北京市石景山區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

石景山區(qū)2023—2024學(xué)年第二學(xué)期高二期末試卷數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，滿(mǎn)分為100分，考試時(shí)間為120分鐘.請(qǐng)務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效，考試結(jié)束后上交答題卡.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1已知集合，，則（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用交集定義即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：D.2.已知命題p：“”，則為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)命題的否定的定義判斷．【詳解】特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題．命題p：“”，的否定為：．故選：C．3.已知等差數(shù)列，則等于（）A. B.0 C.2 D.5【答案】B【解析】【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差為，建立等量關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，解得：?故選：B.4.已知事件A，B相互獨(dú)立，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用事件獨(dú)立性的概率乘法公式及條件概率公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，所以，所以，故選：B.5.在數(shù)列中，，（），則的值為（

）A.-2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】數(shù)列中，由，，計(jì)算，，，...，可得，利用周期性計(jì)算得出.【詳解】數(shù)列中，由，，得，同理可得，，...，所以，則.故選：D.6.函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件得到在點(diǎn)處的切線斜率為，進(jìn)而通過(guò)及的值得到答案.【詳解】由知，故.由于的斜率為，故在點(diǎn)處的切線斜率為.所以，故，得.故選：A.7.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性可得答案.【詳解】，當(dāng)x∈R時(shí)，，所以是單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)椋?故選：D8.已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】在已知條件下，，都與等價(jià)，由此即可得解.【詳解】，而，所以，充分性成立；反過(guò)來(lái)若，若，則一定有，所以，，故，必要性成立；也就是說(shuō)，已知數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是“”的充分必要條件.故選：C.9.若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】即函數(shù)圖象與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)畫(huà)出函數(shù)圖象，即可得答案.【詳解】，則函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)圖象與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn).又，則當(dāng)時(shí)，，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極小值.又時(shí)，，據(jù)此可得大致圖象如下：則.故選：C10.數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），前n項(xiàng)和為，給出下列三個(gè)結(jié)論：①存在正整數(shù)，使得；②存在正整數(shù)，使得；③記，則數(shù)列有最大項(xiàng)和最小項(xiàng).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，令，求得，得到，可判定①正確；由當(dāng)時(shí)，可判定②正確；由當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)，當(dāng)最大，可判定③正確.【詳解】由題意，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為，令，即，解得或（舍去），即，所以，即存在正整數(shù)，使得，所以①正確；由，存在正整數(shù)，使得，所以②正確；由數(shù)列an的通項(xiàng)公式為，可得，且當(dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列有最小項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，數(shù)列有最大項(xiàng)，所以③正確.故選：A.第二部分（非選擇題共60分）二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)定義域求解方法即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為其?dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖所示，且，，則不等式的解集為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系，即可解不等式.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)圖象可知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，即不等式的解集為；故答案為：13.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義得到，然后利用已知項(xiàng)的值即可得到結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列，知.所以.故答案為：.14.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則__________，過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為_(kāi)______________.【答案】①.4②.【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求解，設(shè)切點(diǎn)，求斜率，寫(xiě)切線方程，即可求解直線方程.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，，解得，故，即；設(shè)過(guò)點(diǎn)且與曲線相切，切點(diǎn)為，且，故切線斜率為，即切線方程為，切線方程過(guò)點(diǎn)，代入方程可得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線方程為；當(dāng)時(shí)，直線方程為.故答案為：4，.15.已知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①可能是負(fù)數(shù)；②；③為定值；④若存在，使得，則.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．【答案】②③④【解析】【分析】對(duì)于①，分是否大于0進(jìn)行討論；對(duì)于②，由韋達(dá)定理即可判斷；對(duì)于③，結(jié)合②中結(jié)論直接驗(yàn)算；對(duì)于④，原命題等價(jià)于關(guān)于的不等式有解，進(jìn)一步等價(jià)于關(guān)于的不等式有解，故只需求出不等式左邊的最小值即可驗(yàn)算.【詳解】對(duì)于①，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)相異實(shí)根，這意味著，否則時(shí)，f′x≥0，即若，則當(dāng)時(shí)，f′x>0，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，f′x>0即在的條件下，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，是方程的兩根，從而，故②正確；對(duì)于③，，故③正確；對(duì)于④，若存在，使得，即關(guān)于的不等式有解，而沒(méi)有最大值，故原命題等價(jià)于關(guān)于的不等式有解，令,而函數(shù)的最小值為1，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即滿(mǎn)足題意，即若存在，使得，則，故④正確.故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷④的關(guān)鍵是將原問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為關(guān)于的不等式有解，由此即可順利得解.三、解答題共5小題，共40分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）若對(duì)都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）極大值；極小值（2）【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)極值的定義即可求解；（2）只需求出不等式左邊的最小值即可，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與最值的關(guān)系即可得解.【小問(wèn)1詳解】由，得.令得或.當(dāng)變化時(shí)，在各區(qū)間上的正負(fù)，以及的單調(diào)性如下表所示：＋0－0＋↗極大↘極小↗所以當(dāng)時(shí)取極大值；當(dāng)時(shí)取極小值.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上的最小值為.對(duì)都有恒成立，所以.17.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個(gè)作為已知，并完成解答.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：數(shù)列的前n項(xiàng)和．條件①，條件②，條件③.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）選①②或②③時(shí)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求出首項(xiàng)與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；選①③時(shí)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2），利用裂項(xiàng)相消法即可證明.【小問(wèn)1詳解】（1）由于是等差數(shù)列，設(shè)公差為，當(dāng)選①②時(shí)：，解得，所以的通項(xiàng)公式，．選①③時(shí)，解得，所以的通項(xiàng)公式，．選②③時(shí)，解得，所以的通項(xiàng)公式，．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以，所以，因?yàn)椋?18.某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度（單位：cm）介于之間，現(xiàn)對(duì)植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測(cè)量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.（1）求的值；（2）若從高度在和中分層抽樣抽取5株，在這5株中隨機(jī)抽取3株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）以頻率估計(jì)概率，若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，求至少有2株高度在的概率.【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，（3）【解析】【分析】（1）依題頻率和為1可得答案；（2）求出的取值及相應(yīng)的概率可得答案；（3）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)概率公式可得答案.【小問(wèn)1詳解】依題意可得，解得；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得高度在和的頻率分別為和，所以分層抽取的5株中，高度在和的株數(shù)分別為2和3，所以可取0，1，2，所以，，，所以的分布列為：012所以；【小問(wèn)3詳解】從所有花卉中隨機(jī)抽取3株，記至少有2株高度在為事件，則.19.已知函數(shù).（1）求證：當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，若曲線在曲線的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）構(gòu)造，求導(dǎo)可得，分析的符號(hào)可得的單調(diào)性，從而可證明；（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，滿(mǎn)足題意.令，求導(dǎo)，分與討論即可求解.【小問(wèn)1詳解】令，.由得，于是，故函數(shù)是上的增函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，，即；小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，由（1）知，滿(mǎn)足題意.令，則.當(dāng)時(shí)，若，，則在上是減函數(shù).所以時(shí)，，不合題意.當(dāng)時(shí)，，則在上是減函數(shù)，所以，不合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍.20.若數(shù)列對(duì)任意的，均滿(mǎn)足，則稱(chēng)為“速增數(shù)列”.（1）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1公比為3的等比數(shù)列，判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”？說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)，，，，求正整數(shù)k的最大值.【答案】（1）數(shù)列an是“速增數(shù)