九年級數(shù)學(xué)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)培優(yōu)教程

PAGEPAGE6九年級數(shù)學(xué)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)培優(yōu)教程【考點.方法.破譯】理解懂得二次函數(shù)的圖像的開口、對稱軸、頂點坐標與a、b、c的關(guān)系；會根據(jù)圖像推斷a、b、c及相關(guān)式子的符號；能借助二次函數(shù)的圖像進行推理探究；學(xué)會進行數(shù)形轉(zhuǎn)化，能從圖形中抽象出數(shù)量關(guān)系，建立方程模型和不等式模型求解.【經(jīng)典.考題.賞析】【例1】（陜西）根據(jù)下表中的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值，可判斷二次函數(shù)的圖象與x軸()A.只有一個交點B.有兩個交點，且它們分別在x軸兩側(cè)C.有兩個交點，且它們均在y軸同側(cè)D.無交點x…-1012…y…-1-2…【解法指導(dǎo)】本題要先畫出啊、二次函數(shù)的圖像。根據(jù)對稱性知（1，-2）是拋物線的頂點，且其開口向上。因而二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點，且它們分別在y軸兩側(cè)。本題應(yīng)選B?！咀兪筋}組】1.（蘇州）初三數(shù)學(xué)課本上，用“描點法”畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像時，列了如下表格：x…-2-1012…y…-4-2…根據(jù)表格上的信息回答問題：該二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x=3時，y=。2.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如下表：x…-101234…y…1052125…求該二次函數(shù)的關(guān)系式；當x為何值時，y有最小值，最小值是多少？若兩點A(m,y1),B(m+1,y2)都在該函數(shù)的圖像上，試比較y1與y2的大小.【例2】（荊門）函數(shù)y=ax+1與y=ax2+bx+c（）的圖像可能是（）【解法指導(dǎo)】本題應(yīng)用逐一排除法.解：兩函數(shù)圖像與y軸交于同一點（0,1），A不正確；B中直線中a>0，拋物線中a<0,不正確；D中直線的a<0，拋物線中a>0，不正確。故應(yīng)選C?！咀兪筋}組】3.（嘉興）已知，在同一直角坐標系中，函數(shù)y=ax與y=ax2的圖像有可能是（）4.(蘭州)在同一直角坐標系中，函數(shù)y=mx+m和函數(shù)y=-mx2+2x+2(m是常數(shù)，且)的圖像可能是（）5.（蘭州）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則一次函數(shù)y=-bx-4ac+b2與反比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖像大致為（）【例3】（包頭）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于點（-2,0）、（x1，0），且1<x1<2,與y軸的正半軸的交點在(0,2)的下方。下列結(jié)論：(1)4a-2b+c=0;(2)a<b<0;(3)2a+c>0;(4)2a-b+1>0.其中正確的個數(shù)是個。【解法指導(dǎo)】答案：4本題考查二次函數(shù)圖像的畫法、識別理解、方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識和數(shù)形結(jié)合能力。根據(jù)題意畫大致圖像如圖所示，由y=ax2+bx+c與x軸交于點（-2,0）得，所以（1）正確；由圖像開口向下知a<0,由y=ax2+bx+c的圖像與x軸的另外一個交點坐標為（x1，0）且1<x1<2,則該拋物線的對稱軸為，由a<0得b>a,所以結(jié)論（3）正確。由4a-2b+c=0得2a-b=,而0<c<2,所以-1<<0,所以-1<2a-b+1<0,所以2a-b+1>0,所以結(jié)論（4）正確。點撥：4a-2b+c=0是否成立，也就是判斷當x=-2時，y=ax2+bx+c的函數(shù)值是否為0；判斷y=ax2+bx+c中a的符號需要利用拋物線的開口來判斷，開口向上a>0,開口向下a<0；判斷a、b的大小關(guān)系時，可利用對稱軸的值的情況來判斷；判斷a、c的關(guān)系時，可利用由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的值的范圍來判斷；2a-b+1的值情況可用4a-2b+c=0來判斷?！咀兪筋}組】6.（齊齊哈爾）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（）的圖像如圖所示，則下列結(jié)論：（1）ac>0;(2)方程ax2+bx+c=0的兩根之和大于0；（3）y隨x的增大而增大；（4）a-b+c<0,其中正確的個數(shù)（）A.4個B.3個C.2個D.1個7.（南京）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（）的圖像如圖所示，有下列四個結(jié)論：（1）b<0;(2)c>0;(3)b2-4ac>0;(4)a-b+c<0,其中正確的個數(shù)有（）A.1個B.2個C.3個D.4個8.（深圳）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（）的圖像如圖所示，若點A（1，y1）、B(2,y2)是它圖像上的兩點，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A.y1<y2B.y1=y2C.y1>y2D.不能確定【例4】（河北）如圖，正方形ABCD的邊長為10，四個全等的小正方形的對稱中心分別在正方形ABCD的頂點上，且它們的各邊與正方形ABCD各邊平行或垂直。若小正方形的邊長為x,且,陰影部分的面積為y，則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的大致圖像是（）【解法指導(dǎo)】解：.本題應(yīng)選D.【變式題組】9.（長春）如圖，動點P從點A出發(fā)，沿線段AB運動至點B后，立即按原路返回，點P在運動過程中速度大小不變，則以點A為圓心，線段AP長為半徑的圓的面積S與點P的運動時間t之間的函數(shù)圖像大致為（）10.（臨沂）如圖，已知正三角形ABC的邊長為1，E、F、G分別是AB、BC、CA上的點，且AE=BF=CG，設(shè)三角形EFG的面積y，AE的長為x，則y關(guān)于x的函數(shù)大致是（）【例5】（全國聯(lián)賽）設(shè)A、B是拋物線y=2x2+4x-2上的點，原點位于線段AB的中點處。試求A、B兩點的坐標?！窘夥ㄖ笇?dǎo)】解：原點是線段AB的中點，得到點A和點B關(guān)于原點對稱。設(shè)點A的坐標為（a,b）,則點B的坐標為(-a,-b),又A、B是拋物線上的點，分別將它們的坐標代入拋物線解析式，得：，解之得：a=1,b=4或者a=-1,b=-4.所以A（1,4），B（-1，-4）或A（-1，-4），B（1,4）。【變式題組】11.（全國聯(lián)賽）設(shè)a、b、c是三角形ABC的三邊長，二次函數(shù)，在x=1時，取最小值，則三角形ABC是（）A.等腰三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.直角三角形12.（全國競賽）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a是正整數(shù)）的圖像經(jīng)過點A（-1,4）與點B（2,1），并且與x軸有兩個不同的交點，則b+c的最大值為?！狙菥氺柟谭答佁岣摺?.（瀘州）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)y=2x2的圖像平移2個單位，所得圖像的解析式為（）A.y=2x2-2B.y=2x2+2C.y=（x-2）2D.y=（x+2）22.(威海)二次函數(shù)y=-3x2-6x+5的圖像的頂點坐標是（）A.(-1,8)B.(1,8)C.(-1,2)D.(1,-4)3.（黔東南）拋物線的圖像如圖所示，根據(jù)圖像可知，拋物線的解析式可能是（）A.y=x2-x-2B.y=-x2+x+1C.y=-x2-x+1D.y=-x2+x+24.（泰安）拋物線y=-2x2+8x-1的頂點坐標為（）A.(-2,7)B.(-2,-25)C.(2,7)D.(2,-9)5.（陜西）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(其中a>0,b>0,c<0)，關(guān)于這個二次韓式的圖像有如下說法：（1）圖像的開口一定向上；（2）圖像的頂點一定在第四象限；（3）圖像與x軸的交點至少有一個在y軸的右側(cè)。以上說法正確的個數(shù)為()A.0B.1C.2D.36.(棗莊)小強從如圖的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像中，觀察得出了下面五條信息：（1）a<0;(2)c>0;(3)b>0;(4)a+b+c>0;(4)a-b+c>0.你認為其中正確信息的個數(shù)有（）A.2個B.3個C.4個D.5個7.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，有以下結(jié)論：（1）a+b+c<0;(2)a-b+c>1;(3)abc>0;(4)4a-2b+c<0;(5)c-a>1.你認為其中正確信息的個數(shù)有（）A.（1）（2）B.（1）（3）（4）C.（1）（2）（3）（5）D.（1）（2）（3）（4）（5）8.（棗莊）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則下列關(guān)系式中錯誤的是（）A.a<0B.c>0C.b2-4ac>0D.a+b+c>09.(麗水)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（）的圖像如圖所示，給出以下結(jié)論：（1）a>0;(2)該函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=1對稱;(3)當x=-1或x=3時，函數(shù)的值都等于0，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.3B.2C.1D.010.(淄博)請寫出符合以下三個條件的一個函數(shù)的解析式.(1) 過點（3,1）； (2)當x>0時，y隨x的增大而減??；(3)當自變量的值為2時，函數(shù)值小于2.11.（安徽）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點2點（），且圖像與x軸的另一個交點到原點的距離為1，則該二次函數(shù)解析式為.【培優(yōu)升級奧賽檢測】1.（黔東南）二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像關(guān)于原點O(0,0)對稱的圖像的解析式是.2.（慶陽）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖，給出下列說法：（ab<0）;(2)方程ax2+bx+c=0的根為x1=-1,x2=3;(3)a+b+c>0;(4)當x>1時，y隨x的增大而減??；（5）當y>0時，-1<x<3.其中，正確的說法有.（請寫出所有正確說法的序號）3.（鄂州）把拋物線y=ax2+bx+c的圖像先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得的圖像的解析式是y=x2-3x+5，則a+b+c=.4.（蘭州）二次函數(shù)y=x2的圖像如圖所示，點AO位于坐標原點，點A1,A2,A3,…,A2008在y軸的正半軸上，點B1,B2,B3,…,B2008在二次函數(shù)y=x2位于第一象限的圖像上，若△AOB1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…,△A2007B2008A2008都為等邊三角形，則的邊長.5.(全國競賽)已知a,b為拋物線y=(x-c)(x-c-d)-2與x軸交點的橫坐標，a<b,則的值為.6.(全國競賽)拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C，若△ABC是直角三角形，則ac=.7.(東營)若A(,y1),b(,y2),c(,y3)為二次函數(shù)y=x2+4x-5的圖像上的三點，則y1,y2,y3的大小關(guān)系是（）A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1<y3<y28.（全國聯(lián)賽）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，記則（）A.p>qB.p=qC.p<qD.p、q大小不能確定9.（全國聯(lián)賽）已知二次函數(shù)的圖像所示，并設(shè)，則（）A.M>0B.M=0C.M<0D.不能確定M為正、為負或為010.（全國聯(lián)賽）一條拋物線y=ax2+bx+c的頂點為（4，-11），且與x軸的兩個交點點的橫坐標為一正一負，則a、b、c中為正數(shù)的（）A.只有aB.只有bC.只有cD.只有a和b11.（十堰）如圖，點C、D是以線段AB為公共弦的兩條圓弧的中點，AB=4，點E、F分別是線段CD,AB