2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圓的方程（八大題型）講義（原卷版）

第03講圓的方程

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：圓的定義和圓的方程....................................................4

知識點2：點與圓的位置關(guān)系判斷..................................................4

題型一：求圓多種方程的形式.....................................................5

題型二：直線系方程和圓系方程...................................................6

題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題.....................................................7

題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件...............................9

題型五：點與圓的位置關(guān)系判斷...................................................9

題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用....................................................10

題型七：與圓有關(guān)的對稱問題....................................................11

題型八：圓過定點問題..........................................................12

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................13

05課本典例?高考素材............................................................13

06易錯分析?答題模板............................................................15

易錯點：忽視圓的一般方程成立的條件............................................15

答題模板：求圓的方程..........................................................15

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2024年北京卷第3題，5分高考對圓的方程的考查比較穩(wěn)定，考查

（1）圓的方程2023年乙卷（文）第11題，5分內(nèi)容、頻率'題型難度均變化不大，備考時

（2）點與圓的位置關(guān)2023年上海卷第7題，5分應(yīng)熟練掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的求

系2022年甲卷（文）第14題，5分法，除了待定系數(shù)法外，要特別要重視利用

2022年乙卷（文）第15題，5分幾何性質(zhì)求解圓的方程.

復(fù)習(xí)目標(biāo)；

（1）理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

（2）能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題.

//二知識導(dǎo)圖?思維引航\\

平面內(nèi)到定點的距離等于

圓的定義定長的點的集合(軌跡)

叫圓.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：代-4+①0'/,

圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為r(r>0)

圓的一般方程：X:+J2+P.V+￡：)+F=0(Z):+￡:-4F>0),

周心坐標(biāo)為(n費肯F)，半徑片m+E'7F

2

圓的方程

圓的直徑式方程：若yiCi.yjKwjj,

貝I］以線段45為直彳仝的圓的方程是(■rz1Xx-xJ+(lJji)Qr\)=O

x=o+rcos^^

圓的參數(shù)方程:(。為參數(shù))

y=b+rsin3

圓外

點與圓的位置關(guān)系圓上

圓內(nèi)

老占突曲?題理探密

-------------H-H-c

知識JJ

知識點1:圓的定義和圓的方程

1、平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)叫圓.

2、圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(尤-。)？+(y-6)2=/,圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為廠(廠>0)

(2)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圓心坐標(biāo)為[，半徑

A/O2+￡2-4F

r=-----------------

2

(3)圓的直徑式方程：若4(和％),3(肛％),則以線段AB為直徑的圓的方程是

(x-%1)(x-x2)+(j-j1)(y-y2)=0

(4)圓的參數(shù)方程：

①尤2+丁=/(廠>0)的參數(shù)方程為尸=rC0Sf(9為參數(shù))；

[y=rsmu

②(x-a)2+(y-b)2=r"r>0)的參數(shù)方程為"+，cos。(。為參數(shù)).

[y=Z?+rsin^

【診斷自測】已知點A(T,—2),B(T,2),C(-2,2),則VABC外接圓的方程是().

A.W+0-3)2=20B.(x+3)?+y2=5

C.x2+(y+3)2=5D.(x-3)2+y2=20

知識點2：點與圓的位置關(guān)系判斷

(1)點P(x(),%)與圓(尤-a)。+(y-b)2=/的位置關(guān)系:

①(尤-a?+(y-b)2>ro點尸在圓外；

?(x-a)2+(y-b)2=r2o點尸在圓上；

③(x-a)2+(y-b)2<-o點尸在圓內(nèi).

(2)點P(%,%)與圓龍2+/+。x+4+尸=0的位置關(guān)系：

①片+y；++E為+尸>0。點P在圓外；

②年+y；+￡>無。+及y°+P=0o點P在圓上；

③X：+y；+Dx0+Ey0+F<0<=>點尸在圓內(nèi).

【診斷自測】(2024?河北滄州?二模)若點4(2,1)在圓Y+y2-2〃a-2y+5=0(優(yōu)為常數(shù))外，則實數(shù)

m的取值范圍為()

A.(—co,2)B.(2,+8)C.(一°°,—2)D.(―2,+co)

/------------l-H*k

\J

題型一：求圓多種方程的形式

【典例1-1］已知直線3尤+4y-4=0與圓C相切于點7(0,1),圓心C在直線無-y=。上，則圓C的方

程為()

A.(%-3)2+(J；-3)2=13B.(x-3y+(y+3)2=25

C.(x+3)2+(y-3)2=13D.(x+3)2+(y+3)2=25

【典例1-2］(2024?高三?北京?開學(xué)考試)圓心為(-L-2),且與>軸相切的圓的方程是()

A.(1)2+(,-2)2=4B.(1)2+0-2)2=1

C.(x+l)2+(y+2)2=1D.(%+l)2+(y+2)2=4

【方法技巧】

(1)求圓的方程必須具備三個獨立的條件，從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程上來講，關(guān)鍵在于求出圓心坐標(biāo)(a,6)

和半徑廠；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個點.因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法.

(2)用幾何法來求圓的方程，要充分運用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，

半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等.

【變式1-1】過點尸(4,2)作圓/+丁=4的兩條切線，切點分別為A,B,則W的外接圓方程是

()

A.(X-2)2+(J；-1)2=5B.(%-4)2+(j7-2)2=20

C.(x+2)2+(y+l)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=20

【變式1-2］圓心在直線/：尤-2y-3=0上，且經(jīng)過點A(2,-3),8(-2,-5)的圓的方程為.

［變式1-3］(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)已知直線1：2x+y_6=0與/2：2x+y+4=0均與?河相切,

點(2,2)在。/上，貝l|M的方程為.

【變式1-4］與直線和圓(x+l)2+(y_l)2=2都相切的半徑最小的圓的方程是()

A.(尤+1了+(>+1)2=2B.(尤+1)2+(>+1)2=4

C.(x-l)2+(^+l)2=2D.(x-l)2+(y-l)2=4

題型二：直線系方程和圓系方程

【典例2-1】過圓C［：/+,2+6,丫-4=0和圓G：/+；/+6,-28=0的交點，且圓心在直線

2x+y+4=0上的圓的方程為()

A.(x+l『+3+2)2=25B.(尤+iy+(y+2)2=20

C.(x-l)2+(y+6)2=25D.(x-1)2+(y+6)2=20

【典例2-2】圓C經(jīng)過點(0,1),且經(jīng)過兩圓&:/+產(chǎn)-4尤-3=。和圓6：尤2+372-4>-3=。的交點，

則圓C的方程為.

【方法技巧】

求過兩直線交點(兩圓交點或直線與圓交點)的直線方程(圓系方程)一般不需求其交點，而是利用

它們的直線系方程(圓系方程).

(1)直線系方程：若直線/|：4x+qy+G=o與直線/2：4彳+5丁+6=0相交于點尸，則過點尸的直

線系方程為：4(A%+gy+G)+4(&x+4丁+C2)=o(#+在20)

簡記為：4,+即2=0(4?+若片0)

當(dāng)4wo時，簡記為：—(不含4)

(2)圓系方程：若圓4：尤2+y2+￡)M+E］y+K=0與圓C2：x2+y2+2x+E2y+B=0相交于A,B

2222

兩點，則過A,2兩點的圓系方程為：x+y+D1x+E1y+F1+A(x+y+D2x+E2y+F2)=0(A^-l)

簡記為：C+XC2=0(九*一1),不含C2

當(dāng)4=-1時，該圓系退化為公共弦所在直線(根軸)/:(〃-。2)%+(耳-耳”+耳-&=。

注意：與圓C共根軸/的圓系C/：C+R=0

【變式2-1］經(jīng)過直線尤-2y=0與圓一4x+2y-4=0的交點，且過點(1,0)的圓的方程為—.

【變式2-2】曲線3Y一產(chǎn)=3與》=/一2了一8的四個交點所在圓的方程是—.

【變式2-3】過圓/+/一苫+〉-2=0和f+y2=5的交點，且圓心在直線3元+今-1=。上的圓的方程

為()

A.x2+y2+2x-2y-11=0B.%2+y"—2x+2y-11=0.

C.x?+J—2x-2y-11=0D.尤？+y~+2x+2y—11=0

題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題

【典例3-1】已知定點2(3,0),點A在圓元2+y2=i上運動，NAOB的平分線交線段于點M,則

點M的軌跡方程是.

【典例3-2】(2024?貴州畢節(jié)?三模)已知直線/|：x+￡y-5=0,直線/2:及一y-3f+2=0,《與相交

于點4則點A的軌跡方程為.

【方法技巧】

要深刻理解求動點的軌跡方程就是探求動點的橫縱坐標(biāo)尤，y的等量關(guān)系，根據(jù)題目條件，直接找到或

轉(zhuǎn)化得到與動點有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵所在.

【變式3-1](2024?高三?青海西寧?期中)已知A(-l,0),3(1,0),C為平面內(nèi)的一個動點，且滿足

\AC\=y[2\BC\,則點C的軌跡方程為.

【變式3-2](2024?廣東?二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中放置著一個邊長為1的等邊三角形

PAB,且滿足PB與*軸平行，點A在x軸上.現(xiàn)將三角形沿x軸在平面直角坐標(biāo)系》。了內(nèi)滾動，設(shè)頂

點P(x,y)的軌跡方程是y=〃x),則/(%)的最小正周期為—；y=〃x)在其兩個相鄰零點間的圖象與x

軸所圍區(qū)域的面積為一.

【變式3-3】已知圓M:(X-2)2+V=4,過點N(LO)的直線/與圓M交于A,B兩點，。是A3的中點,

則。點的軌跡方程為一.

【變式3-4]如圖所示，已知圓。：N+y2=4與y軸的正方向交于A點，點B在直線y=2上運動，過

點B作圓。的切線，切點為C,則△ABC的垂心//的軌跡方程為一.

【變式3-5】點P(l,o),點。是圓V+y2=4上的一個動點，則線段PQ的中點M的軌跡方程是()

【變式3-6】已知動點M與兩個定點4(2,0)的距離之比為1：2,則動點M的軌跡方程

為一

【變式3-7】已知尸(4,0)是圓/+/=36內(nèi)的一點,A,B是圓上兩動點，且滿足NAP3=90°,求矩形

AP8Q頂點。的軌跡方程.

【變式3-8］在邊長為1的正方形A8C。中，邊A3、上分別有一個動點0、R,且忸。|=|CR|.求

直線AR與DQ的交點P的軌跡方程.

【變式3-9］如圖，已知點A(-l,0)與點8(1,0),C是圓N+y2=i上異于A,B兩點的動點，連接BC

并延長至。，使得|CD|=|8C|,求線段AC與。。的交點P的軌跡方程.

【變式3-10］已知點4(2,0)是圓尤2+/=4上的定點，點*1,1)是圓內(nèi)一點，P、Q為圓上的動點.

(1)求線段AP的中點"的軌跡方程.

⑵若ZPBQ=90°,求線段PQ中點N的軌跡方程.

題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件

【典例4-1］若方程V+V+?u-啊+2=0表示一個圓，則機(jī)可取的值為（）

A.0B.1C.2D.3

【典例4-2】（2024?高三?全國?課后作業(yè)）關(guān)于x、y的方程42+2盯+32+￡）尤+或+尸=0表示

一個圓的充要條件是（）.

A.B=0，且&=（7W0

B-5=1，且。2+￡2-44尸>0

22

C.3=0，且4=C/0，D+E-4AF>0

D.B=0，=D2+E2-4AF>0

【方法技巧】

方程f+_/+八乂+或+尸=0表示圓的充要條件是4+"一4P>0,故在解決圓的一般式方程的有關(guān)

問題時，必須注意這一隱含條件.在圓的一般方程中，圓心為半徑r=1〃>2+序一4尸

k22J2

【變式4.1］若方程龍2+丁+以+2>+2=0表示圓，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.a<-2B.a>2

C.〃<一2或a>2D.a<-2^a>2

【變式4-2］（2024?貴州?模擬預(yù)測）已知曲線C的方程2爐+2短+4尤+8y+尸=0,則“產(chǎn)410”是

“曲線C是圓”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式4-3］已知方程/+/+向+2y+2=0表示圓，則實數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.（l,+oo）B.（2,+oo）C.（3,+oo）D.（4,+oo）

題型五：點與圓的位置關(guān)系判斷

【典例5-1］（2024?高三?廣東?開學(xué)考試）“1<6<2”是“點3（0力）在圓。:（*-1）2+（、-2）2=2內(nèi)”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【典例5-2］（2024?江西?模擬預(yù)測）若點（1,1）在圓/+/-工一。=0的外部，則。的取值范圍為

A.B.C.(-oo,l)D.(l,+oo)

【方法技巧】

在處理點與圓的位置關(guān)系問題時，應(yīng)注意圓的不同方程形式對應(yīng)的不同判斷方法，另外還應(yīng)注意其他

約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數(shù)的制約.

【變式5-1]（2024?貴州黔南?二模）已知直線了=尤+2%與直線y=的交點在圓下+口=4的內(nèi)部,

則實數(shù)上的取值范圍是（）

A.—1<Z<1B.—2<左<2C.—3（人<3D.--^2<k<A/2

【變式5-2]（2024?陜西西安?三模）若過點尸（0,1）可作圓好+>2-2-4>+°=0的兩條切線，貝|。的

取值范圍是（）

A.（3,+co）B.（-1,3）C.（3,5）D.（5,+co）

【變式5-31點P在單位圓。。上（。為坐標(biāo)原點），點A（—LT）,3（0,T）,AP=^iAO+AAB,貝|

〃十幾的最大值為（）

3

A.-B.6C.2D.3

2

【變式5-4]（2024?高三?全國?課后作業(yè)）已知兩直線y=x+2左與y=2x+上+1的交點在圓

f+尸=4的內(nèi)部，則實數(shù)上的取值范圍是（

A.--<k<-lB.——<k<l

55

C.--<^<1D.—2v左<2

3

題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

【典例6-1】已知曲線丫=，一1+4》_3與直線履-丫+左-1=。有兩個不同的交點,則實數(shù)%的取值范

圍是（）

【典例6?2】若直線/:3-丁-2=0與曲線C：Jl—（y—l）2=1_1有兩個不同的交點,則實數(shù)上的取值范

圍是（）

C卜,-3生］D.

【方法技巧】

研究曲線的交點個數(shù)問題常用數(shù)形結(jié)合法，即需要作出兩種曲線的圖像.在此過程中，尤其要注意需

對代數(shù)式進(jìn)行等價變形，以防出現(xiàn)錯誤.

【變式6-1］(多選題)關(guān)于曲線C：x2+/=2|x|+2|y|,下列說法正確的是()

A.曲線C圍成圖形的面積為4萬+8

B.曲線C所表示的圖形有且僅有2條對稱軸

C.曲線C所表示的圖形是中心對稱圖形

D.曲線C是以(1,1)為圓心，2為半徑的圓

【變式6-2］已知直線/：質(zhì)-y+2-左=0與曲線y=有兩個交點，則實數(shù)上的取值范圍為—.

【變式6-3】直線"+y-2=0與曲線(x+y_l)產(chǎn)7^=0的交點個數(shù)為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

2

【變式6-4］若兩條直線乙：y=x+m,l2,y=x+〃與圓/+y-2x-2y+f=。的四個交點能構(gòu)成矩

形，則根+〃=()

A.0B.1C.2D.3

題型七：與圓有關(guān)的對稱問題

【典例7-1】圓(x-3y+(y-l)2=5關(guān)于直線尸r對稱的圓的方程為.

【典例7-2］已知圓G:爐+丁2=3關(guān)于直線/對稱的圓為圓C2:(尤+2)2+(k1)2=3,則直線/的方程

為一

【方法技巧】

(1)圓的軸對稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對稱

(2)圓關(guān)于點對稱：

①求已知圓關(guān)于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程

②兩圓關(guān)于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點

(3)圓關(guān)于直線對稱：

①求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程

②兩圓關(guān)于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線

【變式7-1］(2024?遼寧?二模)已知圓/+/=4與圓/+/一版+4、+16=0關(guān)于直線/對稱，貝I］直

線/的方程為()

A.2x+y-3=0B.x—2y—8=0

C.2x-y-5=0D.x+2y=0

【變式7-2］(2024?高三?山西?期末)已知點A,2在圓C:/+y2+27nx+2〃y=0上，且A,B兩

點關(guān)于直線y=x+2對稱，則圓C的半徑的最小值為()

A.2B.72C.1D.3

【變式7-3】已知直線/：◎+勿+1=0,圓。:爐+/+4%+2舛1=0,若圓C上存在兩點關(guān)于直線/對

稱，則("2)2+0-7)2的最小值是()

A.5B.V5C.26D.20

【變式7-4］如果圓/+丁+m+4+尸=0(斤+￡2-4尸＞0)關(guān)于直線y=2x對稱，那么()

A.D=2EB.E=2D

C.E+2O=0D.D=E

【變式7-5］圓C:(x-l)2+(y-iy=2關(guān)于直線/:丁尤-1對稱后的圓的方程為()

A.(x-2)2+y2=2B.(x+2)2+y2=2

C.Y+(y-2)2=2D./+(y+2)2=2

題型八：圓過定點問題

【典例8-1】點尸(x,y)是直線2x+y-5=0上任意一點，。是坐標(biāo)原點，則以O(shè)P為直徑的圓經(jīng)過定點

A.(0,0)和(1,1)B.(0,0)和(2,2)C.(0,0)和(1,2)D.(0,0)和(2,1)

【典例8-2］圓了2+;/+〃a-2'-"7=0恒過的定點是___.

【方法技巧】

特殊值法

【變式8-1】已知圓C:x2+y2=4,點M■(l,l),平面內(nèi)一定點N(異于點M),對于圓C上的任意動

\AN\

點A，都有廿消為定值，定點N的坐標(biāo)為一.

\AM\

【變式8-2］(2024?高三?上海閔行?期中)若拋物線y=Y+G+6與坐標(biāo)軸分別交于三個不同的點

A、B、C,則VA3C的外接圓恒過的定點坐標(biāo)為.

【變式8-3］對任意實數(shù)加，圓V+;/-27以-47町+6m-2=。恒過定點，則其坐標(biāo)為___.

【變式8-4］設(shè)有一組圓C』(x-k+l)2+(y-3k)2=2k4,(keNt).下列四個命題其中真命題的序號是

①存在一條定直線與所有的圓均相切;

②存在一條定直線與所有的圓均相交;

③存在一條定直線與所有的圓均不相交;

④所有的圓均不經(jīng)過原點.

1.(2024年北京高考數(shù)學(xué)真題)圓V+y2—2x+6y=()的圓心到直線尤->+2=。的距離為()

A.&B.2C.3D.372

2.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)若直線2x+y-1=0是圓(x-4)2+y2=i的一條對稱軸，則。=()

A.—B.—C.1D.—1

22

3.(2020年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題)已知圓心為(-2,1)的圓與y軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(x+2)2+(y-l)2=lB.(%+2)2+(y-l)2=4

C.(%-2)2+(y+l)2=lD.(尤_2了+"1)2=4

4.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)點M在直線2x+y-l=0上，點(3,0)和(0,1)均在M上，則M

的方程為.

5.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)真題)過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4