福建省莆田第二十四中學2024-2025學年高一數學下學期返校測試試題含解析

PAGE23-福建省莆田其次十四中學2024-2025學年高一數學下學期返校測試試題（含解析）一?單項選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若且，則終邊在()A.第一象限 B.其次象限 C.第一或第三象限 D.第三或第四象限【答案】C【解析】【分析】分別寫出滿意與的角的集合，進一步得到的范圍，取交集得答案．【詳解】解：．，，即，．，，即的解集為，則可得終邊在第一或第三象限．故選：．【點睛】本題考查象限角與等分角，考查交集及其運算，屬于基礎題．2.圓被直線截得的劣弧所對的圓心角的大小為（）A. B. C.90° D.【答案】C【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，解三角形即得解.【詳解】設直線和圓相交于A,B兩點，圓心為O,作,垂足為C.由題得圓心到直線的距離為，因為R=2,所以，.故選：C【點睛】本題主要考查直線和圓的位置關系，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平.3.已知向量，若，則在上的投影是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由在上的投影為，代入求解即可得解.【詳解】由題意在上的投影為.故選：D【點睛】本題考查了平面對量數量積的應用，屬于基礎題.4.“劍橋學派”創(chuàng)始人之一數學家哈代說過：“數學家的造型，同畫家和詩人一樣，也應當是漂亮的”；古希臘數學家畢達哥拉斯創(chuàng)建的“黃金分割”給我們的生活到處帶來美；我國古代數學家趙爽創(chuàng)建了美麗“弦圖”.“弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，假如小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設直角三角形的兩條直角邊中較短的邊為,較長的邊為.依據兩個正方形的面積,結合勾股定理求得與的關系,進而求得和,再由正弦的二倍角公式即可求得.【詳解】設直角三角形的兩條直角邊中較短的邊為,較長的邊為,即因為大正方形的面積為25,小正方形的面積為1所以大正方形的邊長為由勾股定理可知每個直角三角形的面積為所以則解方程組可得所以由正弦的二倍角公式可知故選:D【點睛】本題考查了三角形中三角函數值的求法,正弦的二倍角公式應用,屬于基礎題.5.如圖，梯形中，，，中點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設為的中點，連接，則四邊形為平行四邊形，則，再依據平面對量的線性運算即可得出答案．【詳解】解：設為的中點，連接，∵，，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查平面對量的線性運算，屬于基礎題．6.在△ABC中，已知AB=3，AC=5，△ABC的外接圓圓心為O，則（）A.4 B.8 C.10 D.16【答案】B【解析】【分析】畫出圖形，并將和中點，和中點連接，從而得到，，依據數量積的計算公式以及條件即可得出，，從而，從而可得到的值.【詳解】如圖，取中點，中點，并連接，，則，，，，.故選：B【點睛】本題主要考查了數量積的定義、向量的運算法則以及三角形的外心，屬于基礎題.7.已知函數（，）的圖象經過點，若關于x的方程在上恰有一個實數解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數的圖象經過點，可得，可得，由，可得，所以的全部正解從小到大為，在上恰有一個實數解，可列出關于的不等式組，可得答案.【詳解】解：因為的圖象經過點，所以，又因為，所以，所以由，得，即，所以的全部正解從小到大為，因為關于x的方程在上恰有一個實數解，所以，即，其中T為的最小正周期，所以，所以，所以，所以或.所以或，所以，故選:A.【點睛】本題主要考查三角函數的圖形與性質，考查學生分析問題解決問題的實力，屬于中檔題.8.定義ad﹣bc，已知函數f（x）（x∈[0，π]），若f（x）的最大值與最小值的和為1，則實數m的值是（）A.4+2或﹣4﹣2 B.4﹣2或﹣4+2C.4﹣2 D.﹣4+2【答案】B【解析】分析】先依據定義化簡函數，再依據三角函數關系轉化為二次函數，依據二次函數性質求最值,最終依據最值和為1求結果.【詳解】因為，所以①當時，因為f（x）的最大值與最小值的和為1，所以，舍去②當時，因為f（x）的最大值與最小值的和為1，所以，舍去③當時，因為f（x）的最大值與最小值的和為1，所以，因為，所以④當時，因為f（x）的最大值與最小值的和為1，所以，因為，所以綜上：或故選：B【點睛】本題考查函數新定義以及二次函數最值，考查綜合分析求解實力，屬較難題.9.函數在上的單調減區(qū)間為（）A.和 B.和C.和 D.【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式將函數化為，進而可得，依據，利用復合函數的單調性即可求解.【詳解】，令，由，則所以，在上單調遞增，在單調遞減又在上單調遞減，在上單調遞增，此時，利用復合函數的單調性可得函數在上單調遞減；在上單調遞減，在上單調遞增，此時，利用復合函數的單調性可得函數在上單調遞減；故選：B【點睛】本題主要考查了三角函數的性質以及復合函數的單調性，需熟記正弦三角函數的性質以及復合函數的單調性“同增異減”的特征，此題屬于中檔題.10.假如函數的圖象關于直線對稱,那么取最小值時的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據三角函數的對稱性可得,整理得,結合取最小值時,即可得出的值.【詳解】解:函數的圖象關于直線對稱,所以,即,取最小值時.故選:A【點睛】本題主要考查三角函數的圖象和性質,利用三角函數的對稱性是解決本題的關鍵.11.如圖所示為函數的部分圖象，點M?N分別為圖象的最高點和最低點，點P為該圖象一個對稱中心，點與點B關于點P對稱，且向量在x軸上的投影恰為1，，則的解析式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先依據勾股定理求出，即可得到點的坐標，再依據點與點B關于點P對稱可得點的坐標，由在x軸上的投影恰為1可求出函數的周期，由求出；再將點代入解析式求出，將點代入解析式求出即可.【詳解】在中，由勾股定理可得，即，又點與點B關于點P對稱，所以，在x軸上的投影恰為1，則點的橫坐標為，點的橫坐標為，，，解得，當時，，解得，由，則，將點代入解析式，，解得，所以的解析式為.故選：B【點睛】本題考查了三角函數的圖像與性質、投影的概念，考查考生的用圖實力以及運算求解實力，屬于中檔題.12.已知正三角形的邊長為，平面內的動點，滿意，，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，取中點，，得到軌跡為圓，轉化為求點到圓上點距離最大值即可.【詳解】解法一：取中點，，從而軌跡為以為圓心，為半徑的圓，，，三點共線時，為最大值.所以最大值為，的最大值為.解法二：如圖所示，建立直角坐標系.，，，∵點滿意，令，，.又，則，∴.的最大值是.故選:A.【點睛】本題考查向量線性運算和模長的幾何意義，用幾何法求模長的最值，考查數形結合思想，屬于中檔題.二.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應位置.13.函數的最小正周期為_________.【答案】【解析】【分析】首先化簡.再依據公式即可求出最小正周期.【詳解】因為函數.所以最小正周期為：.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正切函數的最小正周期的求法，屬于基礎題.14.若將函數的圖象沿軸向右平移個單位后所得的圖象與的圖象關于軸對稱，則的最小值為________________.【答案】【解析】【分析】由題意利用函數的圖象變換規(guī)律，三角函數的圖像的對稱性，求得的最小值.【詳解】解：將函數的圖象沿軸向右平移個單位長度，可得的圖象.依據圖象與的圖象關于軸對稱，可得，，，即時，的最小值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查函數的圖象變換規(guī)律，正弦函數圖像的對稱性，屬于基礎題.15.已知，，則與夾角的余弦值為________.【答案】【解析】【分析】依據題意,利用向量坐標的線性運算求出的坐標,分別求出,,代入夾角公式求解即可.【詳解】由題意知,,因為，所以,由向量模的定義知,,由平面對量數量積的夾角公式可得,.故答案為:【點睛】本題考查平面對量坐標的線性運算及平面對量數量積的坐標表示和夾角公式;考查運算求解實力;嫻熟駕馭平面對量數量積的坐標表示和夾角公式是求解本題的關鍵;屬于中檔題.16.如圖，已知，B為AC的中點，分別以AB，AC為直徑在AC的同側作半圓，M，N分別為兩半圓上的動點不含端點A，B，，且，則的最大值為______．【答案】4【解析】【分析】以A為坐標原點，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，求得A，B，C的坐標，可得以AB為直徑的半圓方程，以AC為直徑的半圓方程，設出M，N的坐標，由向量數量積的坐標表示，結合三角函數的恒等變換可得，再由余弦函數、二次函數的圖象和性質，計算可得最大值．【詳解】以A為坐標原點，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，可得，，，以AB為直徑的半圓方程為，以AC為直徑的半圓方程為，設，，，，，可得，即有，即為，即有，又，，可得，即，則，可得，即，時，的最大值為4．故答案為4．【點睛】本題考查了平面對量的數量積運算問題，也考查了圓的方程與應用問題，建立平面直角坐標系，用坐標表示向量是解題的關鍵．三.解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知.(1)化簡；(2)若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)依據誘導公式干脆化簡即可;(2)由,可以利用誘導公式計算出,再依據角所在象限確定,進而得出結論.詳解】(1)依據誘導公式,所以;(2)由誘導公式可知,即,又是第三象限角,所以,所以.【點睛】本題主要考查誘導公式的運用,屬于基礎題.運用誘導公式時,常利用口訣“奇變偶不變,符號看象限”進行記憶.18.已知向量.（1）求向量，的夾角θ；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據題意，將平方，利用向量的數量積定義，代入，計算求解即可.（2）由（1）向量夾角θ的值，可得，依據向量數量積運算定律，求解即可.【詳解】（1）因為，所以，所以，解得，又因為，所以.（2）由（1）可得，所以.【點睛】本題考查了利用向量的數量積求向量的夾角、向量數量積的運算，屬于基礎題.19.如圖，函數，其中的圖象與y軸交于點．（1）求的值；（2）求函數的單調遞增區(qū)間；（3）求使的x的集合．【答案】（1）,（2），,（3）【解析】【分析】（1）由函數圖像過定點，代入運算即可得解；（2）由三角函數的單調增區(qū)間的求法求解即可；（3）由，求解不等式即可得解.【詳解】解：（1）因為函數圖象過點，所以，即．因為，所以．（2）由（1）得，所以當，，即，時，是增函數，故的單調遞增區(qū)間為，．（3）由，得，所以，，即，，所以時，x的集合為．【點睛】本題考查了利用函數圖像的性質求解函數解析式，重點考查了三角函數單調區(qū)間的求法及解三角不等式，屬基礎題.20.已知為坐標原點，，，.（1）求函數在上的單調增區(qū)間；（2）當時，若方程有根，求的取值范圍.【答案】（1）單調增區(qū)間為，（2）【解析】【分析】（1）通過向量的坐標運算求出，通過三角公式整理化簡，然后可求得其單調區(qū)間；（2）將方程有根轉化為在上有解，求出在上的值域即可.【詳解】（1），則此函數單調增區(qū)間：，，設，，則，所以函數在上的單調增區(qū)間為，；（2）當時，若方程有根，所以在上有解，由，得，所以，則，所以.【點睛】本題考查三角函數恒等變形，三角函數的性質，是基礎題.21.已知：①函數；②向量，，且，；③函數的圖象經過點請在上述三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知_________________，且函數的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.（1）若，且，求的值；（2）求函數在上的單調遞減區(qū)間.注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案不唯一【解析】【分析】（1）選擇一個條件，轉化條件得，由題意可得，代入即可得解；（2）令，解得的取值范圍后給賦值即可得解.【詳解】方案一：選條件①因為，又，所以，所以.方案二：選條件②因為，，所以.又，所以，所以.方案三：選條件③由題意可知，，所以，所以.又因為函數圖象經過點，所以.因為，所以，所以.（1）因為，，所以.所以.（2）由，得，令，得，令，得，所以函數在上的單調遞減區(qū)間為，.【點睛】本題考查了三角函數圖象的綜合應用，考查了三角恒等變換的應用和向量數量積的坐標表示，屬于中檔題.22.如圖，某園林單位打算綠化一塊直徑為的半圓形空，外的地方種草，的內接正方形為一水池，其余的地方種花，若，，，設的面積為，正方形的面積為(1