廣東省中山市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

中山市高一級(jí)2023—2024學(xué)年第二學(xué)期期未統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷本試卷共6頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校?班級(jí)?姓名?考場號(hào)?座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.2.已知為不共線向量，，則（）A.三點(diǎn)共線 B.三點(diǎn)共線C.三點(diǎn)共線 D.三點(diǎn)共線3.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，，則B.若，則C.若，，則D.若，則4.某地政府對(duì)在家附近工作的年輕人進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得到他們一年能在家陪伴父母的天數(shù)，并繪制成如下圖所示的頻率分布直方圖，則樣本中位數(shù)約為（）A.150.5 B.152.5 C.154.5 D.156.55.已知某人射擊每次擊中目標(biāo)的概率都是0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率．先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3，4，5表示擊中目標(biāo)，6，7，8，9表示未擊中目標(biāo)；因?yàn)樯鋼?次，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3次射擊的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：169966151525271937592408569683471257333027554488730863537039據(jù)此估計(jì)的值為（）A.0.6 B.0.65 C.0.7 D.0.756.如圖，由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，已知，則（）A. B. C. D.7.已知，則（）A. B. C. D.8.設(shè)長方體對(duì)角線與頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成的角分別為、、，與頂點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)面所成的角分別為、、，下列四個(gè)等式：其中正確的是（）A. B.C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.C D.10.下列化簡正確的是（）A. B.C. D.11.如圖，已知二面角的棱l上有A，B兩點(diǎn)，，，，，且，則下列說法正確的是（）．A.當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為B.當(dāng)二面角的大小為時(shí)，直線與所成角為C.若，則二面角的余弦值為D.若，則四面體的外接球的體積為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度后，所得圖象與函數(shù)的圖象重合，則___________．13.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，且，，，符合條件的三角形有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____14.記一組數(shù)據(jù)平均數(shù)為，方差為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知平面向量，滿足，，.（1）求；（2）若向量與夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16.第56屆世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽于2022年在中國成都舉辦，國球運(yùn)動(dòng)又一次掀起熱潮．現(xiàn)有甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局11分制，每贏一球得1分，選手只要得到至少11分，并且領(lǐng)先對(duì)方至少2分（包括2分），即贏得該局比賽．在一局比賽中，每人只發(fā)2個(gè)球就要交換發(fā)球權(quán)，如果雙方比分為10：10后，每人發(fā)一個(gè)球就要交換發(fā)球權(quán)．（1）已知在本場比賽中，前三局甲贏兩局，乙贏一局，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，求甲乙兩人只需要再進(jìn)行兩局比賽就能結(jié)束本場比賽的概率；（2）已知某局比賽中雙方比分為8：8，且接下來兩球由甲發(fā)球，若甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)乙得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，求該局比賽甲得11分獲勝的概率．17.已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.18.如圖，為半球直徑，C為上一點(diǎn)，P為半球面上一點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）若，，求直線與平面所成的角的正弦值．19.在中，，點(diǎn)D在邊上，且（1）若的面積為，求邊的長；（2）若，求.中山市高一級(jí)2023—2024學(xué)年第二學(xué)期期未統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷本試卷共6頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校?班級(jí)?姓名?考場號(hào)?座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡即可求解．【詳解】解：．故選：．2.已知為不共線向量，，則（）A.三點(diǎn)共線 B.三點(diǎn)共線C.三點(diǎn)共線 D.三點(diǎn)共線【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用向量的加法運(yùn)算，求得，從而得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，故選：A．3.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，，則B.若，則C.若，，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間中線面、面面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】對(duì)于A：若，，則或與相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則，故C正確；對(duì)于D：若，則或，故D錯(cuò)誤.故選：C4.某地政府對(duì)在家附近工作的年輕人進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得到他們一年能在家陪伴父母的天數(shù)，并繪制成如下圖所示的頻率分布直方圖，則樣本中位數(shù)約為（）A.150.5 B.152.5 C.154.5 D.156.5【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)頻率之和為1求出未知數(shù)，再找到頻率之和為0.5所在的區(qū)間即可根據(jù)頻率分布直方圖進(jìn)行求解中位數(shù).【詳解】依題意，，解得，顯然，，所以樣本中位數(shù)為.故選：B5.已知某人射擊每次擊中目標(biāo)的概率都是0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率．先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3，4，5表示擊中目標(biāo)，6，7，8，9表示未擊中目標(biāo)；因?yàn)樯鋼?次，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3次射擊的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：169966151525271937592408569683471257333027554488730863537039據(jù)此估計(jì)的值為（）A.0.6 B.0.65 C.0.7 D.0.75【答案】B【解析】【分析】由20組隨機(jī)數(shù)中找出至少2次擊中目標(biāo)包含的隨機(jī)數(shù)的組數(shù)，即可求概率的值.【詳解】20組隨機(jī)數(shù)中至少2次擊中目標(biāo)的包含的隨機(jī)數(shù)為：151525271592408471257333027554730537039一個(gè)有組，所以其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率，故選：B.6.如圖，由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)定義，結(jié)合正方形的性質(zhì)、平面向量基本定理進(jìn)行求解即可.【詳解】過作，垂足為，設(shè)大正方形的邊長為1，設(shè)小正方形的邊長為，因?yàn)?，所以，所以，由勾股定理可知：，即，，，因此由平面向量基本定理可知：，因?yàn)?，所以，故選：C7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合，代入即可求解.【詳解】因?yàn)椋傻?，則，.故選：A.8.設(shè)長方體的對(duì)角線與頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成的角分別為、、，與頂點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)面所成的角分別為、、，下列四個(gè)等式：其中正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】在圖中找到，，及，，所對(duì)應(yīng)的角，在直角三角形中應(yīng)用正余弦化簡整理，即可求出結(jié)果.【詳解】連接，，，，，，如下圖由題知：，，，因?yàn)槠矫?，平面，平面，得：，，，?duì)于A項(xiàng)：，故A項(xiàng)錯(cuò)誤.；對(duì)于B項(xiàng)：，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)：，故C項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D項(xiàng)：，故D項(xiàng)正確.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由，結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)計(jì)算可判斷其正確性.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故A正確；所以，所以，故B不正確；，故C不正確；，故D正確.故選：AD.10.下列化簡正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用二倍角公式、輔助角公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，逐項(xiàng)化簡判斷即得.【詳解】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：ABD11.如圖，已知二面角的棱l上有A，B兩點(diǎn)，，，，，且，則下列說法正確的是（）．A.當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為B.當(dāng)二面角的大小為時(shí)，直線與所成角為C.若，則二面角的余弦值為D.若，則四面體的外接球的體積為【答案】ABD【解析】【分析】由面面垂直的性質(zhì)得線面垂直，即可求直線與平面所成角的正弦值即可判斷A；根據(jù)二面角判斷B，C即可；由四面體外接球的幾何性質(zhì)確定外接球半徑，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以直線與平面所成角為，則，故A正確；對(duì)于B，如圖，過A作，且，連接，，則為正方形，即為直線與所成角，為二面角的平面角，當(dāng)時(shí)，易得，又，，故面，即面，故，故B正確；對(duì)于C，如圖，作，則二面角的平面角為，又，在中，易得，在．中，由余弦定理得，，過C點(diǎn)作交線段的延長線于點(diǎn)O，則平面，過O點(diǎn)作，交線段的延長線于點(diǎn)H，連接，則為二面角的平面角，易得，，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，同選項(xiàng)C可知，如圖，分別取線段，的中點(diǎn)G，M，連接，過G點(diǎn)作平面的垂線，則球心O必在該垂線上，設(shè)球的半徑為R，則，又的外接圓半徑，則，所以四面體的外接球的體積為，故D正確．故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度后，所得圖象與函數(shù)的圖象重合，則___________．【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度后，得到的圖象與函數(shù)的圖象重合，從而可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度后，得到的圖象與函數(shù)的圖象重合，所以函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度后，得到的圖象與函數(shù)的圖象重合，即，所以，因?yàn)?，∴，故答案為?3.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，且，，，符合條件的三角形有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____【答案】【解析】【分析】利用余弦定理，構(gòu)造關(guān)于c的方程，利用根的分布求出x的范圍.【詳解】在中，，，，由余弦定理得：，即因?yàn)榉蠗l件的三角形有兩個(gè)，所以關(guān)于c的方程由兩個(gè)正根，所以，解得：.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：14.記一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榈钠骄鶖?shù)為，方差為，所以，，即，即，即，即，所以，所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知平面向量，滿足，，.（1）求；（2）若向量與夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由給定條件求出，再根據(jù)向量模的計(jì)算公式即可得解；(2)根據(jù)向量夾角為銳角借助數(shù)量積列出不等關(guān)系即可作答.【詳解】（1）依題意，，得，，所以；（2）由向量與的夾角為銳角，可得，即有，解得，而當(dāng)向量與同向時(shí)，可知，綜上所述的取值范圍為.16.第56屆世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽于2022年在中國成都舉辦，國球運(yùn)動(dòng)又一次掀起熱潮．現(xiàn)有甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局11分制，每贏一球得1分，選手只要得到至少11分，并且領(lǐng)先對(duì)方至少2分（包括2分），即贏得該局比賽．在一局比賽中，每人只發(fā)2個(gè)球就要交換發(fā)球權(quán)，如果雙方比分為10：10后，每人發(fā)一個(gè)球就要交換發(fā)球權(quán)．（1）已知在本場比賽中，前三局甲贏兩局，乙贏一局，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，求甲乙兩人只需要再進(jìn)行兩局比賽就能結(jié)束本場比賽的概率；（2）已知某局比賽中雙方比分為8：8，且接下來兩球由甲發(fā)球，若甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)乙得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，求該局比賽甲得11分獲勝的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題可知兩局比賽就能結(jié)束，則只能甲連勝兩局，然后根據(jù)獨(dú)立事件概率公式即得；（2）由題可知甲得11分獲勝有兩類情況：甲獲勝或甲獲勝，然后結(jié)合條件根據(jù)獨(dú)立事件概率公式即得.【小問1詳解】設(shè)“甲乙兩人只需要再進(jìn)行兩局比賽就能結(jié)束本場比賽”為事件，若兩局比賽就能結(jié)束，則只能甲連勝兩局，所以；【小問2詳解】設(shè)“該局比賽甲得11分獲勝”為事件，甲得11分獲勝有兩類情況：甲連得3分，則甲獲勝；甲得3分，乙得1分，則甲獲勝，此時(shí)有三種情況，每球得分方分別為乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，所以.17.已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用和角的正弦、二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式即得.（2）令，結(jié)合分離參數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】依題意，，由，得，則，解得，所以不等式的解集為.【小問2詳解】由，得，由，得