2024年上海市中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算綜合過(guò)關(guān)檢測(cè)（解析版）

專題16正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算綜合過(guò)關(guān)檢測(cè)

（考試時(shí)間：90分鐘，試卷滿分：100分）

一、單選題（本題共10小題，每題3分，共30分）

1.一個(gè)正多邊形的中心角為30。，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）

A.5B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)正多邊形的中心角和為360。和正多邊形的中心角相等，列式計(jì)

算即可.

【詳解】解：正多邊形的中心角和為360。，正多邊形的中心角是30。，

這個(gè)正多邊形的邊數(shù)3=60第°=12.

故選：D.

2.如圖，半徑為2的。是正六邊形ABCDEF的外接圓，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.點(diǎn)。是正六邊形ABCDEF的中心B.正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)是2

C.正六邊形ABCDEF的中心角是60°D.正六邊形ABCDEF的邊心距0M=2出

【答案】D

【分析】本題考查了正多邊形與圓，正多邊形的性質(zhì)，。是正六邊形ABCDEF的外接圓可判斷選項(xiàng)A,

連接OC,OD,證明OCD是等邊三角形可判斷B,C；由勾股定理求出可判斷D

【詳解】解：：。是正六邊形ABCDEF的外接圓，

點(diǎn)0是正六邊形ABCDEF的中心，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；

連接。C,O￡>,如圖，

ZCOD=-x360°=60°,

6

;OC=OD,

???，OCD是等邊三角形，

??.OC=OD=CD=2,

???正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)是2,故選項(xiàng)B正確，不符合題意；

???正六邊形ABCDEF的中心角是60。，故選項(xiàng)C正確，不符合題意;

?：OM1CD,

：.CM=DM=-CD=l,

2

,,OM=yIOD2—DM2=-\/22—I2='^3'

；?選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意；

故選：D.

3.齊齊哈爾市龍沙公園內(nèi)有一樓亭，始建于1908年，1964年7月21日，朱德委員長(zhǎng)來(lái)齊齊哈爾市視察,

登樓遠(yuǎn)眺，神清氣爽，嫩江水碧波蕩漾，齊齊哈爾風(fēng)光盡收眼底，朱老總即興揮毫題寫了“望江樓”三個(gè)大字，

后將其制成黑底金字的長(zhǎng)匾懸掛于飛檐之下，得名“望江樓”.我國(guó)古代許多樓亭的地基都是正六邊形（如圖）,

若有一個(gè)亭子，它的地基是邊長(zhǎng)為4m的正六邊形，則地基的面積為（）

的

22

A.473mB.12Gm2C.24mD.24百m?

【答案】D

【分析】本題主要考查等多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形中心角相等；

過(guò)點(diǎn)。作OCLAB于點(diǎn)C,通過(guò)證明OAB為等邊三角形，得出OA=AB=4m,AC=^AB=2m,根據(jù)勾

股定理可得：OC=VtM2-AC2=2V3m＞則5卸=；AROC=4用(m),即可得出地基的面積=6S,B.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作OCLAB于點(diǎn)C,

ACB

A"

??,該六邊形為正六邊形，

360°

/.OA=OB,ZAOB=——=60。，

6

???，。鉆為等邊三角形，

OA=AB=4m,

OCA.AB,

：.AC=-AB=2m,

2

根據(jù)勾股定理可得：OC=JoT-3=2gm，

S0As=卜2℃=4石(m)

/.地基的面積=65?=246m2,

故選：D.

4.如圖，A、B、C、。為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn),。為正多邊形的中心，若NAZM=18。，則這個(gè)正多邊形

的邊數(shù)為()

A

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，連接。4,。8,根據(jù)圓周角定理得到NAQB=2Z4D3=36。,

即可得到結(jié)論，熟練掌握?qǐng)A周角定理的應(yīng)用及正確理解正多邊形與圓的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接Q4,0B,

,:A、B、C、。為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，。為正多邊形的中心，

...點(diǎn)A、B、C、O在以點(diǎn)。為圓心，為半徑的同一個(gè)圓上，

*.?ZADB=18°,

：.ZAOB=2ZADB=36°,

這個(gè)正多邊形的邊數(shù)3=60苛°=10,

故選：D.

5.如圖，AC是O內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)8在弧AC上，且BC是。內(nèi)接正八邊形的一邊.此時(shí)48是

。內(nèi)接正”邊形的一邊，則〃的值是（）

A.12B.16C.20D.24

【答案】D

【分析】本題考查正多邊形和圓的計(jì)算.根據(jù)中心角的度數(shù)=360。+邊數(shù)，列式計(jì)算分別求出NAOC,ZBOC

的度數(shù)，則ZAOB=15。，則邊數(shù)〃=360。+中心角，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：連接。8,

:AC是-O內(nèi)接正六邊形的一邊,

/4。。=360。+6=60。

BC是-O內(nèi)接正八邊形的一邊，

ZBOC=360°-8=45°

ZAOB=ZAOC-ZBOC=60°-45°=15°

“=360°+15°=24

故選：D.

6.如圖是半徑為4的。的內(nèi)接正六邊形ABCDEF,則圓心。到邊A3的距離是（）

【答案】B

【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，勾股定理，過(guò)點(diǎn)。作加，回于點(diǎn)根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出

360011

ZAOB=——=60。,04=08=4,則ZAOM=—4403=30。，進(jìn)而得出AM=—。4=2,最后根據(jù)勾股定理

622

即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)M,

六邊形ABCDEF為正六邊形，

360°

ZAOB=——=60。,04=03=4,

6

OMVAB,

：.ZAOM=-ZAOB=30°,

2

：.AM=-OA=2,

2

根據(jù)勾股定理可得：OM=<0尺—AM?=2網(wǎng)，

故選：B.

7.如圖，正八邊形ABCDEFG”的邊長(zhǎng)為2,則該正八邊形的面積為（）.

AH

A.8（1+V2）B.4（2+V2）C.40+2后）D.4（1+72）

【答案】A

【分析】本題主要考查了正八邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正

八邊形的性質(zhì).連接AC、CE、EG、AG,延長(zhǎng)A8,過(guò)點(diǎn)C作1四于點(diǎn)根據(jù)正八邊形的性質(zhì)，

360°

得出四邊形ACEG為正方形，求出NC3M=^=45。，證明CBM為等腰直角三角形，求出

O

CM=BM=—BC=—x2=yfl,得出SBC=：X2XV^=后，求出AM=A8+BM=2+8，得出

222

S正方形4CEG=8+40，最后求出結(jié)果即可?

【詳解】解：連接AC、CE、EG、AG,延長(zhǎng)AB,過(guò)點(diǎn)C作_L四于點(diǎn)M,如圖所示：

,/八邊形ABCDEFGH為正八邊形,

360°

???四邊形ACEG為正方形，ZCBM=^=45°,

8

■:CM1AB,

：.ZCMB=90°,

C8M為等腰直角三角形,

CM=BM=—BC=—x2=V2,

22

S/^ABC=萬(wàn)*2xV2=>/2,AAf=AB+BM=2+>/2,

222

???^mc￡G=AC=AM+CM

=6+4夜+2

=8+472,

.??正八邊形的面積為:

故選：A.

8.如圖擺放的兩個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)A,B,C,。在同一個(gè)圓上.若AB=4,則該圓的半徑為（）

【答案】C

【分析】此題考查的是正多邊形和垂徑定理，由正六邊形的性質(zhì)可得NGEF=60。，NPG￡=30。再根據(jù)勾股

定理可得答案，正確作出圖形及輔助線是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，設(shè)圓的圓心為點(diǎn)。，即點(diǎn)。為正六邊形邊的中點(diǎn)，連接3G,過(guò)E作砂，3G于點(diǎn)/，

GO=2,

???正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都為120。,

NGEF=60°,ZFGE=30°,

在RtAEFG中，EG=4,

：.EF=2,

FG=ylEG2-EF2=>/42-22=2指，

/.BGS,

.*?OB=YJBG2+GO2=2713,

該圓的半徑為,

故選：C.

9.如圖，正三角形和正方形分別內(nèi)接于等圓a和a,若正三角形的周長(zhǎng)為加，正方形的周長(zhǎng)為小則

m與n的關(guān)系為)

C.m>nD.不能確定

【答案】A

【分析】本題考查正多邊形和圓，設(shè)圓的半徑為廣，分別求出正三角形，正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出相，”的值,

即可得出結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)等圓。1和。2的半徑為,，如圖，

。1和

3600360°

4。[8=^-=120°,0|4=0]8=02。=0#=r,/00*=^—=90°,

/.ZOtAB=30°,AB=2AC,￡)E=0r,

/.O,C=-r,AB=2AC=2幣I=底,

22

m=3-6r=3A/3F,n=4-A/2F=45/2r,

卜國(guó)=27＜卜@一=32,

/.3島＜4岳,

：.m＜n.

故選A.

10.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方

法來(lái)近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”.如圖，

。。的半徑是2,運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計(jì)。。的面積，可得z的估計(jì)值是（）

A.3.1C.1+6D.2a

【答案】B

【分析】過(guò)A作于求得的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AM,求出三角形的面

積，于是得到正十二邊形的面積，根據(jù)圓的面積公式即可得到結(jié)論.

本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計(jì)算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖，是正十二邊形的一條邊，點(diǎn)。是正十二邊形的中心，過(guò)A作于

在正十二邊形中,

ZA05=360°+12=30°,

,AM=—OA=—

22

/.正十二邊形的面積為12x：=3,

3=仔x?,

.,.萬(wàn)=3,

，萬(wàn)的近似值為3,

故選：B.

二、填空題（本題共10小題，每題3分，共30分）

11.如圖，在正六邊形。LBCDE中，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，邊。4落在x軸上.若點(diǎn)A的坐標(biāo)

為（4,0）,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為.

【答案】（6,2月

【分析】本題考查正多邊形，圖形和坐標(biāo)，勾股定理，先根據(jù)正六邊形得到AB=Q4=4,ZBAF=6O°,然

后再RtAB廠中利用勾勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)8作正，x軸于點(diǎn)廠，

???正六邊形。鉆CDE,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）

360°

AAB=OA=4,ZBAF=——=60。，

6

：.ZABF=30°,

：.AF=-AB=-x4=2,

22

?>-BF=^AB2-AF2=742-22=273?OF=OA+AF=4+2=6,

；?點(diǎn)8的坐標(biāo)為（6,2后），

故答案為：（6,26）.

12.如圖，..ABC內(nèi)接于O,NC=36。，弦A8是圓內(nèi)接正多邊形的一邊，則該正多邊形的邊數(shù)是

A

【分析】如圖所示，連接04OB,由圓周角定理得到NAO3=72。，則該多邊形的中心角為72。，由此即可

得到答案.

【詳解】解：如圖所示，連接OAOB,

ZAOB=2ZACB=^T,

.360。

??一J,

72°

,該正多邊形是正五邊形，

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造同弧所對(duì)的圓心角，難度不大.

13.如圖，正五邊形MCDE內(nèi)接于O,尸￡＞與相切于點(diǎn)。，連接。E并延長(zhǎng)，交PD于點(diǎn)P,則立尸的

度數(shù)是.

A

P

【答案】18。

【分析】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形，切線的性質(zhì)，直角三角形的特征；連接。。，由圓的內(nèi)接正多邊形的

性質(zhì)得/DOE=gx360。=72。，由切線的性質(zhì)得ODLPD,由/P=90。-/OOE即可求解；掌握相關(guān)的性

質(zhì)，作輔助線連半徑是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接O。，

正五邊形ABCDE內(nèi)接于￡O,

Z￡>OE=1x360°=72°,

尸。與，。相切于點(diǎn)，

ODLPD,

NOD尸=90°,

：.ZP^900-ZDOE

=18°；

故答案：18°.

14.已知。的內(nèi)接正六邊形的邊為6.則該圓的邊心距為.

【答案】3G

【分析】本題考查了圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，畫出圖形，

證得_。由是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

如圖，證明OAB是等邊三角形，可得C?=AB=6,作于根據(jù)垂徑定理可得3M=3,然后利

用勾股定理計(jì)算出即可.

【詳解】解：。的內(nèi)接正六邊形ABCDE尸如圖，連接Q4,0B,

：.AB=6,ZAOB=360°4-6=60°,OA=OB,

是等邊三角形，

OB=AB=6,

作于貝1]8加=,48=3,

2

OM=yJOB2-BM2=>/62-32=36，

即該圓的邊心距為3相，

故答案為：3A/3-

15.圖1是微信朋友圈的LOGO圖案，它是中心對(duì)稱圖形，圖2是其示意圖.其作圖過(guò)程為：取正八邊形

ABCDEFGH中心點(diǎn)O,延長(zhǎng)OC,AB交于點(diǎn)M,O"為半徑作。，再延長(zhǎng)正八邊形其余七邊得到。的

八等分點(diǎn).若AB=1,貝

圖1圖2

【答案】V2+1/1+V2

【分析】連接AC,過(guò)C作CT_LAM于T,根據(jù)在正八邊形性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形的

外角性質(zhì)證得NM=NC4B,則CM=G4,進(jìn)而MT=AT,證明RtZXCTB等腰直角三角形，求得BT=①

2

即可求解.

【詳解】解：連接03,AC,過(guò)C作。7，40于7,

M

\G\H7

3600360°

在正八邊形ABCOEFGH中，ZBOC=——=45。，ZCBM=——=45。，

88

ZABC=180°-ZCBM=135°,

VAB=BC,OB=OC,

ZCAB=ZACB=1(180°-ZABC)=22.5°,NOCB=NO3C=；(180°-NBOC)=67.5°,

：.ZM=ZOCB-ZCBM=22.5°,貝=

C.CM^CA,

'：CTLAM,

：.MT=AT,

在Rt/SCTB中，AB=1,NCBT=45。,

Rt^CZB等腰直角三角形，則CT=BT,

由勾股定理得CT?+BT2=2BT2=AB2,

BT=—AB=—,則MT=AT=BT+A2=^+1,

222

/.BM^MT+BT^—+\+—^yj2+\,

22

故答案為：A/2+1.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)、勾股定

理等知識(shí)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

16.我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓

的方法來(lái)近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”.如

圖，。的半徑為1,運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)O的面積，可得萬(wàn)的估計(jì)值為

(結(jié)果保留根號(hào))

【答案】

22

【分析】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計(jì)算.過(guò)A作于求得NAQB的度數(shù)，

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到A",求出三角形的面積，于是得到正六邊形的面積，根據(jù)圓的面積公式即可

得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，A3是正六邊形的一條邊，點(diǎn)。是正六邊形的中心，過(guò)A作AMLOB于M,

在正六邊形中，

ZAOB=360°4-6=60°,貝4M=30。，

:.OM=^OB=^-,AM=^OA2-OM2=—,

222

:.SAOB=-OB-AM=-xlx^-=^-,

f2224

???正六邊形的面積為6x走,

42

:.—y/3=l2x萬(wàn),

2

/.7V=—5/3,

2

?”的近似值為I百，

故選：B.

17.如圖，正六邊形ABCD跖內(nèi)接于。，點(diǎn)P在弦AC上，若（。的半徑為2,則陰影部分的面積是

F

【答案】2石

【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定.連接ED,FC,AD,證明四邊形ACD/

是矩形，推出陰影部分的面積為矩形ACDP的一半，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接尸D,FC,AD,

依題意可知，AF//CD,AF=CD,

.,?四邊形ACDF是平行四邊形，

ZFED=ZAFE=120°,FE=ED,

ZEFD=30°,ZAFD=90°,

四邊形ACDP是矩形，

/.陰影部分的面積為矩形ACDF的一半，

二FC與AD經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,

AZCOD=60°,ACAD=30°,ZACD=90°,

/.AD=4,CD=2,AC=2y/3,

陰影部分的面積為=1x2x26=2g,

2

故答案為：2百.

18.如圖，已知在矩形ABCD內(nèi)有一個(gè)等邊二ABE,點(diǎn)E在8上，若石的內(nèi)切圓半徑為2,則矩形ABCD

的外接圓半徑為.

【答案】V21

【分析】設(shè)點(diǎn)。為的內(nèi)切圓的圓心，連接。尸、OB、0E,則OP=2,O尸人相，

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)分別求得AB=gPE=6,

根據(jù)矩形的性質(zhì)和圓周角定理求得AD=PE=6,9為矩形ABCD的外接圓的直徑,利用勾股定理求得BD

即可.

【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)。為的內(nèi)切圓的圓心，連接。P、OB、OE,

則OP=2,OP1AB,

—ABE為等邊三角形，

.?.點(diǎn)E、。、P共線，即PEJ.AB,ZBEP=ZPBO=30°,

；.OB=2OP=4,AP=BP=—OB=273,

2

/.AB=4A/3,貝!]PE=6,

:四邊形A5c。是矩形，PEA.AB,

：.AD=PE=6,ZR4D=90°,

連接BD,則2。為矩形A3CD的外接圓的直徑，

在RtAABD中，BD=yjAD2+AB2=2721，

矩形A3CD的外接圓的半徑為V21，

故答案為：V21

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、

圓周角定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.

19.如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4cm,以一個(gè)頂點(diǎn)A為圓心，AE為半徑作一個(gè)扇形，則圖中陰影

扇形的面積為.

【答案】27r

【分析】過(guò)/作/于點(diǎn)由正多邊形的性質(zhì)得=/=/=但至吧-=120。，

6

AF=EF=AB=BC,進(jìn)而利用三線合一及勾股定理得AM=，4片/=依—方=2。AE=2AM=

，再利用扇形的面積公式即可求解。

【詳解】解：過(guò)/作于點(diǎn)M,如圖所示：

:六邊形ABCDE尸是正六邊形，AB=2,

62x180

：.ZF=ZBAF=ZB=（-）=120°,AF=EF=AB=BC,

6

1QQ91Of）?

：.NFAE=NAEF=NBAC=NBCA=—:-------=30?,ME=AM

2

/.ZCAE=120。-30°-30°=60°,FM^-AF=2

2

??AM=\JAF2—MF2=A/42—22=2^3'

???==

60x/rx（2港）

777TF2

=2^-cm2，

360360

故答案為2萬(wàn).

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、正多邊形的性質(zhì)、30度直角三角形的性質(zhì)，扇形面積計(jì)算及正多邊形的

性質(zhì)，熟練掌握扇形面積計(jì)算及正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.劉微是我國(guó)魏晉時(shí)期卓越的數(shù)學(xué)家，他首次提出“割圓術(shù)”，利出圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來(lái)近似計(jì)算

圓周率.如圖，多邊形A44…4是，。的內(nèi)接正“邊形.已知。的半徑為廣，乙41。42的度數(shù)為a,點(diǎn)。

到勺距離為d,的面積為s.下面推斷中,

360°

①當(dāng)”變化時(shí)，a隨”的變化而變化，a與“滿足函數(shù)關(guān)系1=—.②無(wú)論〃，r為何值，總有=萬(wàn)戶.③

n

若"為定值，當(dāng)「變化時(shí)，S隨r的變化而變化，S與r滿足二次函數(shù)關(guān)系.其中正確的是.（填序

號(hào)）.

【答案】①③/③①

【分析】分別表示出a與〃、d與八S與r的關(guān)系式，進(jìn)而判定得出結(jié)論.

360°

【詳解】解：①當(dāng)”變化時(shí)，a隨"的變化而變化，a與〃滿足函數(shù)關(guān)系1=—,①正確；

③如圖,

?為定值,

,1

=3=r-sin—?

2

/.S=-A,A,-d=r-sin—a-r-cos—tz=sin—a?cos—a-r2,

2s22(22)

.?.S與r滿足二次函數(shù)關(guān)系.③正確;

故答案為：①③.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓的關(guān)系，解直角三角形，正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)的定義等

知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí).

三、解答題(本題共3題，共40分)

21(12分).如圖，是。的直徑，E,C是。上兩點(diǎn)，且EC=3C，連接AE，AC.過(guò)點(diǎn)C作

交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。.

(1)判定直線CO與；O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)連接BE和OC交于點(diǎn)/，若AB=4,ABAC=30°,

①求證：四邊形是矩形；

②求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)直線CD與。相切，理由見解析

(2)①證明見解析；②28一女

23

【分析】本題考查圓的切線，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，扇形的面積，熟練掌握以上知識(shí)

是解題關(guān)鍵.

(1)先證明/SAC=NACO,即可得出A。OC,由AD_LC?？傻肙C_LCE>,從而得出0C是］。的半徑；

(2)①證明/血>=/。=/9。=90。即可得證；

②圖中陰影部分的面積=§橫形0sLs扇形雙，分別求出梯形的面積和扇形的面積即可解答.

【詳解】(1)解：直線8與：。相切，

理由：連接0C,

D

EC=BC，

\?CAD?BAC,

OA=OC,

,\ZBAC=ZACO,

.\ZCAD=ZACO,

:.AD//OC,

ADVCD,

:.OC1CD,

oc是。的半徑，

「.CD是O的切線；

(2)證明：EC=BC，

：.OC上CE,BF=EF,

AB是：。的直徑，

.\ZAEB=90°,

/./FED=ND=ZEFC=90°,

四邊形是矩形；

解：如圖，連接班＞、OE,

ACOE=ZBOC=2Z5L4C=60°,

在Rt^O跖中，OE=-AB=2,

2

ZOEF=900-ZCOE=30°,

/.OF=-OE=1,

2

:.CF=OC-OE=l=DE,

.\EF=yjOE2-OF2=y/3=CD^

i3Q

..S梯形OCDE=^（OE+OC^CD=,

_60KX22_2TI

扇形-36o-y'

???圖中陰影部分的面積=S梯…-Si=浮-?

22（14分）.如圖，A3是＜。的直徑，射線8（7交（。于點(diǎn)。，點(diǎn)E是劣弧AD的中點(diǎn)，連接BE,DE,OE,

過(guò)點(diǎn)E作EF上3c于點(diǎn)R延長(zhǎng)EE交54的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.

(1)證明：G尸是；。的切線;

⑵若EF=26，BD=4,求：。的半徑;

(3)在(2)的基礎(chǔ)上，求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)見解析

(2)。的半徑為4；

⑶S陰影=84一丁.

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義和等邊對(duì)等角證明Nl=N3,推出OE//BF，再由EF1,得到OE1GF,

即可證明G尸是：O的切線；

(2)過(guò)點(diǎn)。作處于證明四邊形％?是矩形，得至ljEF=0M=26，可由垂徑定理和勾股定

理求解即可；

(3)先解直角三角形得到，EOG=/OBM=60。，求出EG=4g,再根據(jù)§陰影=SMEG-S扇形人庭進(jìn)行求解

即可.

【詳解】(1)證明：如圖,

:點(diǎn)E是劣弧AD的中點(diǎn),

.-.Z1=Z2,

OB=OE,

.-.Z2=Z3

.?/=/3,

OE//BF,