2024-2025學(xué)年河南省高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年河南省新未來高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知單位向量標的夾角為方，則2（23一之）=（）

1

A.-1B.--C.0D.1

2.雙曲線C：誓一誓=1（6>0）的離心率為（）

A.A/3B.2^/3C.2D.§

3.以點（1,1）為圓心的圓C截直線y=x+2所得的弦長為24，則圓C的半徑為（）

A.1B.A/2C.2D.A/5

4.隨著暑假的來臨，中國各地旅游市場也迎來旺季.小明和小王都計劃在南京、北京、西安、廈門、杭州這5

個城市中選2個城市去旅游，則小明和小王不會去相同城市的概率為（）

1322

A.-B.-C.耳D.—

5.已知角a的終邊經(jīng)過點（一3,4）,則2sinacosa+"cos（2a+今=（）

A旦B—c——D——

a25m255525

6.如圖所示是一個無蓋的瓶子，該瓶子由上部分圓柱和下部分圓臺構(gòu)成，圓柱的底面圓的半徑為1,圓臺的

下底面圓的半徑為2,圓柱和圓臺的高相等，若該瓶子的側(cè)面積為（3避+2）心則瓶子的體積為（）

A107T

A.

B.47r

147r

c?亍

D.殍

7.已知函數(shù)/（*）=岳，則函數(shù)/（x）的圖象的對稱中心的坐標為（）

A.(—1,—3)B.(—1,3)C.(—1,—2)D.(—1,2)

8.在△力BC中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若琮火心,磊成等差數(shù)列，則焉義的最小值

COSACOSDCOSCCOSDCOSC

為()

A.3B.4C.5D.6

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

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9.已知復(fù)數(shù)z=彩，貝1()

A.z=1—i

_2025

B.z=—i

C.復(fù)數(shù)z+1是方程%2—2%+2=0的一個根

D.復(fù)數(shù)(z+l)(z+2)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第二象限

10.已知函數(shù)/(%)=支一二+1的最大值為1,貝)

A.a=0B.當租2<n2時，y(m2)</(n2)

11

c./。。北W)<f(/。。21)D.當一時，/-(%)>1-x2

11.已知拋物線C：必=2「穴0>0)的焦點?到準線的距離為2,過焦點尸且不與x軸垂直的直線與拋物線C相

交于4(均,月)，3(>2)2)兩點，過原點。作直線48的平行線與拋物線C交于另一點P,貝ij()

A,p=2

B.線段OP的中點和線段A8的中點的連線與x軸平行

C.以點0,P,A,B為頂點的四邊形可能為等腰梯形

D.\0P\—|%2—xi\

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知集合4={劃一1WxW2},B={x||x-l|<m},若4uB=B,則實數(shù)ni的取值范圍為

7T.

13.已知函數(shù)/'(久)=sin2x+sin(2x—目)在區(qū)間(0即)上有且僅有2個零點，貝!|

實數(shù)機的取值范圍為.

14.如圖，在四棱錐P-4BCD中，P41平面4BCD,底面ABCD為正方形，PA

=AB=2,點E,尸分別為CD,CP的中點，點7為△P4B內(nèi)的一個動點(包括邊

界)，若CT〃平面4EF,則點T的軌跡的長度為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)=ax+伍x+§在點(2,1(2))處的切線方程為y=x+1+ln2.

(1)求a,6的值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

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16.(本小題15分)

某學(xué)校對高三(1)班50名學(xué)生第一次模擬考試的數(shù)學(xué)成績和化學(xué)成績統(tǒng)計得到數(shù)據(jù)如下：數(shù)學(xué)成績的方差為

s洋=10,化學(xué)成績的方差為房=8,￡巴或=500500,其中如y?C。且1WJW50)分別表示這50名學(xué)生的

數(shù)學(xué)成績和化學(xué)成績，y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.4%+t.

(1)求y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r；

(2)從概率統(tǒng)計規(guī)律來看，本次考試高三(1)班學(xué)生數(shù)學(xué)成績〃服從正態(tài)分布N(〃"2),用樣本平均數(shù)I作為〃

的估計值，用樣本方差s打乍為。2的估計值.試估計該校共800名高三學(xué)生中，數(shù)學(xué)成績位于區(qū)間(96.84,106.32)

的人數(shù).

附：①回歸方程y=a+bx中：b=*=_"一"—y),a=y-bx

—%)2

X之i(符一式)(%—y)

②樣本相關(guān)系數(shù)r=

Jx^iCxt—x)2S；Li(yi—y)2

③若〃~N(〃,<J2),則p(〃—(JW〃W〃+=0.68,P(/z—2a<TJ<n+2cr)?0.95

(4)710?3.16

17.(本小題15分)

如圖，在正三棱柱ABC—a/iCi中，4B=44i=2,BlE=EC1,CF=CrF.

(1)證明：BCJ平面AiEF；

(2)若Q=AAB(0<A<1),求直線P&與平面4止F所成角的正弦值的最大值.

18.(本小題17分)

已知橢圓C：胃+居=l(a>6>0)的短軸長為2,點(1亭在橢圓C上.

(1)求橢圓C的標準方程；

⑵設(shè)點7(租,九)在橢圓C上(點T不在坐標軸上)，證明：直線方■+幾y=1與橢圓c相切;

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(3)設(shè)點P在直線x=—1上(點P在橢圓C外)，過點P作橢圓C的兩條切線，切點分別為4B,。為坐標原點，

若APAB和△04B的面積之和為1,求直線的方程.

19.(本小題17分)

歐幾里得在《幾何原本》中證明算術(shù)基本定理：任何一個大于1的自然數(shù)，可以分解成有限個素數(shù)的乘積,

如果不考慮這些素數(shù)在乘積中的順序，那么這個乘積形式唯一的.對于任意正整數(shù)小記/(九)為n的所有正因

數(shù)的個數(shù)，g(n)為ri的所有正因數(shù)的和.

(1)若數(shù)列斯=/(3"),0=g(3'),求數(shù)列cn=?。莸那皫醉椇陀?

(2)對互不相等的質(zhì)數(shù)p、q、r,證明：/(p3q2r)=/(p3)/(q2)/(r),g(p3q2r)=g(p3)g(q2)g&),并求荒喋林

的值.

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參考答案

l.c

2.C

3.0

4.B

5.D

6.A

7.C

8.4

9.SC

IQ.ACD

11.ABD

12.[2,+8)

[2IT13TT->

",(丘IT」

14.字

15.解：(l)f(%)的定義域為(0,+8),

由題知,/(2)=3+ln2=2a+ln2+即4a+b=6①,

又/'(X)=a+/_備，所以尸(2)=a+,_：=1,即4a—b=2②,

聯(lián)立①②解得a=1,6=2.

(2)由⑴知，尸(%):=j+,_登+2誓-1),fQ)=x+)x+|,

當0<%<1時,/''(%)<0,當久>1時，f(x)>0,

所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),

所以當久=1時，/(x)取得極小值-1)=3,無極大值.

16.解：⑴因為的=奈昌(陽一x)2=10用=奈當y)2=8,

所以￡出(％-x)2=500,￡出(%-y)2=400,

又b=X。式”-X)*-y)=￡二式％一久)(%—y)=04,

比1(4—久)2500

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所以萬當(招一%)(%->)=200,

m?、Ix)(%-y)一200=委

所以r=1-------Z----------—7500X400~~s~;

婕式修—光)2鵬(%—y)2

__2

(2)因為￡昌(%一工)2=￡當?shù)伞?0x=500,￡昌蠟=500500,

_2

所以500500—50%=500,

解得x=100,即4=100,

因為》=10,所以(i=3.16,

所以數(shù)學(xué)成績4服從正態(tài)分布N(100,10),

因為P(96.84<r)<106.32)=P(〃—a<r)<(j.+2cr)

=P(〃—(T<7/<0)+P(0<T]<[1+20)

=^-P(/z—。<〃<〃+(7)+；P(ju—2(J<T)<[I+2。)

~1x0.68+1o.95-0.815,

所以該校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績位于區(qū)間(96.84,106.32)大約有800x0.815=652人.

17.(1)證明：取BC的中點0,連接。4OE,

因為。，E分別為BC,Bi。的中點，且三棱柱4BC—為正三棱柱，

所以。E_L平面4BC,

又4。，BCu平面ABC,所以。EIBC,0E14。，

因為△&8C為正三角形，所以4018C,

故OC,OA,OE兩兩垂直，

以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則8(-1,0,0),Ci(l,0,2)/i(0,4,2),E(0,0,2),F(l,0,1),4(0,居0)，

所以港=(0,—4,0),而=(1,一8,一1),西=(2,0,2),

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因為硬?跖=(0,—^,0)?(2,0,2)=0,而?瓦=(1,一書,一1)?(2,0,2)=0,

所以BCJAIE,BQ1&F,

y.A1ECtA1F=A1,ArE,々Fu平面占后凡

所以BC—平面&EF.

(2)解:由(1)知,碩=(0,0,-2),同=(一1,一居0)，

所以ZiP=A1A+AP—AIA+A.AB=(0,0,—2)+A(—1,—y/^,0)=(—A,——2),

由(1)知，平面&EF的一個法向量為展=(2,0,2),

記直線P&與平面&EF所成角為仇

I布?麗=⑷+41=典Q+2)2_"X1十奴+3

則sin。=~2網(wǎng)4入2+4-丁X

I砌?I兩A2+14十入2+1

令44+3—t,則A——,

所以常1=」李=甘藍三玨*=4,當且僅當t=5,即4/時等號成立,

所以S譏"

所以直線P4與平面AEF所成角的正弦值的最大值為孚.

4

但+我21=i「

18.解：（1）由題知，年十一^一，解得a=",6=1,

2b=2

7

所以橢圓C的標準方程:+y2=i.

2

（2）證明：因為點?⑺刀）在橢圓C上，所以拳+層=1,即/+2*=2,

笆+產(chǎn)=]

聯(lián)立施+ny=]消去y整理得（2話+m2）%2—4mx+4—4n2=0,

即2/—4nix+2nl2=o,即（久—m）2=o,顯然方程有唯一解,

所以直線等+ny=1與橢圓C相切.

⑶設(shè)%）,8。2,。2），P（—l,t），

將x=—l代入9+必=1,解得y=士孚，

因為點P在橢圓C外，所以t<—孝或t>字，所以2t2—1〉0,

由（2）可得，切線P4PB的方程分別為罟+%y=l,等+y2y=1，

因為點p在切線pa,PB上，所以-2r1+2=1廠2支2+,及=1，

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所以點A,8在直線~^+ty=1,即直線ZB的方程為％—2ty+2=0,

聯(lián)立{：2；即*2==°0得(2/+1)產(chǎn)—4ty+1=0,/>0,

貝M+72=2/；=丞21K

所以|4B|=44t2+1,(%+及)2-4yly2=另4t2+1、值慝不)2?-左二

_2j(4t2+l)(2t2-l)

2t2+1，

記點。，P到直線4B的距離分別為心，d2,

而，2,12t2—1|2t2-1

人」詢-謬不142-聲甲T一^TT

因為△P48和△04B的面積之和為1,

所以54B|(di+d2)=V⑷2；；譽2-11X+^=)=N2t2—1=1,

解得t=±1,所以的方程為x-2y+2=0或％+2y+2=0.

19.解：(1)由題意可知:3n的正因數(shù)有3。，3*1,32,…，3n,

nn

則冊=/(3)=n+l,bn=5(3)=30+31+32+…+3幾=1=3"+「,

r/曰3/,3"+i,4X3"+111、

可付“==^ix^i=(3"+I_1)(3"+2_1)=2-^^7)，

rr_11,11,11_12

hIc+-4+，,+n+1-n+2A--n+2

rnr-33-133-13-1?3-13-1^43-1'

(2)證明：若%為質(zhì)數(shù)，則/(%九)=71+12(%九)=]+%+—+