2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二講證明不等式的基本方法測(cè)評(píng)練習(xí)含解析新人教A版選修4-5

PAGEPAGE5其次講測(cè)評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.已知,則下列不等式成立的是()A.a<b B.C. D.<0.答案D2.若a∈R,且p=,q=a2-a+1,則()A.p≥q B.p>q C.p≤q D.p<q解析因?yàn)閍∈R,所以p,q>0,且=(a2-a+1)(a2+a+1)=a4+a2+1≥1,所以q≥p.答案C3.(2024江西二模)求證,p=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2,q=(x1-a)2+(x2-a)2+…+(xn-a)2,若a≠,則肯定有()A.p>q B.p<qC.p,q的大小不定 D.以上都不對(duì)解析設(shè)f(x)=(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2,則f(x)=nx2-2(x1+x2+…+xn)x++…+.當(dāng)x=時(shí),f(x)取得最小值,即p<q,故選B.答案B4.對(duì)“a,b,c是不全相等的正數(shù)”,給出下列推斷:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b與a<b及a≠c中至少有一個(gè)成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同時(shí)成立,其中推斷正確的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3解析對(duì)于①,假設(shè)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,這時(shí)a=b=c,與已知沖突,故(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0,故①正確;對(duì)于②,假設(shè)a>b與a<b及a≠c都不成立時(shí),有a=b=c,與已知沖突,故a>b與a<b及a≠c中至少有一個(gè)成立,故②正確;對(duì)于③,明顯不正確.答案C5.已知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)且為奇函數(shù),數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a3>0,則f(a1)+f(a3)+f(a5)的值()A.恒為正數(shù) B.恒為負(fù)數(shù)C.恒為0 D.可正可負(fù)解析因?yàn)閒(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)且為奇函數(shù),且a3>0,所以f(a3)>f(0)=0,而a1+a5=2a3,所以a1+a5>0,則a1>-a5,于是f(a1)>f(-a5),即f(a1)>-f(a5),所以f(a1)+f(a5)>0,故f(a1)+f(a3)+f(a5)>0.答案A6.要使成立,a,b應(yīng)滿意的條件是()A.ab<0,且a>bB.ab>0,且a>bC.ab<0,且a<bD.ab>0,且a>b或ab<0,且a<b解析?a-b+3-3<a-b?,所以當(dāng)ab>0時(shí),有,即b<a;當(dāng)ab<0時(shí),有,即b>a.答案D7.設(shè)a,b,c∈R,且a,b,c不全相等,則不等式a3+b3+c3≥3abc成立的一個(gè)充要條件是()A.a,b,c全為正數(shù) B.a,b,c全為非負(fù)實(shí)數(shù)C.a+b+c≥0 D.a+b+c>0解析a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2],而a,b,c不全相等?(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2>0.故a3+b3+c3-3abc≥0?a+b+c≥0.答案C8.設(shè)a,b,c,d∈R,若a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,則有()A.ad=bc B.ad<bcC.ad>bc D.ad≤bc解析|a-d|<|b-c|?(a-d)2<(b-c)2?a2+d2-2ad<b2+c2-2bc,因?yàn)閍+d=b+c?(a+d)2=(b+c)2?a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,所以-4ad<-4bc,所以ad>bc.答案C9.使不等式>1+成立的正整數(shù)a的最大值是()A.10 B.11 C.12 D.13解析用分析法可證當(dāng)a=12時(shí)不等式成立,當(dāng)a=13時(shí)不等式不成立.答案C10.已知a,b,c∈(0,+∞),若,則()A.c<a<b B.b<c<aC.a<b<c D.c<b<a解析由可得+1<+1<+1,即,所以a+b>b+c>c+a.由a+b>b+c可得a>c,由b+c>c+a可得b>a,于是有c<a<b.答案A11.設(shè)m>n,m,n∈N+,a=(lgx)m+(lgx)-m,b=(lgx)n+(lgx)-n,其中x>1,則()A.a>b B.a≥bC.a≤b D.a<b解析a-b=[(lgx)m-(lgx)n]-[(lgx)-n-(lgx)-m]=[(lgx)m-(lgx)n]-=(lgmx-lgnx)-=(lgmx-lgnx).因?yàn)閤>1,所以lgx>0.當(dāng)lgx=1時(shí),a-b=0,所以a=b;當(dāng)lgx>1時(shí),a-b>0,所以a>b;當(dāng)0<lgx<1時(shí),a-b>0,所以a>b.綜上,a≥b.答案B12.導(dǎo)學(xué)號(hào)26394041已知x,y>0,且xy-(x+y)=1,則()A.x+y≥2(+1) B.xy≤+1C.x+y≤(+1)2 D.xy≥+1解析由xy-(x+y)=1可得xy=1+x+y≥1+2,即()2-2-1≥0,所以+1,則xy≥(+1)2,解除B和D;因?yàn)閤y=x+y+1≤,解得x+y≥2(+1).故選A.答案A二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.當(dāng)x>1時(shí),x3與x2-x+1的大小關(guān)系是.

解析因?yàn)閤3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),且x>1,所以(x-1)(x2+1)>0.因此x3-(x2-x+1)>0,即x3>x2-x+1.答案x3>x2-x+114.設(shè)0<m<n<a<b,函數(shù)y=f(x)在R上是減函數(shù),下列四個(gè)數(shù)f,f,f,f的大小依次是.

解析∵<1<,y=f(x)在R上是減函數(shù),∴f>f>f>f.答案f>f>f>f15.若a+b>a+b,則a,b應(yīng)滿意的條件是.

解析因?yàn)閍+b>a+b?()2()>0?a≥0,b≥0,且a≠b.答案a≥0,b≥0,且a≠b16.設(shè)a,b為正數(shù),α為銳角,M=,N=()2,則M,N的大小關(guān)系是.

解析因?yàn)閍>0,b>0,α為銳角,所以N=ab+2+2,M=ab+≥ab+2當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.又sin2α≤1,所以M≥ab+2+2=N,當(dāng)且僅當(dāng)a=b,且α=時(shí),等號(hào)成立.答案M≥N三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)設(shè)a>b>0,求證.證明因?yàn)閍>b>0,所以>0,>0.又=1+>1,故.18.(本小題滿分12分)設(shè)a,b>0,a≠b,求證>a+b.證明-(a+b)==(a3-b3)=,因?yàn)閍,b>0,a≠b,所以a+b>0,(a-b)2>0,a2+ab+b2>0,a2b2>0,所以>0.故>a+b.19.(本小題滿分12分)已知a2+b2=1,x2+y2=1,試用分析法證明ax+by≤1.證明要證ax+by≤1成立,只需證1-(ax+by)≥0,只需證2-2ax-2by≥0.因?yàn)閍2+b2=1,x2+y2=1,只需證a2+b2+x2+y2-2ax-2by≥0,即證(a-x)2+(b-y)2≥0,明顯成立.所以ax+by≤1.20.(本小題滿分12分)設(shè)a,b,c,d是正數(shù),試證明下列三個(gè)不等式:①a+b<c+d;②(a+b)(c+d)<ab+cd;③(a+b)cd<ab(c+d)中至少有一個(gè)不正確.證明假設(shè)不等式①②③都正確.因?yàn)閍,b,c,d都是正數(shù),所以①②兩不等式相乘并整理,得(a+b)2<ab+cd.④由③式,得(a+b)cd<ab(c+d)≤·(c+d).又a+b>0,(a+b)(c+d)<ab+cd,所以4cd<ab+cd.所以3cd<ab,即cd<.由④式,得(a+b)2<,即a2+b2<-ab,與平方和為正數(shù)沖突.故假設(shè)不成立,即不等式①②③中至少有一個(gè)不正確.21.導(dǎo)學(xué)號(hào)26394042(本小題滿分12分)已知正數(shù)a,b,c滿意a+b+c=6,求證.證明由已知及三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式可得≥3==≥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=2時(shí),等號(hào)成立),故原不等式成立.22.導(dǎo)學(xué)號(hào)26394043(本小題滿分12分)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn=nan-3n(n-1)(n∈N+),且a2=11.(1)求a1的值;(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;(3)設(shè)數(shù)列{bn}滿意bn=,求證b1+b2+…+bn<.(1)解當(dāng)n=2時(shí),由Sn=nan-3n(n-1),得a1+a2=2a2-3×2(2-1),又a2=11,可得a1=5.(2)解當(dāng)n≥2時(shí),由an=Sn-Sn-1,得an