九年級數(shù)學(xué)根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系培優(yōu)教程

九年級數(shù)學(xué)根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系培優(yōu)教程考點(diǎn)·方法·破譯1．掌握一元二次方程根的判別式的運(yùn)用，能兼顧運(yùn)用的條件；2．理解掌握一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，并會(huì)運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系求對稱式的值.經(jīng)典·考題·賞板（成都）若關(guān)于x的一元二次方程QUOTE有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k>-1B.QUOTEC.k<1D.QUOTE【解法指導(dǎo)】由題意得QUOTE【變式題組】1．（十堰）下列方程中，有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的是（）A．QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE2．(濰坊)關(guān)于x的方程QUOTE有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是（）A．6B.7C.8D.9【例２】（荊州）關(guān)于x的方程QUOTE只有一解（相同解算一解），則a的值為（）A．a(chǎn)=0B.a=2C.a=1D.a=0或a=2【解法指導(dǎo)】本題考查方程的有關(guān)知識(shí)，關(guān)于x的方程QUOTE只有一解，有兩種情況，①該方程是一元一次方程，此時(shí)a=0；②該方程是一元二次方程，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，QUOTE,解得a=2.故選D.QUOTE【變式題組】3．(成都)設(shè)QUOTE是一元二次方程QUOTE的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則QUOTE的值為_________.4．(南通)設(shè)QUOTE是一元二次方程QUOTE的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則QUOTE,則a=______【例３】（包頭）關(guān)于x的一元二次方程QUOTE的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是QUOTE，且QUOTE=7,則QUOTE的值是（）A．1B.12C.13D.25【解法指導(dǎo)】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，要注意所求的值必須滿足QUOTE.由題意知：QUOTE又∵QUOTEQUOTE,而當(dāng)m=5時(shí)，原方程的判別式QUOTE,此時(shí)方程無解，QUOTE不合題意舍去.QUOTE,故選C.【變式題組】5．（濰坊）已知關(guān)于x的一元二次方程QUOTE的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是QUOTE,則k的值是（）A．8B.-7C.6D.56．（鄂州）設(shè)QUOTE是關(guān)于x的一元二次方程QUOTE的兩實(shí)根，當(dāng)a為何值時(shí)，QUOTE有最小值？最小值是多少？【例４】（蘭州）已知關(guān)于x的一元二次方程QUOTE.如果此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍；如果此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為QUOTE,且滿足QUOTE,求a的值.【解法指導(dǎo)】解：（1）QUOTE.∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，QUOTE.(2)由題意得：QUOTEQUOTE【變式題組】7．(綿陽)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2（k－1）x+k2－1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）0可能是方程的一個(gè)根嗎？若是，請求出它的另一個(gè)根；若不是，請說明理由．【例５】（中山）已知關(guān)于x的方程QUOTE.（1）求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（2）當(dāng)m為何值時(shí)，方程的兩根互為相反數(shù)？并求出此時(shí)方程的解.【解法指導(dǎo)】證明方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，一般要把QUOTE化為完全平方加正常數(shù)的形式.（1）證明:因?yàn)椤?=所以無論取何值時(shí),△>0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（2）解：因?yàn)榉匠痰膬筛橄喾磾?shù)，所以，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，所以原方程可化為，解得，【變式題組】8．(中山)已知一元二次方程QUOTE.(1)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的值；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為QUOTE，且QUOTE+QUOTE,求m的值.【例６】設(shè)實(shí)數(shù)s,t分別滿足QUOTE,并且st≠1，求QUOTE的值.【解法指導(dǎo)】本題要觀察s,t的共同點(diǎn)，應(yīng)用方程的思想，把它們看做一個(gè)一元二次方程的兩根，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系求值.解：∵s≠0，∴第一個(gè)等式可以變形為：QUOTE,又∵st≠1，∴QUOTEt是一元二次方程x2+99x+19=0的兩個(gè)不同的實(shí)根，于是，有QUOTE,即st+1=－99s，t=19s．∴QUOTE演練鞏固·反饋提高01．(東營)若n（n≠0）是關(guān)于x的方程QUOTE的根，則m+n的值為A.1B.2C.-1D.-202．(株洲)定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個(gè)方程為“鳳凰”方程.已知是“鳳凰”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是 A． B． C． D．03．（崇左）一元二次方程QUOTE的一個(gè)根為-1，則另一個(gè)根為．04．(賀州)已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．05．（上海）如果關(guān)于的方程（為常數(shù)）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么．06．（泰安）關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是.07．（淄博）已知關(guān)于x的方程．（1）若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；（2）若這個(gè)方程有一個(gè)根為1，求k的值；（3）若以方程的兩個(gè)根為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的點(diǎn)恰在反比例函數(shù)的圖象上，求滿足條件的m的最小值．08．已知關(guān)于x的一元二次方程QUOTE(1)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的值；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之積等于QUOTE,求QUOTE的值.09．（孝感）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求的值．10．（鄂州）關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍.(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，說明理由11．（北京）已知：關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，（其中）．若是關(guān)于的函數(shù)，且，求這個(gè)函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當(dāng)自變量的取值范圍滿足什么條件時(shí)，．12．（淄博）已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且．(1)求及a的值；(2)求的值．培優(yōu)升級·奧賽檢測01．（全國聯(lián)賽）設(shè)，，且，則代數(shù)式的值為（）A5.B7.C9.D.11.02．（延邊預(yù)賽）已知m是方程QUOTE的一個(gè)根，則代數(shù)式QUOTE的值等于（）A．2016B.2017C.2018D.201903．如果a、b都是質(zhì)數(shù)，且QUOTE,那么QUOTE的值為（）A．QUOTEB.QUOTEC.QUOTEDQUOTE或204．（全國競賽）已知實(shí)數(shù)QUOTE，且滿足QUOTE的值為（）A．23B.-23C.-2D.-1305.(全國競賽)設(shè)QUOTE是關(guān)于x的方程QUOTE的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則QUOTE的最大值為___________06．已知QUOTE是方程QUOTE的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則QUOTE07．（全國聯(lián)賽）對于一切不小于2的自然數(shù)n，關(guān)于x的一元二次方程QUOTE的兩個(gè)根記作QUOTE,則QUOTE__08．已知關(guān)于x的方程：QUOT