數(shù)學單元測試：第一講相似三角形的判定及有關性質(zhì)

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第一講測評（時間：90分鐘滿分:100分）一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．下列命題中正確的是()A．有兩邊成比例及一個角相等的兩個三角形相似B．有兩邊成比例的兩個等腰三角形相似C．有三邊分別對應平行的兩個三角形相似D．有兩邊及一邊上的高對應成比例的兩個三角形相似2．如圖，BD，CE是△ABC的中線，P，Q分別是BD,CE的中點，則eq\f（PQ，BC)等于（）A．eq\f（1,3）B．eq\f(1，4)C．eq\f(1，5)D．eq\f(1，6)3．如圖,已知AA′∥BB′∥CC′,AB∶BC＝1∶3，那么下列等式成立的是（)A．AB＝2A′B′B．3A′B′＝B′C′C．BC＝B′C′D．AB＝A′B′4．如圖,已知eq\f(AD，DB)＝eq\f（4，5)，DE∥BC，若DE＝3，則BC等于（）A．eq\f（12,5）B．eq\f(15,4)C．eq\f（9，2)D．eq\f(27,4）5．如圖，A，B,C，D把OE五等分,且AA′∥BB′∥CC′∥DD′∥EE′，如果OE′＝20cm,那么B′D′等于(）A．12cmB．10cmC．6cmD．8cm6．如圖，在△ABC中,AB＝AC，D在AB上,E在AC的延長線上，BD＝3CE，DE交BC于F，則DF∶FE等于(）A．5∶2B．2∶1C．3∶1D．4∶17．在△ABC中,DE∥BC,DE交AB于D，交AC于E,且S△ADE∶S梯形DECB＝1∶2，則梯形的高與△ABC的高的比為()A．1∶eq\r（2）B．1∶(eq\r(2)－1）C．1∶(eq\r（3)－1)D．（eq\r(3)－1）∶eq\r（3)8．如圖，已知△ABC，eq\f(BD，DC）＝eq\f（2，3)，eq\f（AE,EC）＝eq\f(3,4），AD，BE交于F，則eq\f(AF,FD)·eq\f(BF，F(xiàn)E)的值為（)A．eq\f(7,3)B．eq\f(14,9)C．eq\f(35，12）D．eq\f(56,13)9．如圖,在梯形ABCD中,AD＝3,BC＝9，AB＝6，CD＝4，AD∥BC,若EF∥BC，且梯形AEFD與梯形EBCF的周長相等，則EF的長為()A．eq\f（45,7）B．eq\f(33，5)C．eq\f(39，5）D．eq\f(15，2）10．某社區(qū)計劃在一塊上、下底邊長分別是10米，20米的梯形空地上種植花木(如圖所示），他們想在△AMD和△BMC地帶種植單價為10元/米2的太陽花，當△AMD地帶種滿花后，已經(jīng)花了500元，請你預算一下,若繼續(xù)在△BMC地帶種植同樣的太陽花，還需資金()元．A．500B．1500C．1800D．2000二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中的橫線上）11．如圖，在△ABC中，D,E三等分AB,DF∥BC，EG∥BC，分別交AC于F,G，若AC＝15cm,則FC＝________cm.12．如圖,在矩形ABCD中,AB＝eq\r(3)，BC＝3,BE⊥AC，垂足為E,則ED＝__________。13．如圖，已知點D為△ABC中AC邊的中點，AE∥BC，ED交AB于點G，交BC的延長線于點F，若eq\f(BG，GA）＝3，BC＝8，則AE的長為________．14．如圖，∠B＝∠D,AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝__________。15．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4,CD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點，且EF＝3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為__________．三、解答題（本大題共4小題，共25分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16．（6分)如圖,點E是四邊形ABCD的對角線上一點，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.(1)求證：BE·AD＝CD·AE；(2)根據(jù)圖形的特點,猜想eq\f（BC，DE)可能等于哪兩條線段的比（只寫出圖中一組比即可)？并證明你的猜想．17．（6分）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,CD⊥AB，E為AC的中點，ED，CB的延長線交于一點F.求證：AC·DF＝BC·CF.18．(6分)如圖，在△ABC中,D是AC的中點，E是BD的中點，AE的延長線交BC于點F.（1)求eq\f（BF，F(xiàn)C)的值;（2）若△BEF的面積為S1，四邊形CDEF的面積為S2,求S1∶S2的值．19．（7分）如圖，在△ABC的內(nèi)部選取一點P，過P點作三條分別與△ABC的三邊平行的直線，這樣所得的三個三角形t1，t2，t3的面積分別為S1＝4，S2＝9,S3＝49。求：（1)PD∶PE∶HG；（2)PD∶BC；(3）△ABC的面積．

參考答案一、1．C2．解析：延長QP交AB于M，連接ED。因為P,Q分別是BD,CE的中點，所以M是BE的中點．所以MQ＝eq\f(1，2)BC，MP＝eq\f（1，2）ED＝eq\f（1，4）BC.所以PQ＝MQ－MP＝eq\f(1,2）BC－eq\f(1,4）BC＝eq\f（1，4)BC,即eq\f（PQ,BC）＝eq\f（1，4).答案：B3．解析：∵AA′∥BB′∥CC′，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f（A′B′，B′C′)＝eq\f（1,3)。∴3A′B′＝B′C′.答案：B4．解析：∵eq\f（AD，DB)＝eq\f（4,5），∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(4，9)。又DE∥BC，∴eq\f（DE，BC)＝eq\f（AD,AB）＝eq\f(4，9）.∴BC＝eq\f(9，4）DE＝eq\f（9，4)×3＝eq\f(27,4）.答案：D5．解析：∵A，B，C，D把OE五等分,AA′∥BB′∥CC′∥DD′，∴OA′＝A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′E′。又OE′＝20cm，∴OA′＝A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′E′＝4cm。∴B′D′＝B′C′＋C′D′＝8cm。答案：D6．解析：過D作DG∥AC，交BC于G，則DG＝DB＝3CE,即CE∶DG＝1∶3.又DF∶FE＝DG∶CE，所以DF∶FE＝3∶1。答案：C7．解析：由S△ADE∶S梯形DECB＝1∶2，得S△ADE∶S△ABC＝1∶3.所以梯形的高與△ABC的高的比為（eq\r(3)－1）∶eq\r(3）.答案：D8．解析：過D作DG∥BE交AC于G，∴eq\f(DG,BE）＝eq\f(DC，BC)＝eq\f（3,5）.∴DG＝eq\f（3,5)BE。又eq\f(EG,EC）＝eq\f(BD，BC)＝eq\f(2,5)，∴EG＝eq\f（2，5）EC。∴eq\f(FE,DG)＝eq\f(AE,AG）＝eq\f（AE，AE＋\f（2,5）EC）＝eq\f（AE，AE＋\f(2,5）×\f（4,3)AE）＝eq\f(15，23)。∴FE＝eq\f（15,23）DG＝eq\f(15，23)×eq\f(3,5)BE＝eq\f（9，23）BE。∴eq\f(BF,FE）＝eq\f（14，9），eq\f（AF，F(xiàn)D）＝eq\f（AE,EG）＝eq\f(15,8).∴eq\f(AF,FD)·eq\f(BF,FE)＝eq\f（15，8）×eq\f（14，9)＝eq\f(35,12).答案：C9．解析:過點A作AG∥DC，交EF于點H，交BC于點G。設AE＝x，DF＝y(tǒng),由AB＝BG＝6，可得AE＝EH＝x。由題意，知x∶6＝y(tǒng)∶4,所以2x＝3y.①又梯形AEFD與梯形EBCF的周長相等，所以3＋x＋3＋x＋y＝6－x＋9＋4－y＋3＋x，即x＋y＝8。②由①②，解得x＝eq\f(24，5）,所以EF＝eq\f(24，5)＋3＝eq\f（39,5).答案：C10．解析：梯形ABCD中,AD∥BC，所以△AMD∽△CMB。又AD＝10米，BC＝20米，∴eq\f（S△AMD,S△BMC)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(10，20））)2＝eq\f（1,4).∵S△AMD＝500÷10＝50（米2），∴S△BMC＝200米2.故還需要資金200×10＝2000（元）．答案：D二、11．解析：∵DF∥BC，EG∥BC，∴DF∥EG∥BC.由已知,得AD＝DE＝EB，∴AF＝FG＝GC。又∵AC＝15cm，∴FG＝GC＝eq\f（1,3)AC＝5cm?！郌C＝FG＋GC＝10（cm)．答案：1012．解析：在Rt△ABC中,AB＝eq\r（3），BC＝3，tan∠BAC＝eq\f（BC，AB）＝eq\r（3)，則∠BAC＝60°,AE＝eq\f（1,2)AB＝eq\f（\r(3)，2）.在△AED中，∠EAD＝30°，AD＝3,ED2＝AE2＋AD2－2AE·ADcos∠EAD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r(3）,2)))2＋32－2×eq\f（\r（3),2）×3×cos30°＝eq\f(3，4）＋9－2×eq\f（\r(3）,2)×3×eq\f（\r（3),2）＝eq\f(21,4）?！郋D＝eq\f(\r（21），2).答案：eq\f(\r(21）,2)13．解析:∵D為AC邊的中點，AE∥BF，∴△AED≌△CFD?！郃E＝CF.∵AE∶BF＝AG∶BG＝1∶3，∴AE∶（8＋AE）＝1∶3，∴AE＝4。答案：414．解析:∵∠B＝∠D,∠AEB＝∠ACD＝90°,∴△AEB∽△ACD。∴eq\f(BE，DC)＝eq\f（AB,AD）,∴BE＝eq\f(AB,AD)·DC＝eq\f(6，12)×eq\r(122－42）＝4eq\r（2）。答案：4eq\r（2)15．解析：在梯形ABCD中，過C作CG∥AD交AB于G，交EF于點H。則HF＝1,GB＝2。又EF∥AB，即HF∥GB，∴eq\f（HF，GB）＝eq\f(CF,CB）＝eq\f（1，2)?！郌應為CB的中點．∴EF為梯形ABCD的中位線．設梯形EFCD的高為h，則梯形ABCD的高為2h。S梯形ABCD＝eq\f（AB＋CD·2h,2)＝eq\f（4＋2·2h，2)＝6h，S梯形EFCD＝eq\f（CD＋EF·h,2）＝eq\f(2＋3h，2）＝eq\f（5h，2）。所以S梯形ABCD∶S梯形EFCD＝12∶5＝eq\f(12，5)，S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5。答案：7∶5三、16．(1)證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠DAC?！摺螪AE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC。∴△ABE∽△ACD.∴eq\f(BE,CD)＝eq\f（AE,AD)，即BE·AD＝CD·AE.（2）解：eq\f（BC,DE）＝eq\f(AC,AD）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(AB，AE)））。證明：∵△ABE∽△ACD，∴eq\f(AB,AC）＝eq\f(AE，AD).又∵∠BAC＝∠EAD，∴△BAC∽△EAD.∴eq\f（BC,DE）＝eq\f(AC,AD)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(AB,AE)))。17．證明：如圖，在△ABC與△CBD中,∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠ABC＝∠DBC，∴△ABC∽△CBD。∴eq\f（AC,CD)＝eq\f（BC，BD),即eq\f(AC,BC）＝eq\f（CD，BD）,∠A＝∠1。∵E是AC的中點,CD⊥AB，∴AE＝EC＝ED.∴∠A＝∠2.∵∠2＝∠3，∠A＝∠1，∴∠3＝∠1。在△FBD與△FDC中，∵∠F＝∠F，∠3＝∠1，∴△FBD∽△FDC，∴eq\f(BD，DC)＝eq\f（FD,FC），即eq\f（FC，F(xiàn)D)＝eq\f（CD，BD).∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(FC,FD).∴AC·DF＝BC·CF.18．解：(1)如圖所示,取AF的中點G，連接DG，則DG∥FC，且DG＝eq\f（1,2)FC?！逧是BD的中點，∴BE＝DE.又∵∠EBF＝∠EDG,∠BEF＝∠DEG,∴△BEF≌△DEG，則BF＝DG.∴BF∶FC＝DG∶FC.又DG∶FC＝1∶2，則BF∶FC＝1∶2；即eq\f（BF，F(xiàn)C)＝eq\f(1,2).(2）由(1)知eq\f（BF，F(xiàn)C）＝eq\f（1,2），則eq\f(BF，BC）＝eq\f（1，3），設△BEF的邊BF上的高為h1，△BDC的邊BC上的高為h2，則eq\f（h1，h2)＝eq\f(BE,B