九年級數(shù)學相似三角形的性質(zhì)培優(yōu)教程

九年級數(shù)學相似三角形的性質(zhì)培優(yōu)教程考點·方法·破譯1.理解相似三角形的性質(zhì)，并能靈活應(yīng)用；2.能根據(jù)相似三角形周長、面積與相似比的關(guān)系解決實際問題；3.會根據(jù)定義判別兩圖形是否為位似圖形，能運用位似性質(zhì)解實際問題.經(jīng)典·考題·賞析【例1】（成都）已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，則△ABC的面積與△DEF的面積之比為（）A.1：2B.1：4C.2：1D.4：1【解法指導】由題意可知兩三角形的相似比為1：2，根據(jù)性質(zhì)知它們的面積之比為1：4.本題應(yīng)選B.【變式題組】1.（重慶）若△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的相似比為1：2，則△ABC與△DEF的周長比為（）A.1：4B.1：2C.2：1D.1：2.（本溪）如圖所示，已知：點A（0，0），B（，0），C（0，1）在若△ABC內(nèi)依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個頂點在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個△AA1B1，第2個△B1A2B2，第3個△B2A3B3，…，則第n個等邊三角形的邊長等于.【例2】（大連）原點O是△ABC與△A/B/C/的位似中心，點A（1，0）與點A/（-2，0）是對應(yīng)點，△ABC的面積是，則△A/B/C/的面積是.【解法指導】由位似性質(zhì)可知：△ABC∽△A/B/C/，且相似比k=OA：OA/=，∴△A/B/C/的面積是×4=6.【變式題組】3.（濱州）在平面直角坐標系中，△ABC頂點A的坐標為（2，3），若以原點O為位似中心，畫△ABC的位似圖形△A/B/C/，使△ABC與△A/B/C/的相似比等于，則點A/的坐標為.4.（寧波）如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，M、N分別是邊AB、AD的中點，連接OM、ON、MN，則下列敘述正確的是（）A.△AOM和△AON都是等邊三角形B.四邊形MBON和四邊形MODN都是菱形C.四邊形AMON與四邊形ABCD是位似圖形D.四邊形MBCO和四邊形NDCO都是等腰梯形5.（南寧）三角尺在燈泡O的照射下在墻上形成影子（如圖所示）.現(xiàn)測得OA=20cm,OA/=50cm,這個三角尺的周長與它在墻上形成的影子的周長的比是.【例3】（上海）如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結(jié)論正確的是（）A.=B.=C.=D.=【解法指導】本題要弄清對應(yīng)線段的含義，設(shè)AF，BE交點為O，A選項中線段對應(yīng)成比例，正確；B選項中BC與AD、CE與DF相對應(yīng)，不正確；C選項中CD、EF與OC、OE及OD、OF相對應(yīng)，不正確；同理D也不正確.本題應(yīng)選A.【變式題組】6.（重慶）銳角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，兩動點M、N分別在邊AB、AC上滑動，且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形PQ，設(shè)其邊長為x，正方形PQ與公共部分的面積為y（y＞0），當x=，公共部分面積y最大，y最大值=.7.（孝感）如圖，點M是△ABC內(nèi)一點，過點M分別作直線平行于△ABC的各邊，所形成的三個小三角形△1、△2、△3（圖中陰影部分）面積分別是4、9和49.則△ABC的面積是.8.（吉林）如圖，△OAB的頂點B的坐標為（4，0），把△OAB沿x軸向右平移得到△CDE，如果CB=1，那么OE的長為.【例4】（包頭）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點A(1,0)，B(2,0)，C(0,-2)，直線x=m（m＞2）與x軸交于點D．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在直線x=m（m＞2）上有一點E（點E在第四象限），使得E、D、B為頂點的三角形與以A、O、C為頂點的三角形相似，求E點坐標（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得四邊形ABEF為平行四邊形？若存在，請求出m的值及四邊形ABEF的面積；若不存在，請說明理由．【解法指導】本題考查二次函數(shù)關(guān)系式求法、坐標系中有關(guān)線段的長度與點的坐標之間的關(guān)系，探究三角形相似的條件和判定四邊形為平行四邊形的條件，涉及到一元二次方程的解法等綜合性較強，稍有疏忽就容易失分.解：(1)根據(jù)題意，得，解得∴y=-x2+3x-2(2)當ΔEDB∽ΔAOC時，得或?！逜O=1，CO=2，BD=m-2，當時，得，∴.∵點E在第四象限，∴，當時，得，∴，∵點E在第四象限，∴(3)假設(shè)拋物線上存在一點這P，使得四邊形ABEF為平行四邊形，則EF=AB=1，點F的橫坐標為m-1,當點的坐標為時，點的坐標為，∵點在拋物線的圖象上，∴，∴，∴∴(舍去)∴，∴當點的坐標為時，點的坐標為，∵點F2在拋物線的圖象上，∴∴∴∴(舍去)，∴∴.【變式題組】9.(長春)如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的長．AABCDEF10.（臨沂）如圖，拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點．（1）求出拋物線的解析式；（2）P是拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標．OOxyABC41【例5】(山東省競賽題)如圖，已知AB∥EF∥CD，AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF.【解法指導】∵AB∥EF∥CD，∴==①，==②，①+②，得==，=，CF=80.【變式題組】11.（河北競賽）如圖，已知在平行四邊形ABCD中，M、N為AB的三等分點，DM、DN分別交AC于P、Q兩點，則AP：PQ：QC=.12.（山東競賽）如圖，在平行四邊形ABCD中，P1，P2，…，Pn是BD的n等分點，連結(jié)AP2并延長交BC于點E，連結(jié)APn-2并延長腳CD于點F.（1）求證：（1）求證：EF∥BD；（2）設(shè)平行四邊形ABCD的面積是S，若S△AEF=S，求n的值.演練鞏固反饋提高1.（婁底）小明在一次軍事夏令營活動中，進行打靶訓練，在用槍瞄準目標點B時，要使眼睛O、準星A、目標B在同一條直線上，如圖4所示，在射擊時，小明有輕微的抖動，致使準星A偏離到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，則小明射擊到的點B′偏離目標點B的長度BB′為（）A.3米B.0.3米C.0.03米D.0.2米2.（衢州、舟山）如圖，△ABC中，A，B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是(-1，0)．以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍，記所得的像是△A′B′C．設(shè)點B的對應(yīng)點B′的橫坐標是a，則點B的橫坐標是（）BB′A′-1x1O-11yBACA． B．C． D．3.（衢州、舟山）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC邊上的高.將△ABC按如圖所示的方式折疊，使點A與點D重合，折痕為EF，則△DEF的周長為（）CCBDAEFCBD(A)AA．9.5 B．10.5C．11 D．15.54.（濟寧）如圖，在長為、寬為的矩形中，截去一個矩形，使得留下的矩形（圖中陰影部分）與原矩形相似，則留下矩形的面積是（）A． B． C． D．5.（福州）如圖，正五邊形FGHMN是由正五邊形ABCDE經(jīng)過位似變換得到的，若AB∶FG=2∶3，則下列結(jié)論正確的是（）HHMGFNNCBAEDA．2DE=3MNB．3DE=2MNC．3∠A=2∠FD．2∠A=3∠F6.（寧德）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，位似比為2∶3，已知AB＝4，則DE的長為____．CCODEFAB7.（日照）將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′，折痕為EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以點B′，F(xiàn)，C為頂點的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是．8.（泰安）將一個量角器和一個含30度角的直角三角板如圖（1）放置，圖（2）是由他抽象出的幾何圖形，其中點B在半圓O的直徑DE的延長線上，AB切半圓O于點F，且BC=OD.（1）求證：DB∥CF；（2）當OD=2時，若以O(shè)、B、F為頂點的三角形與△ABC相似，求OB.9.(濰坊)已知，延長BC到D，使．取的中點，連結(jié)交于點．（1）求的值；（2）若，求的長．AABFECD培優(yōu)升級奧賽檢測1.（杭州）如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值（）A.只有1個B.可以有2個C.有2個以上，但有限D(zhuǎn).有無數(shù)個2.（湖州）如圖，在正三角形中，，，分別是，，上的點，，，，則的面積與的面積之比等于（）DDCEFABA．1∶3 B．2∶3 C．∶2 D．∶33.（山西）如圖，與是位似圖形，且頂點都在格點上，則位似中心的坐標是．xxOABC12345678910111212345678910114.（威海）如圖，與是位似圖形，點是位似中心，若，則________．CCOAB5.（牡丹江）如圖，中，直線交于點交于點交于點若則．AAEFDGCB6.（希望杯競賽）如圖，三個含30°角的直角三角形從小到大依次排列，彼此有一條邊相等，AB=A/B/=B/C/，在這三個三角形中，BC：B/C/：B//C//=3：：.7.（美國邀請賽）如圖，在△ABC的內(nèi)部選取一點P，過P點作3條分別與△ABC的三條邊平行的直線，這樣所得的3個三角形t1、t2、t3的面積分別為4、9和49，求△ABC的面積.8.（全國聯(lián)賽）如圖，△ABC中，D、E分別是邊BC、AB上的點，∠1=∠2=∠3∠，如果△ABC、△EBD、△ADC的周長依次是m、m1、m2,證明：≤.9.（山西）在△ABC中，D為BC的中點，