陜西省某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級上冊開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題+答案

陜西省西安中學(xué)高2025屆高三摸底考試

數(shù)學(xué)試題

（時間：120分鐘滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

L若集合4=卜[2*<4},5={xwN|-1<%<3},則Ac3=（）

A.{x|-l<x<2}B.{0,1}C.{1}D.{x|-l<x<3}

2.下列說法正確的是（）

A.若。>6>0,則/>be1B.若a>b,則a2>b2

D.^a<b,則工〉;

C.若a<b<0,則a?>">6。

ab

3.已知a,b&R,貝是“a2024〉/。24”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.隨機(jī)變量片的分布列如下表：

-101

￡

Pab

4

若E傳）=0,則乃《）=（）

5.若命題“土田-1,3],f一2%-@0”為真命題，則實數(shù)?？扇〉淖钚≌麛?shù)值是（）

A.-1B.OC.1D.3

6.假設(shè)甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學(xué)習(xí)，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上進(jìn)步

2%,而乙疏于學(xué)習(xí)，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上退步1%.那么，大約需要經(jīng)過（）天，甲

的“日能力直'是乙的20倍（參考數(shù)據(jù)：310282.0086,lg99?1.9956,lg2?0.3010）

A.85B.100C.150D.225

7.某市抽調(diào)5位老師分赴3所山區(qū)學(xué)校支教，要求每位老師只能去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少安排一

位老師.由于工作需要，甲、乙兩位老師必須安排在不同的學(xué)校，則不同的分派方法的種數(shù)是（）

A.124B.246C.114D.108

Z7X+〃X1

8.已知函數(shù)〃x)=2'…，(a〉0且awl),若函數(shù)/⑴的值域為R,則實數(shù)a的取值

-+lax-a+3,x<1

范圍是()

A.B.^1,-C.[2,+oo)D.[3,+co)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列運算結(jié)果為1的有()

A.B.1g2+1g5

21

c.8i_92D.log23xlog34xlog42

10.設(shè)a>0,b>0,a+2b=l,貝!J()

A.ab的最大值為zB./+452的最小值為:

o2

19

C.—+工的最小值為8D.2"+4〃的最小值為20

ab

n.設(shè)甲袋中有3個白球和4個紅球，乙袋中有1個白球和2個紅球，則下列正確的有()

A.從甲袋中每次任取一個球不放回，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到紅球的概率為:

B.從甲袋中隨機(jī)取出了3個球，恰好是2個白球1個紅球的概率為卷

C.從乙袋中每次任取一個球并放回，連續(xù)取6次，則取得紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為4

D.從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球，則從乙袋中取出的是2個紅球的概率

為令

14

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在(2x+3)6二項式展開式中，常數(shù)項為.

13.已知樣本不，X],七的平均數(shù)為2,方差為1,則x；,門，后的平均數(shù)為..

14.定義：N"(無)(8)ga)}表示不等式/(x)<g(x)的解集中的整數(shù)解之和.若/(%)=|log2%|,

g(x)=a(x-l)2+2,N{f(x)0g(x)}=6,則實數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分.解

答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知二次函數(shù)，=/(%)的圖象過點(-1,3),且不等式/(x)-7x<0的解集為&,1

⑴求/Xx)的解析式；

(2)設(shè)g(x)=/(X)-",若gQ)在(2,4)上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

16.甲、乙兩人進(jìn)行知識答題比賽，每答對一題加20分，答錯一題減20分，且賽前兩人初始積分

均為60分,兩人答題相互獨立.已知甲答對每題的概率均為p,乙答對每題的概率均為q(0<p<q<D,

31

且某道題兩人都答對的概率為都答錯的概率為丁

⑴求p,q的值；

⑵乙回答3題后，記乙的積分為X,求X的分布列和期望E(X).

17.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，富裕起來的人們健康意識日益提升，越來越多的人走向公園、場館，投入健

身運動中，成為一道美麗的運動風(fēng)景線，某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時長情

況，隨機(jī)抽取400人進(jìn)行調(diào)查，得到如下表的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

周平均鍛煉時間少于5小時周平均鍛煉時間不少于5小時合計

50歲以下80120200

50歲以上(含50)50150200

合計130270400

⑴根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)c=0.01的獨立性檢驗，能否認(rèn)為周平均鍛煉時長與年齡有關(guān)聯(lián)?

⑵現(xiàn)從50歲以上(含50)的樣本中按周平均鍛煉時間是否少于5小時，用分層隨機(jī)抽樣法抽取8

人做進(jìn)一步訪談，再從這8人中隨機(jī)抽取3人填寫調(diào)查問卷，記抽取3人中周平均鍛煉時間不少于

5小時的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2

._『2n(ad-bc).

參考公式及數(shù)據(jù)：,=g+b)(c+d)(a+c)("d)，其中〃=a+>+°+d.

a0.0250.010.0050.001

Xa5.0246.6357.87910.828

18.己知函數(shù)/(x)=(2"+?i)2+I一病.

⑴當(dāng)機(jī)=2時，求當(dāng)功的值域;

⑵若/(%)最小值為-3,求m的值;

⑶在⑵的條件下，若不等式了⑴”2-8有實數(shù)解，求實數(shù)。的取值范圍.

a

19.創(chuàng)新是民族的靈魂，某大型企業(yè)對其產(chǎn)品進(jìn)行研發(fā)與創(chuàng)新，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投

當(dāng)x>17時，確定y與x滿足的線性回歸方程為：y^-OJx+a.

⑴根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)?！瓷n,17時模型①、②的決定系數(shù)尺2,并選擇擬合精度更高、

更可靠的模型，預(yù)測該企業(yè)對產(chǎn)品創(chuàng)新改造的投入為17億元時的直接收益.

回歸模型模型①模型②

回歸方程y=4.1x+11.87=21.371-14.4

￡7(%-獷

182.479.2

i=l

f（…產(chǎn)

（附：刻畫回歸效果的決定系數(shù)六=1-二一’一,717?4.1）決定系數(shù)數(shù)值越大，說明擬合效

Ea-y）2

1=1

果越好）

⑵為鼓勵科技創(chuàng)新，當(dāng)研發(fā)的投入不少于20億元時，國家給予公司補(bǔ)貼收益10億元，以回歸方

程為預(yù)測依據(jù)，比較研發(fā)改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大小.

E%%一位,9E（%-?。ā芬?）

（附：5=個----------------------，a^y-bx）

，尤；沅2，（乙_君2

Z=1Z=1

⑶研發(fā)改造后，該公司R產(chǎn)品的效率X大幅提高，X服從正態(tài)分布N（0.52,0.0F）,公司對研發(fā)團(tuán)

隊的獎勵方案如下:若R產(chǎn)品的效率不超過50%,不予獎勵;若R產(chǎn)品的效率超過50%但不超過53%,

每件R產(chǎn)品獎勵2萬元；若R產(chǎn)品的效率超過53%,每件R產(chǎn)品獎勵5萬元.求每件斤產(chǎn)品獲得

獎勵的數(shù)學(xué)期望.

（附：隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布貝l]P（4—b<J<〃+cr）=0.6826,

尸(〃一2cr<J<〃+2cr)=0.9544)

陜西省西安中學(xué)高2025屆高三摸底考試

數(shù)學(xué)參考答案

一.選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）

題號12345678

答案BCDAABcB

二.選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分）

題號91011

答案BCDABDACD

三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

三、解答題：（本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分）

15.（本小題滿分13分）

解：（1）因為不等式〃x）-7x<0的解集為

所以:和1為關(guān)于x的方程〃x）-7x=0的兩根，且二次函數(shù)y=/（x）的開口向上，

4

則可設(shè)/(x)-7x=a(?>0),IPf(x)=a(x-l)+7x,

由“X）的圖象過點可得-j（-l-1）+7X（T）=3,解得。=4,

所以〃x)=4x(x-l)+7x,/(A:)=4X2+2X+1.

(2)因為g(%)=/(^)-mx=4x2+2x+l-mx=4x2+(2-m)x+l,對稱軸犬=_^——

因為g（x）在（2,4）上是單調(diào)函數(shù)，所以一胃142或-軍24,解得利W18或m234,

OO

即實數(shù)小的取值范圍（—,18][34,+w）.13分

16.（本小題滿分15分）

3

pq=一

101

(1-p)(F)=(,解得，P=3

解：（1）由題意得，，3；....................................6分

0<p<q<\q)

⑵由題意知，X的所有取值為0,40,80,120,

則P(X=0)=Cf(l-j)3=^,P(X=40)=C；,

3354327

P(x=80)=Cl-(-)2尸(X=120)=Cf(-)3=—,

故X的分布列為

X04080120

8365427....................................12分

P

125125125125

E(X)=0x—+40x—+80x—+120x—=72.....................................15分

125125125125

17.（本小題滿分15分）

解：⑴零假設(shè)名：周平均鍛煉時長與年齡無關(guān)聯(lián),

400x(150x80-120x50)2

由2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得/=?10.256>6.635=J;

~200x200x270x130~001

根據(jù)小概率值C=0.01的獨立性檢驗，我們推斷久不成立，即認(rèn)為周平均鍛煉時長與年齡有關(guān)聯(lián)

....................................6分

⑵抽取的8人中，周平均鍛煉時長少于5小時的有8x老=2人,

不少于5小時的有8x罷=6人，

...................................8分

則X所有可能的取值為1,2,3,

所以尸（x=i）=警q，&x=2）=等=*噂=3）=裊q,

....................................12分

C8ZoC8ZoC8

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X123

3155

P

282814

所以數(shù)學(xué)期望E（X）=lx卷+2x||+3xX

....................................15分

18.（本小題滿分17分）

⑴設(shè)2工=/,m=2,：.y=（t+2）2-3,t>0,

其對稱軸方程為/=-2,故函數(shù)在Q"）上單調(diào)遞增，

當(dāng)r=O時，y=1,故所求值域為（1,+°°）；....................................5分

⑵一函數(shù)f（x）=（2'+m）2+l-m2的最小值為-3,2r>0,

當(dāng)機(jī).0時，/（x）在R上單調(diào)遞增，沒有最小值；

當(dāng)機(jī)<0時，可知2,=-加時，丁取得最小值1-療；

即-3=1-加之,解得〃z=-2或加=2（舍去），

綜上，m=-2-....................................10分

⑶由題意，/（X）,,——8有實數(shù)解，

a

>1Q

即（2、—2）2—3,,上—8,可得一.2+怖—4,

aa2X

要使此不等式有解，只需2'+41即可，

QILzmin

Q廠

2+f.2d=6（當(dāng)且僅當(dāng)x=log,3時取等號）,

9

???（2、+吩一4）.=6—4=2,

.'.—■.2,解得0<6,q,

a2

即實數(shù)。的取值范圍為（0,3.....................................17分

2

19.（本小題滿分17分）

182.479.2

⑴由表格中的數(shù)據(jù)，W182.4>79.2,即瓦一"瓦_(dá)刃2,

Z=11=1

所以模型①的W小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好，

所以當(dāng)x=17億元時，研發(fā)改造直接收益的預(yù)測值為

9=21.3x717-14.4合21.3x4.1-14.4=72.93（億元），...............5分