河北省張家口市宣化區(qū)宣化第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題含解析

PAGE19-河北省張家口市宣化區(qū)宣化第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題（含解析）一?選擇題1.設(shè)a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，則下列不等式中肯定成立的是（）A.a＋c＞b＋d B.a－c＞b－dC.ac＞bd D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)，可得的正誤；再令，可推斷的正誤.【詳解】由，依據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，故正確；令，：不成立，故錯(cuò)誤；：不成立，故錯(cuò)誤；：不成立，故錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，考查特別值法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．則過點(diǎn)的直線斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：∵數(shù)列等差數(shù)列，設(shè)其公差為，∵，∴，即；∴過點(diǎn)的直線斜率，故選B．考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)．3.已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)的周期公式及條件，可求出的值，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.【詳解】∵函數(shù)的最小正周期為，∴周期，解得，即，∴，故選：A4.若不等式的解集是R，則的范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：將問題轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立解決，解題時(shí)留意對的取值要分類探討．詳解：由題意得不等式在上恒成立．①當(dāng)時(shí)，不等式為，不等式恒成立．符合題意．②當(dāng)時(shí)，由不等式恒成立得，解得．綜上，所以實(shí)數(shù)的范圍是．故選A．點(diǎn)睛：不等式解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不等式的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．5.設(shè)，.若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】是與的等比中項(xiàng)，可得.利用及其基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】∵是與的等比中項(xiàng)，∴，∴.∵，.∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.∴的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要留意其必需滿意的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必需為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必需把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必需驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最簡單發(fā)生錯(cuò)誤的地方.6.已知三角形中，，，連接并取線段的中點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，線段的中點(diǎn)為，，，故選B.7.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列中的最大項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，當(dāng)n2時(shí)，an＋1－an0，當(dāng)n2時(shí)，an＋1－an0，從而可得到n＝2時(shí)，an最大.【詳解】解：，當(dāng)n2時(shí)，an＋1－an0，即an＋1an；當(dāng)n＝2時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n2時(shí)，an＋1－an0，即an＋1an.所以a1a2＝a3，a3a4a5…an，所以數(shù)列中的最大項(xiàng)為a2或a3，且.故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)列函數(shù)性質(zhì)：最值問題，屬于基礎(chǔ)題.8.若滿意，且的最大值為6，則的值為（）A.-1 B.-7 C.1 D.7【答案】C【解析】【分析】畫出確定的可行域，由圖象可知當(dāng)時(shí)，可行域不存在；當(dāng)時(shí)，與題意不符；當(dāng)時(shí)，通過可行域可知當(dāng)過時(shí)，取得最大值；將點(diǎn)坐標(biāo)代入可構(gòu)造出關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】由可得可行域如下圖陰影部分所示：則若，則可行域不存在，不符合題意若，則只有一個(gè)可行解，此時(shí)不合題意當(dāng)時(shí)，可行域如下圖陰影部分所示：可知當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值又，解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中，依據(jù)最優(yōu)解補(bǔ)全約束條件的問題；關(guān)鍵是能夠解除含變量的條件得到區(qū)域，再依據(jù)含變量的條件確定最終的可行域，通過最優(yōu)解的位置構(gòu)造方程求得結(jié)果.9.設(shè)函數(shù)則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，；令兩式相加，得,則所求值為201.考點(diǎn)：倒序相加法.10.設(shè)各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知，且S10＝0，則使不等式成立的正整數(shù)n的最小值是（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【分析】由S10＝0及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可得：，可得：，由可推得，利用的單調(diào)性即可得解．【詳解】解：在等差數(shù)列{an}中，由S10＝0，得，則．又∵，可知數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則．又．∴當(dāng)n＝10時(shí)，0，當(dāng)n＝11時(shí)，，∴使不等式成立的正整數(shù)n的最小值是11．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，還考查了轉(zhuǎn)化實(shí)力及數(shù)列的單調(diào)性應(yīng)用，屬于中檔題．11.我國古代的《洛書》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：如圖，將1，2，…，9填入的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對角線上的三個(gè)數(shù)字之和都等于15.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)填入個(gè)方格中，使得每行，每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，這個(gè)正方形叫做階幻方.記階幻方的對角線上的數(shù)字之和為，如圖三階幻方的，那么的值為（）A.41 B.45C.369 D.321【答案】C【解析】【分析】干脆利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式得出結(jié)果．【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)得：九階幻方中全部數(shù)字之和為，由于每行每列和對角線上的數(shù)字和都相等，所以對角線上的數(shù)字之和為，所以.故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.12.已知兩條直線：y=m和：y=(m＞0)，與函數(shù)的圖像從左至右相交于點(diǎn)A，B，與函數(shù)的圖像從左至右相交于C,D.記線段AC和BD在X軸上的投影長度分別為a,b,當(dāng)m改變時(shí)，的最小值為A. B. C. D.【答案】B【解析】在同一坐標(biāo)系中作出y=m，y=(m＞0)，圖像如下圖，由=m，得，=，得.依照題意得.，.【點(diǎn)評】在同一坐標(biāo)系中作出y=m，y=(m＞0)，圖像，結(jié)合圖像可解得.二?填空題13.已知是單位向量，且，若，則與夾角的正弦值是________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)是單位向量，且，求得，利用平面對量的夾角公式，求得與夾角的余弦值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)槭菃挝幌蛄浚?，所以，所以，因?yàn)?，所?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對量的數(shù)量積運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，假如，則=________．【答案】40【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出結(jié)果．【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，，，，解得，，．故答案為40．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．15.已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】.【解析】【分析】在等式兩邊同時(shí)除以得到，將代數(shù)式和相乘，綻開后利用基本不等式求出的最小值，由題意得出，解出該不等式即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，，且，在等式兩邊同時(shí)除以得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，的最小值為，由于不等式恒成立，則，即，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式處理不等式恒成立問題，同時(shí)也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值時(shí)，要?jiǎng)?chuàng)建出定值條件，并對代數(shù)式進(jìn)行配湊，考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，屬于中等題.16.已知函數(shù)，則的最大值是________．【答案】【解析】【分析】由題意知函數(shù)的周期為，考慮在，內(nèi)的最大值即可；計(jì)算，利用求得極值點(diǎn)，再求在，內(nèi)的最值．【詳解】由題意知函數(shù)的周期為，只需考慮在，內(nèi)的最大值即可；計(jì)算，令，得，即，解得或，所以在，時(shí)，有，或；所以的最大值只能在、或和邊界點(diǎn)處取到，計(jì)算，，，；所以的最大值是．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)最值的應(yīng)用問題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性與極值的應(yīng)用問題，是中檔題．三?解答題17.已知等差數(shù)列，，為其前項(xiàng)的和，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先解方程組得再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【詳解】（1）依題意解得所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為9的等比數(shù)列，.所以數(shù)列的前項(xiàng)的和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列的推斷和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和計(jì)算實(shí)力.18.在中,角、、所對的邊分別為、、,.（1）求角的值；（2）若,的面積為,求邊上的中線長.【答案】（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）由條件知，解得，即可求解角的值；（2）由于題設(shè)條件，求得，再由正弦定理，求解，進(jìn)而得到的值和的值，即可求解邊上的中線長.試題解析：（1）由條件知，即，解得或（舍去）又，.（2）由于.①又由正弦定理得，,又，②由①②知，，由余弦定理得，邊上的中線.考點(diǎn)：解三角形問題.19.已知圓的圓心為，且直線與圓相切.設(shè)直線的方程為，若點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)為，（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作直線與圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；【答案】（1）；（2）或；（3）或.【解析】分析】（1）先利用直線與圓相切，求出圓的半徑，即可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，由題分析知，解方程即可求出的值，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）對直線的斜率分兩種狀況探討，利用圓心到直線的距離為，即可得斜率的值，進(jìn)而可得直線的方程；【詳解】解：（1）因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓的半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)?，所以，所以在中，，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.（3）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，此時(shí)直線與圓相離，不符合題意；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由勾股定理得，圓心到直線的距離為，即，解得或，故所求直線方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于圓的半徑，直線與圓相交時(shí)，弦心距、弦長的一半和圓的半徑構(gòu)成直角三角形，屬于中檔題.20.在平行四邊形中，，分別是，上的點(diǎn)且，，與交于點(diǎn).（1）求的值；（2）若平行四邊形的面積為21，求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）依據(jù)向量共線基本定理，可用表示，再依據(jù)平面對量基本定理列出方程組求得向量模的比值．（2）依據(jù)三角形面積的比例關(guān)系，得到高的比值．進(jìn)而通過給出的三角形面積求出△BOC的面積．詳解：（1）設(shè)，，據(jù)題意可得，從而有.由，，三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，由平面對量基本定理，解得，從而就有.（2）由（1）可知，所以∴.點(diǎn)睛：本題考查了向量在平面幾何中的綜合應(yīng)用，向量共線基本定理、向量共面基本定理是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．21.已知數(shù)列是遞增等比數(shù)列，，且數(shù)列的前3項(xiàng)和，，點(diǎn)在直線上.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）干脆利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用和放縮法的應(yīng)用，利用恒成立問題的應(yīng)用求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列是公比為且為遞增等比數(shù)列，，且數(shù)列的前3項(xiàng)和，則：，解得或，由于數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以.所以，由于數(shù)列的，點(diǎn)在直線上.所以(常數(shù))，所以.（2）由于數(shù)列，，所以，①，②①-②得：整理得，解得由于恒成立，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，乘公比錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力和轉(zhuǎn)換實(shí)力及思維實(shí)力，屬于中檔題型.22.如圖，山頂有一座石塔，已知石塔的高度為.（1）若以為觀測點(diǎn)，在塔頂處測得地面上一點(diǎn)的俯角為，在塔底處測得處的俯角為，用表示山的高度；（2）若將觀測點(diǎn)選在地面的直線上，其中是塔頂在地面上的射影.已知石塔高度,當(dāng)觀測點(diǎn)在上滿意時(shí)看的視角(即)最大，求山的高度.【答案】（1);(2).【解析