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系

為.

②如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，BC、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為.

19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義：點(diǎn)P到圖形Gi上各點(diǎn)的最短距離為由，點(diǎn)P到

圖形G2上各點(diǎn)的最短距離為d2,若心=&2,就稱(chēng)點(diǎn)P是圖形Gi和圖形G2的一個(gè)“等距點(diǎn)”.

已知點(diǎn)4(6,0),B(0,6).

(1)在點(diǎn)。(―6,0),E(3,0),F(0,3)中，是點(diǎn)A和點(diǎn)0的“等距點(diǎn)”；

(2)在點(diǎn)G(—2,-1),"(2,2),1(3,6)中，是線段0A和0B的“等距點(diǎn)”；

(3)點(diǎn)C(m,0)為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P既是點(diǎn)A和點(diǎn)C的''等距點(diǎn)”，又是線段0A和0B的''等距點(diǎn)”.

①當(dāng)m=8時(shí)，是否存在滿足條件的點(diǎn)P,如果存在請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在請(qǐng)說(shuō)

明理由；

②若點(diǎn)P在404B內(nèi)，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的m的取值范圍.

20.如圖，AABC中，ZACB=90°,AB=10,BC=6,若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿

折線A—C—B—A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).

(備用圖)

(1)若點(diǎn)P在AC上，且滿足PA=PB時(shí)，求此時(shí)t的值;

(2)若點(diǎn)P恰好在NBAC的平分線上，求t的值.

.色解析7

1.【答案】A

【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AFLAC,并使得AF=BC,連接EF,則NFAC=90

AZFAE+ZEAC=90°,

\?在RtZ\ABC中，ZBAC+ZBCD=90°,

：.NFAE=NBCD,

VAF=CB,AE=CD,

AABCD^AFAE(SAS),

；.EF=BD,

.,.BD+CE=EF+CE,

連接CF,即可得知CF的長(zhǎng)度即為EF+CE的最小值，也就是BD+CE的最小值，

VAB=8,BC=6,ZABC=90°,

；.AF=BC=6,AC=10,

，CF=y/AF2+AC2=V62+102=V136,

ABD+CE的最小值是V136.

故答案為：A.

【分析】過(guò)點(diǎn)A作AFLAC,并使得AF=BC,連接EF,則NFAC=90°,由同角的余角相等可得NFAE=N

BCD,證明4BCD絲ZXFAE,得到EF=BD,連接CF,可得CF的長(zhǎng)度即為EF+CE的最小值，也就是BD+CE的

最小值，據(jù)此求解.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)時(shí)，

A

：.AD1BC,

由勾股定理，AD=7AB2—BD2=V102—62=8,

此時(shí)CAABD=AB+BD+AD=10+6+8=24,

CMBC=AB+AC+BC=10+10+12=32,

當(dāng)點(diǎn)D無(wú)線趨近于點(diǎn)B的時(shí)候，AABD的周長(zhǎng)趨近于20,

只有C選項(xiàng)的值在范圍內(nèi).

故答案為：C.

【分析】當(dāng)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)時(shí)，先求出周長(zhǎng)20,再利用變化趨勢(shì)判斷。

3.【答案】B

【解析】【解答】解：根據(jù)題意，使得AABP成為等腰三角形，分4尸=BP、AB=BP、AB=AP

三種情況分析：

當(dāng)AP=BP時(shí)，點(diǎn)P位置再分兩種情況分析：

第1種：點(diǎn)P在點(diǎn)0右側(cè)，4。1BC于點(diǎn)0

A

-'-AO=JAB2-（1FC）2=V7

設(shè)OP=x

=yjAO2+OP2="+久2

■：AB=AC=4

：.BO=^BC=3

:.BP—BO+OP=3+%

+%2=3+%

：.x=—2,不符合題意；

第2種：點(diǎn)P在點(diǎn)0左側(cè)，401BC于點(diǎn)0

A

■,.AP=7A。2+op2=V7+x2

：.BP=BO—OP=3-x

^7+x2—3—x

：.x=2,點(diǎn)P存在，BP=1;

當(dāng)AB=BP時(shí)，BP=AB=4,點(diǎn)P存在；

當(dāng)AB=AP時(shí)，AP=AB=4,即點(diǎn)P和點(diǎn)C重合，不符合題意；

...符合題意的點(diǎn)P共有：2個(gè)

故答案為：B.

【分析】分三種情況分析討論，在BC邊上取一點(diǎn)P(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合)，使得4ABP成為等腰三

角形，即AP=BP、AB=BP,AB=AP;根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別對(duì)三種情況逐個(gè)分析，設(shè)OP=x,利用

勾股構(gòu)造方程求解，再判斷即可.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：-?-NC=90°,BC=6,AC=8,

AB=y]BC2+AC2=+82=10,

由折疊可得：AE=BE,BD=AD=5,

設(shè)BE=x,貝UAE=x,CE=8-x,

(8—%)2+62=x2,

25

-?-xY------4------，

「-------25,15

DE=y/BE2-BD2=(-j-)2-52=-j-=3.75,

、44

故答案為：c.

【分析】由勾股定理求解,由對(duì)折可得AE=BE,BD=AD=5,設(shè)BE=%,則AE

x,CE=8—x,利用勾股定理求解X,再利用勾股定理可得答案.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c,較短直角邊長(zhǎng)為a,較長(zhǎng)直角邊為b,

由勾股定理得：c2=a2+b2,

陰影部分的面積為：造匕―b)(c—a),

較小兩個(gè)正三角形重疊部分的邊長(zhǎng)為：a+b-c,

則較小兩個(gè)正三角形重疊部分的面積為：

苧(a+b—c)2=孚+房+2ab+c2—2c(a+b)]=苧[c2+2ab+c2—2c(a+b)]=

字(c-b)(c-a),

知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出較小兩個(gè)正三角形重疊部分的面積，即等于陰影部分的面積.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)勾股定理得到c2=a，b2,再根據(jù)正三角形的面積公式、平行四邊形的面積公式推導(dǎo)計(jì)算即

可.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：連接BE,交AD于M',

?.?△ABC為等邊三角形，AD為BC邊上中線，

則ADJ_BC,即AD是BC的垂直平分線，

AMB=MC,M'B=M'C,

.\EM+CM=EM+BM,EM'+CM'=EM'+BM',

VEM+BM>BE=EM'+BM',

...當(dāng)B、M、E在同一條直線上，EM+CM最小,

這時(shí)BE=VfiC2-FC2=V22-l2=V3-

故答案為：D.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AD為BC邊上的垂直平分線，于是EM+CM轉(zhuǎn)化為BM+EM,然后根據(jù)兩

點(diǎn)之間線段最短，推得當(dāng)M’在BE和AD的交點(diǎn)時(shí)，EM+CM最短，最后利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)即可.

7.【答案】C

【解析】【解答】如圖，連接BE交AD于一點(diǎn)M連接CM',BM,作BHJ_AC,

,/△ABC為等邊三角形，

AAD為垂直平分BC,

.".BE=BM,+M'E=BM'+M,C,

VBE<BM+ME=MC+ME,

EM+CM的最小值為BE,

VEH=AH-AE=3-2=1,

BH=VFC2-CH2=V62-32=3V3,

2

；.BE力B42+E“2=J(3V3)+1=V28-

故答案為：C.

【分析】連接BE交AD于一點(diǎn)M連接CM',BM,作BHLAC,先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，再結(jié)合三角形

三邊的關(guān)系求出EM+CM最小時(shí)M的位置，即當(dāng)B、M、E三點(diǎn)共線時(shí)，EM+CM長(zhǎng)最短，最后利用勾股定理

求出BE的長(zhǎng)，則EM+CM長(zhǎng)可求.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：延長(zhǎng)DC到D',使CD=CD',G關(guān)于C對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為G',則FG=FG',

同樣作D'A'_LCD',D'A'=DA,H對(duì)應(yīng)的位置為H',則G'H'=GH,

AERK

則H'E'=HE.

容易看出，當(dāng)E、F、G\H'、E'在一條直線上時(shí)路程最小,

最小路程為EE1=J(2AB)2+(2BC)2=V4+4=2V2.

故答案為：C.

【分析】本題先根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的原理分別找出點(diǎn)G、H、E的對(duì)稱(chēng)位置G'、H'、E’,再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最

短可知當(dāng)E、F、G'、H'、E'在同一直線上上時(shí)路程最小，最后借助直角三角形利用勾股定理計(jì)算即可。

9.【答案】C

【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作C關(guān)于0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)5,連接AC，與OB相交，

則AC'與0B的交點(diǎn)即所求的點(diǎn)P,PA+PC的最小值二AC',

過(guò)點(diǎn)C'作C'D_LOA于D,

:點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0),且NA0B=30°,

：.Z0CC,=90°-30°=60°,

0C=1,CC'=2X1XJ=1,

.\CD=*,C'D=苧，

?.?頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,V3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0),Z0AB=90°,

.,.AC=3-1=2,

，AD=2+那，

在Rt^AC'D中，由勾股定理得，

AC，=JcD2+AD2=，（苧）2+（32=V7,

故答案為：C.

【分析】過(guò)點(diǎn)C作C關(guān)于0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)5,連接AC7與0B相交，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線得AC'與0B

的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P,PA+PC的最小值二AC',過(guò)點(diǎn)C'作C'D_LOA于D,求出CC',N0CC'=60",

再求出CD、5D,然后求出AD,再根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可得解.

10.【答案】B

【解析】【解答】連接BF,由折疊可知AE垂直平分BF,

：BC=6,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

ABE=3,

又：AB=4,

2222

二AE=^AB+BE=V4+3=5，

11

:^AB,BE=^AE?BH,

11

..ix3x4=^x5xBH,

.,.BH=挈，則BF=普，

VFE=BE=EC,

AZBFC=90°,

.\CF=7BC2-FF2="_（皆=善.

故答案為：B.

【分析】連接BF,由折疊可知AE垂直平分BF,根據(jù)勾股定理求得AE=5,利用直角三角形面積的兩種表

示法求得BH=等，即可得BF=曾，再證明NBFC=90°,最后利用勾股定理求得CF=竽.

11.【答案】遍或2遍

【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CD1AB于D,過(guò)點(diǎn)4作AEV/于E,如圖1所示，

'：AB=AC=BC=2,CDLAB于D,

：.BD=AD=1,

*'?CD=V22—l2=V3,

U：AE±/于E,

：.AE=CD=V3

：.AP=遮AB=2V3

當(dāng)夕點(diǎn)&?的延長(zhǎng)線上時(shí)，AP爻BC于裊F,如圖1所示,

9：AP=2AE

J^APE=30°

/\\AB,

：.NPCF=^BAC=60°

JNPFC=90

，尸廠即為2點(diǎn)到8c所在直線的距離，

?：PE=7AP2-AE2=J(2V3)2-(V3)2=3，CE=y/AC2-AE2=J22-(V3)2=1,

：.PC=PF-CE=3-1=2,

:?CF=1

PF—V22—l2=V3；

當(dāng)戶點(diǎn)CE的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)8a過(guò)點(diǎn)、P作PF1CF,交比延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，如圖2所示,

：.PC=PE+CE=3+1=4,

???/II他

NPCF=C=60°

■:PFLCF,

.??NCPF=30°

ACF==PC=2

:?PF=>JPC2-CF2=V42-22=2V3;

綜上所述，P點(diǎn)到8c所在直線的距離為百或2遮，

故答案為：V3或2陋.

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CDLAB于D,過(guò)點(diǎn)A作AELI于E,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BD=AD=1,根據(jù)勾股定理

算出CD的長(zhǎng)，根據(jù)平行線間的距離相等可得AE的長(zhǎng)，此題分類(lèi)討論：①當(dāng)P點(diǎn)EC的延長(zhǎng)線上時(shí)，AP交

BC于點(diǎn)F,易得AP=2AE,從而可得NAPE=30°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得NPCF=60°,故NPFC=90°,所以

PF就是點(diǎn)P到BC所在直線的距離；用勾股定理算出PE、CE,根據(jù)PC=PE-CE算出PC的長(zhǎng)，最后再根據(jù)

勾股定理即可算出PF的長(zhǎng)；②當(dāng)P點(diǎn)CE的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)BC,過(guò)點(diǎn)P作PFLCF,交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F,由線段的和差算出PC的長(zhǎng)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得NPCF=60°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得N

CPF=30°,根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)得CF的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理算出PF的長(zhǎng).

12.【答案】1<CPW5

【解析】【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，CP的值最小，

此時(shí)BP=AB=3,所以PC=BC-BP=4-3=1,

如圖，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，CP的值最大,

此時(shí)CP=AC,

"△ABC中，ZABC=90",AB=3,BC=4,根據(jù)勾股定理可得AC=5,所以CP的最大值為5,

所以線段CP長(zhǎng)的取值范圍是1<CP<5.

故答案為：1WCPW5.

【分析】當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，CP的值最小，此時(shí)BP=AB=3,然后根據(jù)PC=BC-BP進(jìn)行計(jì)算；當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)

C重合時(shí)，CP的值最大，此時(shí)CP=AC,在RtZ\ABC中，由勾股定理求出AC,據(jù)此不難得到CP的范圍.

13.【答案】4+2V10

【解析】【解答】解：?.?點(diǎn)A(2,2),點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2,

；.AB〃x軸，

voc是第一象限的角平分線

AZBAC=45°,

VCA=CB,

AZACB=ZBAC=45°,

：.ZB=90°,

VC(4,4)

AB(4,2),

AAB=BC=2,

作C(4,4)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'(-4,4),

連接AC，交y軸于D，,

則此時(shí)，四邊形ABCD'的周長(zhǎng)最小，且CD=C'D,

則這個(gè)最小周長(zhǎng)的值=AB+BC+AC',

■：Cr(-4,4),A(2,2)

,'AC=V62+22=2VTU，

，四邊形ABCD的最小周長(zhǎng)值=AB+BC+4C=4+2/歷，

故答案為：4+2V10

【分析】先求出NBAC=45°,再求出AB=BC=2,最后求解即可。

14.【答案】16

【解析】【解答】解：如圖，過(guò)I〃BC,使BC與I的距離為4,再作B關(guān)于I的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B',連接CB'交I

于點(diǎn)A,過(guò)E作AELBC,

?.,直線I是BB'的中垂線，

.,.AB'=AB,A'B'=A'B,

,.?A'B'+A,C>B,C=AB+AC,

AA'B+A'OAB+AC,

?.?直線I是BB'的中垂線，

/.NB'AD=NBAD,

I〃BC,

AZB'AD=ZACB,ZBAD=ZABC,

ZABC=ZACB,

AAABC為等腰三角形，

.\BE=EC=3,

AB=AC=7XF2+BE2=5,

：.AABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=5+5+6=16.

故答案為：16.

【分析】過(guò)l〃BC,使BC與I的距離為4,再作B關(guān)于I的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B',連接CB'交I于點(diǎn)A,過(guò)E作AE

LBC,然后利用三角形三邊的關(guān)系求出當(dāng)AABC為等腰三角形時(shí)，其周長(zhǎng)最小，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

求出BE長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求AB和AC,即可解答.

15.【答案】V13;3或1

【解析】【解答】解：?.?△ABC是等邊三角形，

.\BC=AB=AC=4,

如圖，過(guò)A作AH_LBC于H,

Q

.\BH=CH=2,

VCP=3,

.,.PH=PC-CH=1,

'-"AH=y/AC2-CH2=V42-22=2班,

'-AP=7AH2+PH2=J(2圾2+12=Vi3；

過(guò)B作BE±AC于E,

當(dāng)點(diǎn)Q在線段CE之間時(shí)，連接BQ,

；.CE=AE=2,BE=AH=2k,

'：BQ=AP=V13,

-'-EQ=y/BQ2-BE2=J(V13)2-(2V3)2=1,

.,.AQ=AE+EQ=2+1=3;

當(dāng)Q'在線段AE之間時(shí)，BQ,,

-EQ'=』BQ，2_BE2=J(V13)2-(2V3)2=1-

AAQ=AE-EQ=2-1=1,

；.AQ=3或1.

故答案為：V13,3或1.

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得BC=AB=AC=4,過(guò)A作AH_LBC于H,則BH=CH=2,利用勾股定理求出

AH,AP：過(guò)B作BELAC于E,當(dāng)點(diǎn)Q在線段CE之間時(shí)，連接BQ,易得CE=AE=2,BE=AH=2同BQ=

AP=V13,由勾股定理求出EQ,進(jìn)而求出AQ;當(dāng)Q'在線段AE之間時(shí)，連接BQ',由勾股定理求出

EQ',然后根據(jù)AQ'=AE-EQZ進(jìn)行計(jì)算.

16.【答案】解：如圖，延長(zhǎng)AE交BC于F.

；.AD〃BC

,ND=NC,ZDAE=ZCFE,

又：點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，

.\DE=CE.

V^AAED與ZkFEC中，

(ND=NC

jNDAE=NCFE，

(DE=CE

.,.△AED^AFEC(AAS),

AAE=FE,AD=FC.

VAD=5,BC=10.

ABF=5

在RtAABF中，AF=JAB2+BF2=7122+52=13，

AAE=|AF=6.5.

【解析】【分析】延長(zhǎng)AE交BC于F,易得AD〃BC,由平行線的性質(zhì)得ND二NC,ZDAE=ZCFE,根據(jù)中點(diǎn)

的概念可得DE=CE,證明△AED0Z\FEC,得到AE=FE,AD=FC,則BF=BC-CF=BC-AD=5,利用勾股定理可得

AF,進(jìn)而可得AE.

17.【答案】解：不對(duì).

理由：如圖，依題意可知

AB=25(米)，A0=24(米)，Z0=90°,

BO2=AB2-A02=25-242,

BO=7(米),

移動(dòng)后,A'0=20(米)，B'02=(A'B')2-(A'0)2=252-202=152,

B'0=15(米),

：.BB'=B'0-B0=15-7=8(米).

【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出BO的長(zhǎng)度，再根據(jù)移動(dòng)后的三角形的勾股定理，求出BB'的長(zhǎng)度。

18.【答案】(1)解：VZBAC=90°,ZDAE=90°,

ZBAC=ZDAE.

,/ZBAC=ZBAD+ZDAC,ZDAE=ZCAE+ZDAC,

ZBAD=ZCAE.

VAB=AC,AD=AE,

.".△ABD^AACE.

.,.BD=CE.

VBC=BD+CD,

.\BC=CE+CD.

(2)2+V2

(3)BC=CD-CE;BC=CE-CD

【解析】【解答】(2)應(yīng)用：在RtZkABC中，AB=AC=&,

AZABC=ZACB=45°,BC=2,

VCD=1,

.\BD=BC-CD=1,

由探究知，△ABD04ACE,

AZACE=ZABD=45°,

ZDCE=90°,

在RtABCE中,CD=1,CE=BD=1,

根據(jù)勾股定理得，DE=V2,

/.△DCE的周長(zhǎng)為CD+CE+DE=2+V2

故答案為：2+V2.(3)拓展：①同探究的方法得，△ABD/AACE.

.\BD=CE

.\BC=CD-BD=CD-CE,

故答案為BC=CD-CE;

②同探究的方法得，△ABD/aACE.

.*.BD=CE

.\BC=BD-CD=CE-CD,

故答案為:BC=CE-CD.

【分析】(1)由NBAC=NDAE=90°,易知NBAD=NCAE,根據(jù)SAS可證明△ABD/4ACE,則BD=CE,根據(jù)

線段間的等量代換證得BC=CE+CD。(2)在Rt^ABC中，先計(jì)算出BC,然后求得BD,在Rt^BCE中，再運(yùn)

用勾股定理求得DE,最后求出4DCE的周長(zhǎng)。拓展：①同探究的方法得出△ABD/4ACE,利用全等三角

形性質(zhì)可得BD=CE,進(jìn)而得出BC=CD-CEo②同探究的方法得，△ABD/Z\ACE,可得BD=CE,進(jìn)而得出結(jié)

論BC=CE-CD?

19.【答案】(1)點(diǎn)E

(2)點(diǎn)H

(3)解：①存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7,7),理由如下：

?.?點(diǎn)P是線段0A和0B的“等距點(diǎn)”，且線段0A在x軸上，線段0B在y軸上，

可設(shè)點(diǎn)P(x,x)且x>0,

:點(diǎn)P是點(diǎn)A和點(diǎn)C的“等距點(diǎn)”，

：.AP2=CP2,

;點(diǎn)、C(8,0),A(6,0),

(%—8)2+x2=(x—6)2+x2,

解得：x=7,

...點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7,7)；②滿足條件的m的取值范圍為—6<m<0.

【解析】【解答】解：(1)根據(jù)題意得：AD=6-(-6)=12,AE=6-3=3,AF=

J(6—0)2+(0-3)2=3V5,

0D=6,0E=3,OF=3,

：.AE=OE,

...點(diǎn)E(3,0)是點(diǎn)A和點(diǎn)0的“等距點(diǎn)”；

(2)根據(jù)題意得：線段0A在x軸上，線段0B在y軸上，

二點(diǎn)G(—2,-1)至I線段0A的距離為1,到線段0B的距離為2,

點(diǎn)”(2,2)至I線段0A的距離為2,到線段0B的距離為2,

點(diǎn)/(3,6)到線段0A的距離為6,到線段0B的距離為3,

，點(diǎn)H(2,2)到線段0A的距離和到線段0B的距離相等,

...點(diǎn)H(2,2)是線段0A和OB的“等距點(diǎn)”;

(3)②如圖,

?.?點(diǎn)P是線段0A和0B的“等距點(diǎn)”，且線段0A在x軸上，線段0B在y軸上,

二點(diǎn)P在NA0B的角平分線上，

可設(shè)點(diǎn)P(a,a)且a>0,

：4(6,0),B(0,6).

.\0