2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)(理)試題變式題21-23題-(學(xué)生版+解析)

2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題變式題21-23題原題211．已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．變式題1基礎(chǔ)2．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍．變式題2基礎(chǔ)3．設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意的，都有成立，求實數(shù)a的取值范圍．變式題3基礎(chǔ)4．已知函數(shù)，其中．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，，求的最大值．變式題4鞏固5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，若在，處的導(dǎo)數(shù)相等，證明：；（2）若有兩個不同的零點，，證明：．變式題5鞏固6．已知，設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對任意實數(shù)，函數(shù)均有零點，求實數(shù)的最大值；(3)若函數(shù)有兩個零點，證明：．變式題6鞏固7．已知函數(shù)．(1)求的零點個數(shù)；(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點，．證明：．變式題7提升8．已知函數(shù)有兩個零點．(1)求的取值范圍；(2)已知圖象與圖象關(guān)于對稱，證明：當(dāng)時，．(3)設(shè)，是兩個零點，證明：．變式題8提升9．已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為.(1)求函數(shù)的極大值；(2)若，是函數(shù)圖象上不同的兩點，求實數(shù)a的取值范圍，并證明：.變式題9提升10．設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論零點的個數(shù)；(3)若有兩個極值點且，證明：.變式題10提升11．已知函數(shù)．(1)若恒成立，求a；(2)若的兩個零點分別為，證明：．原題2212．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）．(1)寫出的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，求與交點的直角坐標(biāo)，及與交點的直角坐標(biāo)．變式題1基礎(chǔ)13．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)求與公共點的直角坐標(biāo).變式題2基礎(chǔ)14．曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求曲線與交點的極坐標(biāo)．變式題3基礎(chǔ)15．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線E的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線C的普通方程和直線E的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線C與直線E交點的極坐標(biāo)．變式題4鞏固16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點M的極坐標(biāo)為，直線l與曲線C交于A，B兩點，求．變式題5鞏固17．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．(1)求的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程．(2)設(shè)與的交點為M，N，證明：是等腰直角三角形．變式題6鞏固18．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線：，曲線：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線，的極坐標(biāo)方程；(2)若射線與曲線，的公共點分別為A，B，求的最大值.變式題7鞏固19．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若點M，N分別在直線l和曲線C上，且直線的斜率為，求線段長度的取值范圍．變式題8提升20．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(γ為參數(shù))，曲線的參數(shù)方程為(s為參數(shù))．以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點A的極坐標(biāo)為，直線l：()與交于點B，其中．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程以及曲線的普通方程；（2）過點A的直線m與交于M，N兩點，若，且，求α的值．變式題9提升21．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）若直線平行于直線，且與曲線只有一個公共點，求直線的方程；（2）若直線與曲線交于兩點，，求的面積．變式題10提升22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，且在兩坐標(biāo)系下取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系.點P的極坐標(biāo)為，直線l經(jīng)過點P，且與極軸所成角為.（1）寫出曲線C的普通方程和直線l的以P為定點的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程；（2）設(shè)點M為曲線C上的動點，求點M到直線l的距離d的最大值.原題2323．已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)若，則．變式題1基礎(chǔ)24．已知（1）求的最小值；（2）若，，求證：變式題2基礎(chǔ)25．已知，，.（1）若，求的最大值；（2）若，求的最小值.變式題3基礎(chǔ)26．已知正數(shù)a，b，c，d滿足，證明：(1)；(2).變式題4基礎(chǔ)27．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且．(1)求的最小值；(2)證明：．變式題5鞏固28．（1）已知、、是正數(shù)，且滿足，求證；（2）已知、是正數(shù)，且滿足，求證：．變式題6鞏固29．（Ⅰ）若，且滿足，證明：；（Ⅱ）若，且滿足，證明：.變式題7鞏固30．設(shè)、、為正實數(shù)，且.(1)證明：；(2)證明：．變式題8提升31．已知a，b，c為正實數(shù)，且a+b+c=1.（1）證明：；（2）證明：.變式題9提升32．已知，，.（1）若，求證：；（2）若，求證：.變式題10提升33．已知，，均為正實數(shù)，且．證明：(1)；(2)．2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題變式題21-23題原題211．已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．變式題1基礎(chǔ)2．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍．變式題2基礎(chǔ)3．設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意的，都有成立，求實數(shù)a的取值范圍．變式題3基礎(chǔ)4．已知函數(shù)，其中．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，，求的最大值．變式題4鞏固5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，若在，處的導(dǎo)數(shù)相等，證明：；（2）若有兩個不同的零點，，證明：．變式題5鞏固6．已知，設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對任意實數(shù)，函數(shù)均有零點，求實數(shù)的最大值；(3)若函數(shù)有兩個零點，證明：．變式題6鞏固7．已知函數(shù)．(1)求的零點個數(shù)；(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點，．證明：．變式題7提升8．已知函數(shù)有兩個零點．(1)求的取值范圍；(2)已知圖象與圖象關(guān)于對稱，證明：當(dāng)時，．(3)設(shè)，是兩個零點，證明：．變式題8提升9．已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為.(1)求函數(shù)的極大值；(2)若，是函數(shù)圖象上不同的兩點，求實數(shù)a的取值范圍，并證明：.變式題9提升10．設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論零點的個數(shù)；(3)若有兩個極值點且，證明：.變式題10提升11．已知函數(shù)．(1)若恒成立，求a；(2)若的兩個零點分別為，證明：．原題2212．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）．(1)寫出的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，求與交點的直角坐標(biāo)，及與交點的直角坐標(biāo)．變式題1基礎(chǔ)13．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)求與公共點的直角坐標(biāo).變式題2基礎(chǔ)14．曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求曲線與交點的極坐標(biāo)．變式題3基礎(chǔ)15．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線E的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線C的普通方程和直線E的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線C與直線E交點的極坐標(biāo)．變式題4鞏固16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點M的極坐標(biāo)為，直線l與曲線C交于A，B兩點，求．變式題5鞏固17．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．(1)求的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程．(2)設(shè)與的交點為M，N，證明：是等腰直角三角形．變式題6鞏固18．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線：，曲線：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線，的極坐標(biāo)方程；(2)若射線與曲線，的公共點分別為A，B，求的最大值.變式題7鞏固19．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若點M，N分別在直線l和曲線C上，且直線的斜率為，求線段長度的取值范圍．變式題8提升20．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(γ為參數(shù))，曲線的參數(shù)方程為(s為參數(shù))．以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點A的極坐標(biāo)為，直線l：()與交于點B，其中．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程以及曲線的普通方程；（2）過點A的直線m與交于M，N兩點，若，且，求α的值．變式題9提升21．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）若直線平行于直線，且與曲線只有一個公共點，求直線的方程；（2）若直線與曲線交于兩點，，求的面積．變式題10提升22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，且在兩坐標(biāo)系下取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系.點P的極坐標(biāo)為，直線l經(jīng)過點P，且與極軸所成角為.（1）寫出曲線C的普通方程和直線l的以P為定點的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程；（2）設(shè)點M為曲線C上的動點，求點M到直線l的距離d的最大值.原題2323．已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)若，則．變式題1基礎(chǔ)24．已知（1）求的最小值；（2）若，，求證：變式題2基礎(chǔ)25．已知，，.（1）若，求的最大值；（2）若，求的最小值.變式題3基礎(chǔ)26．已知正數(shù)a，b，c，d滿足，證明：(1)；(2).變式題4基礎(chǔ)27．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且．(1)求的最小值；(2)證明：．變式題5鞏固28．（1）已知、、是正數(shù)，且滿足，求證；（2）已知、是正數(shù)，且滿足，求證：．變式題6鞏固29．（Ⅰ）若，且滿足，證明：；（Ⅱ）若，且滿足，證明：.變式題7鞏固30．設(shè)、、為正實數(shù)，且.(1)證明：；(2)證明：．變式題8提升31．已知a，b，c為正實數(shù)，且a+b+c=1.（1）證明：；（2）證明：.變式題9提升32．已知，，.（1）若，求證：；（2）若，求證：.變式題10提升33．已知，，均為正實數(shù)，且．證明：(1)；(2)．參考答案：1．(1)(2)證明見的解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域為，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設(shè)要證,即證因為,即證又因為,故只需證即證即證下面證明時，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個解又因為有兩個零點，故兩邊取對數(shù)得：，即又因為，故，即下證因為不妨設(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題是極值點偏移問題，關(guān)鍵點是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握2．（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求，分別討論不同范圍下的正負(fù)，分別求單調(diào)性；（2）由（1）所求的單調(diào)性，結(jié)合，分別求出的范圍再求并集即可.【詳解】解：（1）由已知定義域為，當(dāng)，即時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，（舍）或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，若對任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；當(dāng)時，若，即，則在上單調(diào)遞增，又，所以成立；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，，不滿足對任意的恒成立.所以綜上所述：.3．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系即可得單調(diào)區(qū)間；（2）利用分離參數(shù)思想，求出的最小值即可得結(jié)果；（1）函數(shù)的定義域為由，得；由，得．∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以∵對任意的，都有成立即對任意的，都有成立∴∴實數(shù)a的取值范圍為4．(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)【分析】（1），討論或判斷的單調(diào)性；（2）由題意可得：對任意恒成立，即，通過導(dǎo)數(shù)求的最小值．（1），當(dāng)時，當(dāng)恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）依題意得對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，令，則在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，故的最大值為．5．（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）得出導(dǎo)函數(shù)，由題意得出，利用基本不等式得出，即可證明；（2）由函數(shù)零點的性質(zhì)可得，整理得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性得出，令，整理得到，從而得出，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題設(shè)條件得出，從而得出，最后由不等式的性質(zhì)得出結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時，所以，由題意，得，化簡，得所以，所以（2）由題意，得兩式相減，得所以構(gòu)造函數(shù)則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增所以當(dāng)時，令，則，化簡得所以，所以．因為若，則，單調(diào)遞減，不可能有兩個不同的零點，所以，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以所以，即，解得故．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的零點、函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查考生綜合運用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識解決問題的能力，考查考生的運算求解能力及邏輯思維能力．6．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時，對函數(shù)求導(dǎo)，再根據(jù)和兩種情況進(jìn)行分類討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)果.（2）對函數(shù)求導(dǎo)，再根據(jù)和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最值；（3）由題意得，要證原命題成立，只要證成立；設(shè)，則，是函數(shù)的兩根．再根據(jù)和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，再記函數(shù)有圖象關(guān)于直線對稱后是函數(shù)的圖象，再求的正負(fù)情況，最后根據(jù)不等式關(guān)系，即可證明結(jié)果.（1）解：當(dāng)時，．．當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，若，，在上不可能單調(diào)遞增．．所以在上單調(diào)遞增，則．（2）解：（?。┊?dāng)時，，在上單調(diào)遞增．有零點．（ⅱ）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又當(dāng)x趨近于時，f(x)趨近于；x趨近于時，f(x)趨近于；所以只要恒成立，則恒有零點．即恒成立．因為求的最大值，不妨設(shè)，．設(shè)，則．所以只要．即，得．所以的最大值為．（3）解：由題意得：只要證．設(shè)，．則，是函數(shù)的兩根．．當(dāng)時，，與函數(shù)有兩個零點矛盾．所以．所以當(dāng)時，．所以函數(shù)在上遞增，在上遞減．記函數(shù)有圖象關(guān)于直線對稱后是函數(shù)的圖象．有．則．．所以時，．所以，即．所以．．所以．7．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）分離參數(shù)a，構(gòu)造函數(shù)，并求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理即可求解出零點個數(shù)；或直接對函數(shù)求導(dǎo)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合零點存在定理，從而求得函數(shù)的零點個數(shù)；（2）先判斷兩個極值點存在的條件，然后把所證的式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可證明結(jié)論．（1）由題意可知，令，則，∴．令，則，當(dāng)時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，當(dāng),且，當(dāng)時，，∴當(dāng)或，即或時，函數(shù)有且僅有一個零點；當(dāng)，即時，函數(shù)有兩個零點；當(dāng)，即時，函數(shù)沒有零點．綜上所述，當(dāng)或時，函數(shù)有且僅有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；當(dāng)時，函數(shù)沒有零點．（2），則，則，∴或，且，∵，∴．令，，則，令，則，當(dāng)時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴．∴．【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．(5)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題．8．(1).(2)證明見解析.(3)證明見解析.【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)，再分，，，，討論導(dǎo)函數(shù)的符號，得原函數(shù)的單調(diào)性，從而建立不等式，求解可得的取值范圍；（2）由題意求得，令，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，得所令函數(shù)的單調(diào)性和最值，由此可得證；（3）由已知得，繼而有，令，有，求導(dǎo)函數(shù)，并分析其符號，得函數(shù)的單調(diào)性，設(shè)，則，設(shè)，，運用導(dǎo)函數(shù)分析得在的單調(diào)性和最值，從而得恒成立，再令，由函數(shù)的單調(diào)性可得證.（1）解：函數(shù)，，①若，那么，函數(shù)只有唯一的零點2，不合題意；②若，那么恒成立，當(dāng)時，，此時函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時，，此時函數(shù)為增函數(shù)；此時當(dāng)時，函數(shù)取極小值，由（2），可得：函數(shù)在存在一個零點；當(dāng)時，，，，令的兩根為，，且，則當(dāng)時，，故函數(shù)在存在一個零點；即函數(shù)在是存在兩個零點，滿足題意；③若，則，當(dāng)時，，，即恒成立，故單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，即恒成立，故單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，即恒成立，故單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)取極大值，由得：函數(shù)在上至多存在一個零點，不合題意；④若，則，當(dāng)時，，，即恒成立，故單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，即恒成立，故單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上至多存在一個零點，不合題意；⑤若，則，當(dāng)時，，，即恒成立，故單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，即恒成立，故單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，即恒成立，故單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)取極大值，由（1）得：函數(shù)在上至多存在一個零點，不合題意；綜上所述，的取值范圍為．（2）證明：由題意得：，令，則，時，，在遞增，（1），故當(dāng)

時，．（3）證明：，是的兩個零點，，且，且，，令，則，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；設(shè)，則，設(shè)，，則恒成立，即在上為增函數(shù)，恒成立，即恒成立，令，則，即．9．(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用可求，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號可得函數(shù)的極值.（2）令，根據(jù)單調(diào)性可得最大值，根據(jù)后者的符號可得的取值范圍，注意檢驗.利用滿足的條件可得要證，只需證：，后者可構(gòu)建新函數(shù)來證明.（1）由題可知函數(shù)的定義域為，，由，得，解得.此時.當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，故在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極大值，為.（2）由題意知方程有兩個不同的實數(shù)根，.令，則有兩個不同的零點，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為.故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.所以即.若，則當(dāng)時，即，故在上沒有零點，此時在上至多有一個零點，矛盾.故.下證：當(dāng)時，，設(shè)，則，故在上為減函數(shù)，故，故當(dāng)時，成立.所以時，有即，故當(dāng)時，有當(dāng)時，，故在上有一個零點.又，故在上有且只有一個零點.綜上，.不妨設(shè)，由可得，可得，整理得.要證，只需證：，即證，令，則，故只需證在上恒成立即可.令，則當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以在區(qū)間上恒成立，故.【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下的函數(shù)零點問題，需利用函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定理來處理，后者取點時要注意與極值點比較大小，如果取點比較困難，可利用放縮法來處理.10．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，即可得到的解析式，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）得，，再對分三種情況討論結(jié)合零點存在性定理，分別得到函數(shù)的零點個數(shù)；（3）由（2）可得且，依題意可得，利用導(dǎo)數(shù)證明，即可得到，從而得證；（1）解：因為，所以．

即，，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）解：由（1）得，．當(dāng)時，，則在上無零點．當(dāng)時，，則在上有一個零點．當(dāng)時，，因為，，，所以，，，故在上有兩個零點．綜上，當(dāng)時，在上無零點；當(dāng)時，在上有一個零點；當(dāng)時，在上有兩個零點．（3）證明：由（2）及有兩個極值點，且，可得，在上有兩個零點，且．所以，

兩式相減得，即．因為，所以．下面證明，即證．令，則即證．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故．又，所以，故．【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．11．(1)(2)證明見解析【分析】（1）令新函數(shù)，求導(dǎo)，利用極值求得，再代入檢驗；（2）將代入，計算化簡之后，換元得新函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性與極值，并結(jié)合基本不等式證明.（1）定義域為，得，即，設(shè)，因為，，故，而，，得，若，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．所以是的極小值點，故．綜上，．（2）由題意知，兩式相加得，兩式相減得，即，所以，即，顯然，記，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，則，即，所以，所以，所以，即，令，則時，，所以在上單調(diào)遞增，又，故，所以，所以，則，即．【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．12．(1)；(2)的交點坐標(biāo)為，，的交點坐標(biāo)為，．【分析】(1)消去，即可得到的普通方程；(2)將曲線的方程化成普通方程，聯(lián)立求解即解出．（1）因為，，所以，即的普通方程為．（2）因為，所以，即的普通方程為，由，即的普通方程為．聯(lián)立，解得：或，即交點坐標(biāo)為，；聯(lián)立，解得：或，即交點坐標(biāo)為，．13．(1)：，：；(2).【分析】（1）將曲線的參數(shù)方程兩邊同時平方后相減即可求得其直角坐標(biāo)方程；利用，即可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立（1）中所求兩曲線的直角坐標(biāo)方程，即可求得公共點坐標(biāo).（1）將的參數(shù)方程兩邊同時平方并相減，得，故曲線的直角坐標(biāo)方程為.將代入的極坐標(biāo)方程得.故的直角坐標(biāo)方程為，的直角坐標(biāo)方程為.（2）由可得的直角坐標(biāo)方程為，的直角坐標(biāo)方程為，聯(lián)立方程組，解得故與公共點的直角坐標(biāo)為.14．(1)；(2).【分析】（1）應(yīng)用同角三角形函數(shù)的平方關(guān)系消參，得到直角坐標(biāo)方程，再由公式法寫出極坐標(biāo)方程即可.（2）寫出的直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立求交點坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式即可.（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則，所以直角坐標(biāo)方程為，由公式法，可得極坐標(biāo)方程為.（2）曲線的極坐標(biāo)方程為，可得其直角坐標(biāo)方程為所以，解得或，所以交點極坐標(biāo)為.15．(1)曲線C的普通方程為，直線E的直角坐標(biāo)方程為；(2)，【分析】（1）直接消參求出曲線C的普通方程，利用公式求得直線E的直角坐標(biāo)方程；（2）先聯(lián)立求出交點的直角坐標(biāo)，再化為極坐標(biāo)即可.（1）由題意知：（為參數(shù)），則，所以曲線C的普通方程為，因為，，所以直線E的直角坐標(biāo)方程為；（2）由，解得或，故交點的直角坐標(biāo)為，由化為極坐標(biāo)為，.16．(1)；(2)【分析】（1）由曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)即可；由直線l的極坐標(biāo)方程為，利用求解；（2）設(shè)，求得直線l的參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義求解.（1）解：由，又，所以；由，將代入得；（2）設(shè)，點A，B所對應(yīng)的參數(shù)為，，則l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入得，，所以．17．(1)；(2)證明見解析【分析】（1）由參數(shù)方程消參，極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式化簡即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)的直角坐標(biāo)方程，求得再根據(jù)與半徑滿足的勾股定理判斷即可（1）由題，兩式相減有.因為，，，的直角坐標(biāo)方程為即（2）因為，則圓心到直線的距離為,又圓的半徑，故，因為，且，故是等腰直角三角形18．(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式可得，消參得的普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可；（2）根據(jù)極徑的意義，問題轉(zhuǎn)化為，代入，，利用三角函數(shù)求最值即可.（1）曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的普通方程為，所以曲線的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，，因為A，B是射線與曲線，的公共點，所以不妨設(shè)，則，，所以，所以當(dāng)時，取得最大值.19．(1)；(2)【分析】（1）利用消參方法消參即可，再利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式即可求直角方程；（2）根據(jù)題意得的傾斜角為，所以直線與直線的夾角為，過作，垂足為，則，利用參數(shù)求出的范圍即可求解.（1）消去參數(shù)得直線的普通方程為，再將代入直線的普通方程，得直線的極坐標(biāo)方程為．由得曲線的直角坐標(biāo)方程為，所以直線l的極坐標(biāo)方程為；曲線C的直角坐標(biāo)方程為．（2）因為直線的斜率為，即傾斜角為，而直線的傾斜角為，故直線與直線的夾角為，如下圖所示，過作，垂足為，則，因為曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），所以可設(shè)，則，且，因為，，，所以．所以線段長度的取值范圍是20．（1）；()（2）.【解析】（1）消去參數(shù)即可得曲線、的直角坐標(biāo)方程，由極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化公式即可得曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l的參數(shù)方程，進(jìn)而可得直線m的參數(shù)方程，分別與、聯(lián)立，可得M，N，B對應(yīng)的參數(shù)，，的關(guān)系，代入計算即可得解.【詳解】（1）曲線的參數(shù)方程為，(γ為參數(shù))，曲線的普通方程為，即．由，得曲線的極坐標(biāo)方程為，即曲線的極坐標(biāo)方程為．由曲線的參數(shù)方程，(s為參數(shù)),可得，又，故曲線的普通方程為()．（2）A的極坐標(biāo)為，故A的直角坐標(biāo)為，設(shè)l：(p為參數(shù))，，則直線m：(t為參數(shù))，，聯(lián)立m：與的方程，得,，聯(lián)立l：與的方程()，得．設(shè)M，N，B對應(yīng)的參數(shù)分別為，，，則，，由可得，，化簡得即，.【點睛】本題考查了參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程及極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與運算求解能力，屬于中檔題.21．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，求得直線的方程，消去參數(shù)求得曲線的普通方程，結(jié)合直線與曲線的位置關(guān)系，結(jié)合，即可求解；（2）聯(lián)立方程組，結(jié)果根與系數(shù)的關(guān)系，求得，利用弦長公式，求得，再利用點到直線的距離公式和三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）因為直線的極坐標(biāo)方程為，所以化為平面直角坐標(biāo)系下的方程為，因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以化為普通方程為．因為直線平行于直線，所以可設(shè)直線的方程為，代入曲線的方程，可得，因為直線與曲線只有一個公共點，所以，解得，所以直線的方程為．（2）由（1）知直線的方程為，曲線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，所以，，所以弦長，點到直線的距離為，所以的面積為．【點睛】本題主要考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，以及直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等．22．（1），(為參數(shù))；（2）.【分析】（1）由參數(shù)方程消去參數(shù)，可得到曲線C的普通方程，點P的直角坐標(biāo)為，且直線l的傾斜角為，可直接寫出直線的參數(shù)方程；（2）寫出直線l的普通方程，設(shè)，利用點到直線的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求最值.【詳解】（1）將曲線C的參數(shù)方程，消去參數(shù)，得到曲線C的普通方程；點P的極坐標(biāo)為化為直角坐標(biāo)為，且直線l的傾斜角為，所以直線l的以P為定點的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為(為參數(shù))；（2）將直線l的參數(shù)方程，消去參數(shù)，得到普通方程，設(shè)，則點M到直線l的距離當(dāng)，即時等號成立，所以點M到直線l的距離d的最大值為【點睛】方法點睛：本題考查了橢圓的參數(shù)方程的運用，點到直線的距離公式的應(yīng)用，解決橢圓中的最值問題，一般有兩種方法：一是幾何法，特別是用橢圓的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解非常巧妙；二是代數(shù)法，將橢圓中的最值問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)問題(即根據(jù)條件列出所求的目標(biāo)函數(shù))，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角有界法、函數(shù)單調(diào)性法即基本不等式法等，求解最大值或最小值.23．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）方法一：根據(jù)，利用柯西不等式即可得證；（2）由（1）結(jié)合已知可得，即可得到，再根據(jù)權(quán)方和不等式即可得證.（1）[方法一]：【最優(yōu)解】柯西不等式由柯西不等式有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以.[方法二]：基本不等式由，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以.（2）證明：因為，，，，由（1）得，即，所以，由權(quán)方和不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以.【點睛】（1）方法一：利用柯西不等式證明，簡潔高效，是該題的最優(yōu)解；方法二：對于柯西不等式不作為必須掌握內(nèi)容的地區(qū)同學(xué)，采用基本不等式累加，也是不錯的方法．24．（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)柯西不等式可直接得出結(jié)果；（2）由（1）得到，再由，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為由柯西不等式可知：，即：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以；（2）由（1）可知：，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.【點睛】本題主要考查由柯西不等式求最值，以及不等式的證明，熟記柯西不等式與基本不等式即可，屬于?？碱}型.25．（1）；（2）.【分析】（1）對代數(shù)式進(jìn)行變形，利用基本不等式進(jìn)行求解即可；（2）利用柯西不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）∵，，，∴，當(dāng)且僅