2024-2025學(xué)年蘇科版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷（第1-2章）

2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期第一次月考

數(shù)學(xué)試題，

考試內(nèi)容：第1至2章，滿分120分，難度系數(shù)：0.65

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2+1=-8B.ax2+bx+c=O

C.X2-2X+1=X2+5D.2x2-y-l=0

【答案】A

【分析】此題主要考查了一元二次方程定義，利用一元二次方程定義進(jìn)行解答即可.關(guān)鍵是掌握一元二

次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無

未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

【詳解】解：A、/+1=-8,是一元二次方程，故此選項(xiàng)符合題意；

B、ax2+bx+c^O,當(dāng)。=0,6片0時(shí)，是一元一次方程，故此選項(xiàng)不合題意；

C、X2-2x+l=x2+5,即-2x+l=5,是一元一次方程，故此選項(xiàng)不合題意；

D、2^-y-l=0,含有2個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：A.

2.關(guān)于x的整系數(shù)一元二次方程依2一法+。=0（4工0）中，若是偶數(shù)，c是奇數(shù)，則（）

A.方程沒有整數(shù)根B.方程有兩個(gè)相等的整數(shù)根

C.方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根D.不能判定方程整數(shù)根的情況

【答案】A

【分析】本題考查一元二次方程根，假設(shè)出方程解的情況，當(dāng)有奇數(shù)時(shí)與有偶數(shù)時(shí)，分別討論即可求

出.熟練掌握奇數(shù)、偶數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：是偶數(shù)，。是奇數(shù)，

???。、b是偶數(shù),c是奇數(shù)，或者a、b、。都是奇數(shù)；

①b是偶數(shù),c是奇數(shù)，

當(dāng)方程有奇數(shù)解時(shí)，方程x（依+b）—c=。，

左邊=奇x（偶x奇+偶）-奇=奇片0=右邊；

當(dāng)方程有偶數(shù)解時(shí)，方程M歐+3-c=0,

左邊=偶、（偶x偶+偶）-奇=奇彳0=右邊;

方程沒有整數(shù)解；

②a、b、c都是奇數(shù),

當(dāng)方程有奇數(shù)解時(shí)，方程x（依+3-。=0,

左邊=奇、（奇x奇+奇）一奇=奇力0=右邊；

當(dāng)方程有偶數(shù)解時(shí)，方程M依+3-C=O,

左邊=偶、（奇x偶+奇）-奇=奇/0=右邊；

；?方程沒有整數(shù)解；

綜上所述，方程沒有整數(shù)根；

故選：A.

3.若關(guān)于尤的一元二次方程近2-6x+9=0有實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍是（）

A.k<lB.kWlC.k<l,且左看0D.k<l,且左wO

【答案】D

【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式列出關(guān)于女的不等式，求出％的取值范圍即可.本題主

要考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的根的判別式.

【詳解】解：,關(guān)于》的一元二次方程近2_6尤+9=0有實(shí)數(shù)根，

A=（-6）2-4x^x9=36-36?l>0,ZRO,

解得：kWl,且左w0

故選：D.

4.關(guān)于x的方程/_25+/+從=。有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若”,瓦c是VABC的三邊長，則這個(gè)三角形一定

是（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，勾股定理逆定理.由關(guān)于x的方程￡-25+/+/=o有兩

個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得A=（-2c）2-4（a2+〃）=o,整理得,2=4+廿，根據(jù)勾股定理逆定理判斷VA5C的

形狀即可.

【詳解】解：：關(guān)于尤的方程*-25+/+/=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

/.A=（-2C）2-4（/+〃）=0,整理得0?=/+廿，

.?.VABC是直角三角形，

故選：B.

5.如圖，。。是VABC的內(nèi)切圓，若NA=80。，則，30c的度數(shù)為（）

A.40°B.150°C.130°D.100°

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓的定義，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到

ZABC+ZACB=180°-ZA=100°,再根據(jù)三角形內(nèi)切圓圓心是其角平分線的交點(diǎn)得到

=NOCB=g/ACB,據(jù)此求出NO3C+NOCB=50。，則由三角形內(nèi)角和定理可得答

案.

【詳解】解：???NA=80。,

Z.ZABC+ZACB=180°-ZA=100°,

0。是VABC的內(nèi)切圓，

03、OC分別平分NASC、ZACB,

：.ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

ZOBC+ZOCB=-ZABC+-ZACB=50°,

22

ZBOC=180°-ZOBC-ZOCB=130,

故選：C.

6.下列敘述正確的是（）

A.平分弦的直徑垂直于弦B.三角形的外心到三邊的距離相等

C.相等的弧所對的圓心角相等D.相等的圓周角所對的弧相等

【答案】C

【分析】本題綜合考查了垂徑定理推論、三角形的外心和內(nèi)心的性質(zhì)，圓周角定理的推論，解答關(guān)鍵是

熟練掌握相關(guān)性質(zhì)或定理.

【詳解】解：A、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、相等的弧所對的圓心角相等，原說法正確，符合題意；

D、同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：c.

7.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，且點(diǎn)O是優(yōu)弧A3的中點(diǎn)，連接A。，若鉆=AC,ZACD=50°9

則一ABC的度數(shù)為（）

A.65°B.70°D.80°

【答案】D

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).也考查了圓周角定理.連接30,

如圖，根據(jù)圓周角定理得到mR=ZDSA=Z4CD=50。，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到NBC。=130。,

則可計(jì)算出ZACB=80°，然后利用鉆=AC得到ZABC的度數(shù).

【詳解】解：連接5。，如圖,

丁點(diǎn)。是優(yōu)弧的中點(diǎn),

:.ZDAB=ZDBA,

:ZDBA=ZACD=50°,

:.ZDAB=50°,

vZZMB+ZBCZ)=180o,

\?BCD180?50?130?,

/.ZACB=ZBCD-ZACD=130°-50°=80°,

\AB=AC,

:.ZABC=ZACB=S0°.

故選：D

8.某項(xiàng)目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑.小敏同學(xué)想到了如下

方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于A、5、C、￡）四點(diǎn)，然后利

用刻度尺量得該紙條的寬為3.5cm,AB=4cm,CD=3cm.請你幫忙計(jì)算紙杯杯底的直徑為（）

A.4.8cm

【答案】B

【分析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理.由垂徑定理求出BN,CN的長，設(shè)ON=x,由勾股定

理得到V+22=（3.5-X）2+L52,求出尤的值，得到ON的長，由勾股定理求出OB長，即可求出紙杯的直徑

長.

【詳解】解：如圖，MN1AB,過圓心。，連接O￡>,OB,

..MN=3.5cm,

AB//CD,

:.MN±CD,

CM=|CD=1x3=1.5(cm),BN=gAB=gx4=2(cm),

設(shè)ON=xcm,

:.OM=MN-ON^(3.5-x)cm,

■.■OM2+MC2=OC2,ON-+BN-=OB-,

OM2+MC2=ON2+BN2,

(3.5-%)2+1.52=X2+22,

..JV—1.5,

:.ON=1.5(cm),

OB=[ON、MB。=A/1.52+22=2.5(cm),

紙杯的直徑為2.5x2=5（cm）.

故選：B.

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

9.方程2f_32=0的根是.

【答案］占=4,無2=—4

【分析】本題考查了解一元二次方程，先將常數(shù)項(xiàng)移到等式的右邊，再將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,最后利用直

接開平方法解一元二次方程即可.

【詳解】解：：2/-32=0,

/.=32,

?*-x2=16>

10.關(guān)于尤的一元二次方程％2_2〃吠+蘇=4有兩個(gè)根再、9（%>玉），且滿足％=2馬+3,則他的值

為.

【答案】-9

【分析】本題考查一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)%+尤2=-±,占％=上列式結(jié)合玉=29+3求解即

aa

可得到答案；

【詳解】解：:關(guān)于工的一兀二次方程爐—2S+M=4有兩個(gè)根再、入2（工2>%1）,

玉+/=2m,二根2—4,

*.*x=2X2+3,

2

(2X2+3)/=m-4,2X2+3+々=2m,

2m-3

3

.2m—3-2m—3

Z.(2x-----+3)x------=m2—4,

33

解得：叫=3,m2=-9,

當(dāng)班=3時(shí)，％=￡手上=1,%=2xl+3=5>%,故叫=3不符合題意舍去,

當(dāng)外=一9時(shí)，無2=2'(?-3=_7,^=2X(-7)+3=-11<X2,符合題意,

故答案為：-9.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系無Oy中，VABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則VABC外接圓的半徑為.

【答案】事

【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心、兩點(diǎn)間的距離公式，假設(shè)VABC的外接圓的圓心為點(diǎn)G,

則點(diǎn)G必在線段A8的垂直平分線上，即點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為2,設(shè)點(diǎn)G（a,2）,由三角形外接圓的性質(zhì)得

GB=GC,得出（a-l）2+（2-l）2=（a-4『+（2-4）2,求出。的值，即可得出答案.

【詳解】解：假設(shè)VASC的外接圓的圓心為點(diǎn)G,則點(diǎn)G必在線段的垂直平分線上，即點(diǎn)G的縱坐標(biāo)

為2,

設(shè)點(diǎn)G（a,2）,

由圖可得：3（1,1）,C（4,4）,

由三角形外接圓的性質(zhì)得G3=GC,

GB2=GC2,

.?.（a-1）2+（2-iy=（a-4）2+（2-4）2,

解得:a=3,

.?.G(3,2),

GB=J(3_+(2_1J=V5,

VABC外接圓的半徑為君，

故答案為：乖.

12.如圖，將邊長為15的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把VABC沿著4。方向平移，得到

△AB'C,當(dāng)兩個(gè)三角形重疊部分的面積為56時(shí)，它移動(dòng)的距離AA'等于.

【答案】7或8/8或7

【分析】本題考查正方形和圖形的平移，一元二次方程的應(yīng)用，由平移的性質(zhì)可知陰影部分為平行四邊

形，設(shè)A4'=x,根據(jù)題意陰影部分的面積為x(15-x)=56,解方程即可求解.熟練掌握平移的性質(zhì)，正

方形的性質(zhì)，列出方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】設(shè)A4'=x,AC與AE相交于點(diǎn)G,

：AACD是正方形A2CD剪開得到的，

AACO是等腰直角三角形，

ZA=45°,

二△AA'G是等腰直角三角形，

AG=AA=x,

AD=AD-AA=15-x,

???兩個(gè)三角形重疊部分的面積為56,

/.x(15-x)=56,

解得%=7,%=8,

即移動(dòng)的距離A4'為7或8.

故答案為：7或8.

13.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABC。兩組對邊的延長線分別交于點(diǎn)E,F,且NE=45。，ZF=35°,則

NA=?

【答案】50°

【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到48=180。-NA,根據(jù)三

角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可

【詳解】解：：四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

/.ZBCD=180°-ZA,

?/ZCBF=ZA+ZE,ZDCB=ZCBF+ZF,

180°-ZA=NA+NE+NE即180°-ZA=ZA+45°+35°,

解得ZA=50。,

故答案為：50°

14.如圖，某圓錐形山峰，圓錐底面半徑為限m,母線長為46km,欲從A處修一條最近的盤山公路

到景點(diǎn)B（B位于母線h的中點(diǎn)處），那么這條盤山公路的長度是____km.

【答案】2厲

【分析】此題考查了圓錐的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握圓錐的底面圓的周長和扇形弧長相等是解

題關(guān)鍵.將圓錐沿母線展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：即為盤山公路的長度；設(shè)展開圖的圓心角

為限,根據(jù)圓錐的底面周長是展開的扇形的弧長，可得也遞=26兀，從而求得〃的值；再利用勾股

180

定理即可求得AB的長，從而完成解答.

【詳解】解：如圖，將圓錐展開得展開圖，B為PA的中點(diǎn)，連接A8,則是這條盤山公路的長度，設(shè)

展開圖的圓心角為廢.

???圓錐的底面半徑是6，

A4t的長為2冗x6=26n，

?〃兀x4百8

,,-----------273Tl，

180

解得：〃=90,

?*.AB=J(4呵+(2商=2/(km)，

故答案為：2席.

15.某廠家要設(shè)計(jì)一個(gè)裝彩鉛的紙盒，已知每支筆形狀、大小相同，底面均為正六邊形，六邊形的邊長

為1cm,目前廠家提供了圓形和等邊三角形兩種作為底面的設(shè)計(jì)方案，我們以6支彩鉛為例，可以設(shè)計(jì)如

圖收納方案一和收納方案二，你認(rèn)為底面積更小的是方案，兩種方案底面積差為(結(jié)果保留根

號(hào))

A

方案一方案二

【答案】二(9兀-126km2

【分析】本題考查正多邊形與圓，等邊三角形的性質(zhì),勾股定理等知識(shí)，利用圓面積，等邊三角形的面

積，即可得出答案.

【詳解】如圖1中，圓的半徑為3cm,

指

-底面積為9萬(cm-).

圖1

如圖2中，連接。4,OD.

A

/ION?;OD=2,N(MD=30。,ZADO=9Q0,

ADC

圖2

：.OA=2OD=4,

AD=VOA2-OD2=2上，

???等邊三角形的邊長AC=4指,

???底面積/『=126<9兀,

，等邊三角形作為底面時(shí)，面積比較小，底面積為126cm2,

兩種方案底面積差為（9萬-12代卜病，

故答案為：方案二，（9^-12V3）cm2.

16.如圖，AB.C。是。。中的兩條弦，相交于點(diǎn)E,且ABLCD,=點(diǎn)以為劣弧AD上一動(dòng)

點(diǎn)，G為"E中點(diǎn)，若CB=1,DE=7,連接AG,則AG最小值為.

【答案】2^2-1

22

【分析】本題考查的重點(diǎn)是垂徑定理，解直角三角形，中位線等知識(shí)，難點(diǎn)是找點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，當(dāng)找

到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡以后再利用兩點(diǎn)之間直線最短就可以計(jì)算出AG的最小值.

連接A。DO,過點(diǎn)。作OK_LAE,交AE于點(diǎn)K,OFLCD,交DE于點(diǎn)、F,構(gòu)造正方形，計(jì)算圓的

半徑，然后作OE的中點(diǎn)連接MG,連接OH,推導(dǎo)出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心的圓，連接

AAf與圓M的交點(diǎn)就是AG的最小值.

【詳解】解：如圖所示，連接4。DO,過點(diǎn)。作。KJ_AE,交AE于點(diǎn)K,OF1CD,交OE于點(diǎn)

F,

VCE=1,DE=1,

：.CD=CE+DE=1+1=8,

,?OFLCD,

CF=DF=-CD=4

2f

:.EF=CF—CE=4—1=3,

VAE=DE,OA=OD,OE=OE,

：.△AOE^ADOE(SSS),

/.ZAEO=ZDEO=-ZAED=45°,

2

VOKLAE,OF工CD,

：.OK=OF,

*：ZAED=90°,

???四邊形OKEF是正方形，

OK=KE=EF=OF=3,

?*-OA=OD=ylOF2+DF2=A/32+42=5,OE=y/OF2^EF2=372

如圖所示，作OE的中點(diǎn)M,連接MG,連接OH,

:點(diǎn)”是。E的中點(diǎn)，G為HE中點(diǎn)，

/.MG=-OH=~,

22

???點(diǎn)G在以點(diǎn)”為圓心，以|■為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

2

連接AM交0M于點(diǎn)G',過點(diǎn)M作

當(dāng)點(diǎn)AG,M三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)G和點(diǎn)G'重合時(shí)，AG的值最小,

:點(diǎn)”是OE的中點(diǎn)，EA/=^0E=述，

22

VMNLAE,NNEM=45°,

：.ZNME=45°,

AMWE是等腰直角三角形，

MN=EN=—ME=-,

22

311

：.AN=AE-NE=7——=一，

22

22

?.AM=^]AN+MN==孚,

AG=AM-GM

22

，AG的最小值為'型一』，

22

故答案為：叵-之.

22

三、解答題（本大題共10小題，共72分）

17.（本題6分）解方程:

⑴fTx+ZnO.⑵2(X-5)2=X(X-5)

【答案】

（1）玉=2+應(yīng)，々=2-3（2）芭=5,x2=10

【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)配方法解一元二次方程即可；

（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可.

【詳解】

（1）解：x2-4.r+2=0,

X2-4x=-2,

X2-4X+22=-2+22,

(x-2)2=2,

x-2—i^/2，

玉=2+\/2,%=2-A/2；

(2)解：2(x-5)2=x(x-5),

2(x—5)2—x(x—5)=0,

(x—5)[2(x—5)—x]=0,

(x-5)(x-10)=0,

%—5=0或%—10=0,

x,=5,x2=10.

18.（本題6分）已知關(guān)于x的一元二次方程依2-（左-3）x-2左+3=0（左/0）.

（1）求證：此一元二次方程總有實(shí)數(shù)根；

⑵設(shè)此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為4，七,若三;為整數(shù)，求整數(shù)上的值.

【答案】（1）見解析（2）4=2或4或6

【分析】本題考查了一元二次方程"2+bx+c=0（aW0）根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，解決本題

的關(guān)鍵是熟練掌握公式：①A>0o方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②A=。。方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;

bc

③AcOo方程沒有實(shí)數(shù)根；④玉+龍2=--,七子=-.

aa

（1）根據(jù)根的判別式△=〃_4w20,即可證明出方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）利用根與系數(shù)關(guān)系求出再+%2，再?32,從而列出關(guān)于左的式子，根據(jù)為整數(shù)即得出結(jié)果.

【詳解】（1）證明：△=［一傳一3）丁一4*左><（-2左+3）=9/一184+9=9（左一1）2.

???無論左為何實(shí)數(shù)，總有9（%-1）?N0；即：A>0,

，一元二次方程總有實(shí)數(shù)根.

（2）解：據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得占+無2=“一1a，占尤2=一，，“^*a，

kk

-2%+3

xxx2_k_-2k+3

石+x2k—3k-3

~T~

-2k+3七-2（k-六3}-37一三3為整數(shù)，且％為整數(shù)?

玉+x2k-3

/.k—3=±1,±3,

二左=4或2或6或0.

又歸W0,

「"=2或4或6.

19.（本題6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOv中，4（0,4）、3（T,4）、C（-6,2）.

(1)在圖中畫出經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心Af的位置，并寫出圓心M的坐標(biāo)；

(2)0M的半徑為；

(3)點(diǎn)0到。"上最近的點(diǎn)的距離為.

【答案】⑴見解析，(-2,0)(2)275(3)2乒2

【分析】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及垂徑定理，利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)得到圓心知的

坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

(1)利用網(wǎng)格特點(diǎn)，作A8和的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為M點(diǎn)，利用垂徑定理的推論可判斷點(diǎn)M

為經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心；

(2)利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出MC即可；

(3)過。點(diǎn)的半徑可得到點(diǎn)。到0"上最近的點(diǎn)，則點(diǎn)。到上最近的點(diǎn)的距離為2君-2.

【詳解】⑴如圖，點(diǎn)M為所作；點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,0)；

故答案為：(-2,0)；

(2)?.?C(-6,2),M(-2,0),

MC=7(-6+2)2+22=275,

即。M的半徑為2君，

故答案為：2正；

(3)?/OM=2,

???點(diǎn)0到QM上最近的點(diǎn)的距離為2宕-2.

故答案為：2--2.

20.(本題6分)如圖，。。的弦A3、DC的延長線相交于點(diǎn)E.

(1)如圖1,若AO為120。，BC為50。，求NE的度數(shù);

(2)如圖2,若AE=DE,求證：AB=CD.

【答案】(1)NE=35°(2)見解析

【分析】(1)先求出/AC。，/8AC的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出答案;

(2)先根據(jù)“ASA”證明△ACE0ZXOBE,得出8E=CE,再結(jié)合已知條件得出答案即可.

【詳解】(1)連接AC,

圖1

?.'AD為120°,BC為50°,

ZACD=-xl20o=60o,ABAC=-x50°=25°,

22

NE=ZACD-ZBAC=60°-25°=35°；

(2)證明：連接AC、BD,

BC=BC，

：.ZA^ZD,

在△ACE和△OBE中,

ZA=ZD

<AE=DE,

ZE=ZE

r.AACE^ADBE(ASA),

；.BE=CE,

?：AE=DE,

：?AE-BE=DE-CE,

即AB=CD.

21.(本題6分)如圖，AB是。。的直徑，E是。。上一點(diǎn)，AC平分工&1E,過點(diǎn)。作CD_LAE交

AE延長線于點(diǎn)。.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若AB=6,ZBAC=30°,求陰影部分的面積.

【答案】(1)見解析；(2)y

【分析】(1)連接OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N84C=NACO,推出A0//OC,根據(jù)平行線的性質(zhì)

得到NOCD=90。，于是得到CD是。。的切線；

(2)求出NOE4=NEOC=60。，由扇形的面積公式可得出答案.

【詳解】(1)連接OC,

;OC=OA,

：.ZBAC=ZACOf

??,AC是NBA。的平分線，

：.ZDAC=ZBACf

：.ZDAC=ZACO,

：.ADIIOC,

.,.ZOCD+ZZ)=180°,

VCD1AE

???ZCDA=90°,

：.Z00)=90°,

???CD是。。的切線.

D

(2)連接CE,OE,

AB=6,

：.OC=OE=3,

9

：ABAC=ZDAC=30°,OA=OE9

：.ZOEA=ZEOC=60°f

:.^AOE和AEOC為等邊三角形

.\ZOEC=ZAOE=ZEOC=60°

JCE//AB,

??S/^CEO=S/XCAE，

22.（本題6分）燕幾（即宴幾）是世界上最早的一套組合桌，設(shè)計(jì)者是北宋進(jìn)士黃伯思.全套燕幾一共

有七張桌子，每張桌子高度相同.其桌面共有三種尺寸，包括2張長桌、2張中桌和3張小桌，它們的寬

都相同.七張桌面可以拼成一個(gè)大的長方形，或者分開組合成不同的圖形，其方式豐富多樣，燕幾也被

認(rèn)為是現(xiàn)代七巧板的前身.右圖給出了《燕幾圖》中列出的名稱為“函三”和“回文”的兩種桌面拼合方

式.若全套七張桌子桌面的總面積為61.25平方尺，則長桌的長為多少尺？

函三回文

【答案】7

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，結(jié)合圖形表示出小桌、中桌、長桌的長是解題的關(guān)鍵.

設(shè)每張桌面的寬為x尺，結(jié)合圖形分別表示出小桌、中桌、長桌的長，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求

解.

【詳解】解:設(shè)每張桌面的寬為x尺，

根據(jù)圖形可得：小桌的長為2無尺，中桌的長為3x尺，長桌的長為4x尺，

故可得2x4/+2x3/+3x2尤2=61.25,

77

解得：X]=-,x2=--(舍去)，

；.4x=7,

答：長桌的長為7尺.

23.(本題8分)請用無刻度直尺按要求畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡.(用虛線表示畫圖過程，實(shí)線

表示畫圖結(jié)果)

(1)如圖1,VABC內(nèi)接于OO,ZA=70°,請?jiān)趫D中畫一個(gè)含有20。圓周角的直角三角形；

(2)如圖2,VABC為。。的內(nèi)接三角形，。是A3的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，請畫出NA4c的角平分線.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，圓周角定理，三角形的重心，角平分線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

(1)連接08,OC,延長CO交0。于。，/BCD即為所求；

(2)連接BE,交于點(diǎn)連接AAf并延長交BC于N,連接ON并延長交。。于尸，連接AF,則射

線的即為所求.

【詳解】(1)解：連接OB,OC,BD,由圓周角定理可知N3OC=2/4=140。，

OB=OC,

.5。=—^=2。。，

C

延長co交。。于。，R%BCD即為所求;

(2)連接BE,CO交于點(diǎn)連接AM并延長交8C于N,連接ON并延長交。。于F，連接AF,

,。是AB的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，

M為7ABe的重心，則AN為VA2C中BC邊上的中線，

為2C的中點(diǎn)，

/.ON垂直弦BC且平分BC，

：.ZBAF=ZCAF,

C

則射線AF即為所求.

24.(本題8分)如圖，圓。中兩條互相垂直的弦AB,CD交于點(diǎn)E.

(1)M是C。的中點(diǎn)，0M=3,CD^12,求圓。的半徑長；

(2)點(diǎn)尸在CO上，且CE=EF,求證：AFLBD.

D

【答案】(1)375；(2)見解析.

【分析】(1)根據(jù)“是。。的中點(diǎn)，0M與圓。直徑共線可得OM_LCD,平分CD,則有MC=6,

利用勾股定理可求得半徑的長；

(2)連接AC,延長A歹交8。于G,根據(jù)CE=EF,AE1FC,可得AF=AC,Z1=Z2,利用圓周角

定理可得Z2=ZD,可得〃=ND,利用直角三角形的兩銳角互余，可證得/AG6=90。，即有

AF±BD.

【詳解】(1)解：連接。C,

是C。的中點(diǎn)，OM與圓。直徑共線

OMVCD,平分C。，

：.ZOMC=90°

vCD=12

:.MC=6.

在RtZXOMC中.

OC=\JMC2+OM2

=V62+32

=3A/5

...圓。的半徑為3A后

(2)證明：連接AC,延長Ab交8。于G.

?;CE=EF,AE1FC

:.AF=AC

又?：CE=EF

.-.Z1=Z2

BC=BC

r.N2=ZD

.-.Z1=ZD

在Rt^BED中

"+4=90°

.-.Zl+ZB=90°

,-.ZAGB=90°

:.AF±BD

25.（本題8分）直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活.某電商在