天津市某中學2023-2024學年高一年級下冊期末學情調(diào)查數(shù)學試卷（含答案解析）

天津市南開中學2023-2024學年高一下學期期末學情調(diào)查數(shù)學

試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

i.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（）

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.某校高三數(shù)學備課組老師的年齡（單位：歲）分別為：37,30,42,32,41,46,45,

48,35,53,則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）

A.45B.42C.43.5D.45.5

3.某校隨機抽取了400名學生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學生的成績都在50分至100分之

間，進行適當分組畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（）

A.直方圖中x的值為0.035

B.在被抽取的學生中，成績在區(qū)間［70,80）的學生數(shù)為30人

C.估計全校學生的平均成績?yōu)?4分

D.估計全校學生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為93分

4.設有直線〃?、〃和平面二、夕.下列四個命題中，正確的是

A.若加〃a,〃〃a，貝I」

B.若7〃ua,〃ua,小〃則a〃夕

試卷第1頁，共4頁

C.若。_1，，冽ua,貝［］冽_|_，

D.若夕，m上。,加2。，貝！J加〃a

5.高一年級某同學參加了學?！皵?shù)學社”“物理社”“話劇社”三個社團的選拔，該同學能否成

功進入這三個社團是相互獨立的.假設該同學能夠進入“數(shù)學社”“物理社”“話劇社”三個社團

的概率分別為加，“，y,該同學只進入兩個社團的概率為三，且三個社團都進不了的概率

為3，則加+"=()

12

7八1c8

A.—B.—C.--D.—

15121512

6.四棱錐P-/5CD的底面為正方形，為工底面/BCD,48=4,若該四棱錐的所有頂點

都在體積為326兀的同一球面上，則融的長為()

A.3B.4C.2A/2D.2退

7.在V/BC中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c.已知”=3,6=4,bcosA+acosB=2,

點。是V/8C的外心，^'Bd=xBA+yBC,貝ijx+y=()

61r23c23c29

A.—B.—C.—D.—

45364536

2冗__

8.已知VN8C中，,=彳，點。在邊8C上且/\ABD,△/￡>(7的面積分別是R,

S2,若40=加為定值，當NC+48取得最小值時，要的值為()

A.2mB.-42mC.2D.-^2

二、填空題

9.某高中學校進行問卷調(diào)查，用比例分配的分層隨機抽樣方法從該校三個年級中抽取36

人進行問卷調(diào)查，其中高一年級抽取了15人，高二年級抽取了12人，且高三年級共有學生

900人，則該高中的學生總數(shù)為人.

10.高二年級某班欲從4名候選人中選出2名擔任高一新生輔導員，其中甲被選中的概率

為.

11.已知向量工=(-1,5),S=(-3,4),則向量刃在［工方向上的投影向量的坐標為.

12.在四面體042c中，M是棱。/上靠近A的三等分點，N,尸分別是的中點，

^OA=a,OB=b,OC=c,^OP=xOA+yOB+zOC,貝”+y+z=.

試卷第2頁，共4頁

13.四棱錐尸-/BCD中，底面為平行四邊形，￡為刃的中點，AEBC所在平面截四

棱錐得到兩個幾何體，其中較小的幾何體與較大的幾何體的體積比為.

14.如圖，在四邊形A8CD中，^5=60°,AB=2,BC=6,且4D-2C，石.方=一2貝I

|UULU|_____

實數(shù)彳的值為,若M,N是線段8C上的動點，且阿=1,則亞?麗的最小

三、解答題

15.如圖，四棱錐尸-/BCD中，四邊形/BCD是矩形，F(xiàn)4_L平面/BCD,AELPB于E,

4F工PD于F,設平面/￡尸交尸C于G,求證：AG1PC.

16.如圖，在四棱柱/8?！?gt;-4片弓〃中，側(cè)棱4/_L平面/BCD,AB!/CD,ABLAD,

AD=CD=1,AA}=AB=2,E為棱的中點，M為棱CE的中點.

試卷第3頁，共4頁

(1)證明：BC1CXE-

(2)求異面直線BM與AD所成角的余弦值；

⑶求點G到平面BMBX的距離.

17.已知a,b,c分別是V/3C的內(nèi)角/,B,C的對邊，且。cos..

b2-cosB

⑴求q.

c

(2)若cosC=；,V48c的面積為正，求V/8C的周長.

⑶在(2)的條件下，求cos(23+.)的值.

18.如圖①所示，矩形N3CA中，AD=\,48=2,點M是邊CD的中點，將△/￡而沿

翻折到△口",連接心，PC,得到圖②的四棱錐尸-/2CA/,N為PB中點、.

⑴求證：NC//平面尸/M；

(2)若平面PAM1平面ABCD,求直線BC與平面PMB所成角的大小；

7T

(3)設尸的大小為仇若。€(。，萬］,求平面和平面尸3c夾角余弦值的最小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678

答案DCCDDBAD

1.D

【分析】對復數(shù)進行化簡，根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可.

……3-5i(3-5i)(l+i)8-2i

【詳解】:。二母高一一=4-i,

2

,對應的點為(4,-1),在第四象限,

故選：D.

2.C

【分析】把10名老師的年齡從小到大排列，再利用第60百分位數(shù)的定義求解即得.

【詳解】10名老師的年齡從小到大排列為：30,32,35,37,41,42,45,46,48,53,

42+45

由10x60%=6,所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為——=43.5.

2

故選：C

3.C

【分析】由頻率分布直方圖求得x值判斷A；由頻率求得學生數(shù)判斷B；由頻率頻率分布直

方圖估計平均數(shù)判斷C；由頻率分布直方圖求出百分位數(shù)判斷D.

【詳解】對于A,由頻率分布直方圖得10(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=l,解得x=0.03,

A錯誤；

對于B,成績在區(qū)間［70,80)的學生數(shù)為10x0.015x400=60(人)，B錯誤；

對于C,平均成績?yōu)?5x0.05+65x0.1+75x0.15+85x0.3+95x0.4=84(分)，C正確;

對于D,全校學生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為90+蘭*10=95(分)，D錯誤.

0.4

故選：C

4.D

【詳解】當兩條直線同時與一個平面平行時，兩條直線之間的關系不能確定，故A不正確,

B選項再加上兩條直線相交的條件，可以判斷面與面平行，故B不正確，

C選項再加上m垂直于兩個平面的交線，得到線面垂直，故C不正確，

D選項中由aJ_p,m±p,mUa,可得m〃a,故是正確命題，

故選D

答案第1頁，共11頁

5.D

【分析】利用相互獨立事件的概率乘法公式，列出關于冽，〃的方程組，求解即可.

【詳解】由該同學可以進入兩個社團的概率為三，得,""?（1-3+!制1-〃）+%（1-加）=工，

3666636

由三個社團都進不了的概率為（，得（1-冽）（1-〃）（1-5=\,

^5

m+n+3mn=—

整理得:，解得加+〃=工.

112

m+n—mn=—

I2

故選：D

6.B

【分析】根據(jù)給定條件，把四棱錐尸-/BCD補形成長方體，利用四棱錐與長方體有相同的

外接球求解即得.

【詳解】四棱錐P-4BC。的底面為正方形，〃，底面488,

則以AP,AB,AD為共點的三條棱的長方體與四棱錐P-ABCD有相同的外接球，

該外接球的直徑2R=J尸++=&T+32,

由球體積為32省兀，得9*=326兀，解得R=2百,

因此Jp42+32=4G，所以尸4=4.

故選：B

7.A

【分析】利用余弦定理求出邊。，利用數(shù)量積運算律，結(jié)合圓的性質(zhì)列出方程組求解即得.

【詳解】在V48c中，由余弦定理及6cosN+acosB=2,得力"^———+a-a+<?———=2,

2bc2ac

則c=2,由詼一就=而，得（茄一前了=凌2,^c2+a2-2BA-BC^b2>

于是B4BC=——,取NB中點。，則。。_LA8,BO-BA=-\BA^=2,同理

2

----1--,9

BO-BC=-\BC|2=-,

---2—?—?3

BOBA^xBA+yBA-BC=4r----y=x=

2

l^^d=xBA+yBC,貝小—_2，解得＜

BOBC^xBA-BC+yBC=---x+=—y=

答案第2頁，共11頁

所以f嚕

故選：A

8.D

【分析】由凡"0=5"80+5/8可得2+1="，利用基本不等式“1”的妙用，求出取最小

bcm

值的條件即可.

OjrTT

【詳解】令V/8C內(nèi)角48,C所對邊為。，4c,/=—,AD，AB交BC于D,則NC4)=g

3o

11TV12兀

由S.MC=S"BD+S/S及三角形面積公式得：-cm+-bmsm-=-bcsin—,

22623

整理得2+Lg于是Hc=(6+c)吟(>3=*(3+1+2)

bcmyj3bcyJ3be

2是.(2容萬+3)=區(qū)l*2,當且僅當爭"，即g岳時，6+c能取到最小值，此

<3\bcV3bc

1

-cmc

時c邑二一=多=收

S?—bmsin—

26

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：由幾何圖形的特征，結(jié)合三角形面積公式建立仇。的關系等式是解題

的關鍵.

9.3600

【分析】根據(jù)分層抽樣的抽樣比即可求解.

【詳解】由題意可知：高三年級抽取了36-15-12=9人,

由于高三共有900人，所以抽樣比為擊，

所以高中學生總數(shù)為36x100=3600,

故答案為：3600

10.-/0.5

2

答案第3頁，共11頁

【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型求解即得.

【詳解】除甲外的另3名候選人記為48,C,從4名候選人中選出2名的不同結(jié)果為:

/甲，8甲，C甲，AB,AC,BC,共6個，甲被選中的結(jié)果有3個，

31

所以甲被選中的概率為二=不

62

故答案為：—

2

【分析】利用向量的坐標運算，結(jié)合投影向量的定義求解即得.

【詳解】由2=(-1,5),否=(一3,4),得"—3=(2,1),

貝—加=石，=(Z—B)=—3x2+4xl=—2,

所以向量B在一一6方向上的投影向h量-fa產(chǎn)-h尊']伍--6-)=-2：(2,1)=(4-2。.

\a-b\555

42

故答案為：(-y,--)

12.9

6

【分析】借助空間向量的線性運算及基本定理計算即可得.

【詳解】方二:(而+而)=?[評+?俾+無)二"+^5+^^,

41115

故x+y+z=-+—+—=—.

3446

故答案為：--.

6

3

13.-/0.6

【分析】作出平面防。截四棱錐尸-45C。所得截面，連接瓦)，借助比例法求出下部幾何

體的體積即可得解.

【詳解】由四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，得8C//40,而4。u平面PAD,

答案第4頁，共11頁

3C<Z平面尸4D,則8c〃平面尸/D,令平面班Cc平面24。=/,則〃/2C//4D,

又￡為刃的中點，貝I"與尸D交點于尸，且尸是PD的中點，連接ED,

設四棱錐P-/8C。的體積為憶，則下面部分幾何體的體積為唳TBCO+L-OM，

=

顯然^ETBCD=三廠，^C-DEFT^C-PDE=~7^C-PAD~~7^P-ADC=g"，

2Z44o

553

貝1J腺TBCO+ZWM=三%，于是上面部分幾何體的體積為憶3〉，

OOO

所以較小的幾何體與較大的幾何體的體積比為3:

故答案為：!3

【分析】求出48/。=120。，由瓦?君=一2利用數(shù)量積公式求解X的值即可；建立坐標系,

設M（九0）,則N（加+1,0）,利用數(shù)量積的坐標表示，結(jié)合二次函數(shù)配方法求解即可.

.、，，■一，LAL1UInum一一,UUlflUULU

【詳解】因為4D=/L8C，所以4D//3C，

因為/3=60。，所以/&10=120。，

所以石.存=［石'N^cos120°

=一；213cH/,=_g4x6x2=-2=>2=；；

建立如圖所示的坐標系苫。了，

因為NB=60°,AB=2,BC=6,

可得Z（0,由）。（2,6）

,UULUI

設M（私0）,因為pw|=l,則N（m+l,0）,

所以而=9忙行），而=（m-1,一百），

AM-DN=m（m-l）+^V3j=m1—m+3={m—^\+^->,

答案第5頁，共11頁

當吧;時等號成立，

所以而?而的最小值為:■,

【點睛】平面向量數(shù)量積的計算問題，往往有兩種形式,一是利用數(shù)量積的定義式，二是利

用數(shù)量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，可起到?/p>

繁為簡的妙用.

15.證明見解析

【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定定理得到PC,AFLPC,然后再利用線面垂直

的判定定理和性質(zhì)證明即可.

【詳解】因為P/工平面48C。，BCu平面/BCD,所以8cLp/,

因為PA^AB=A,平面尸所以3CL平面P43,

因為/Eu平面P48,所以4E_LBC,

因為PBcBC=B,P3,BCu平面PBC,所以平面PBC,

因為尸Cu平面尸5C,所以/E_LPC,

同理可得/尸_LPC,

因為NEc4F=/,/E,/戶u平面4EF,所以尸C_L平面4EF,

因為NGu平面NE尸，所以/G_LPC.

16.(1)證明見解析;

⑵*

⑶平.

【分析】(1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出相關點的坐標，利用空間位置關系的向量證

明推理即得.

答案第6頁，共11頁

(2)求出異面直線與40的方向向量，由向量的夾角公式即可得解.

(3)求出平面的法向量，再利用點到平面的距離公式求解即得.

【詳解】(1)由N4，底面4BCZ),4D,48u平面48CD,得工4D,工

而即直線4D,叫,48兩兩垂直，

以點A為坐標原點，直線40,/4,48分別為x，%z軸建立空間直角坐標系，如圖，

則A(0,0,0),5(0,0,2),D(l,0,0),C(1,0,1),G(1,2,1),B,(0,2,2),￡(0,1,

鬲=(1,1,1),SC=(l,0,-l),

顯然就?西=1x1-1x1=0,即反;_Lk，所以5C_LC]E.

BMADVn

\BM\\AD

所以異面直線BM與AD所成角的余弦值為YE.

——>113—>——?

(3)W==(0,2,0),=(—1,0,1),

心函=2y=0

設平面5MBi的法向量〃=(x,y,z),貝卜一——?113，令z=l,得〃=(3,0,1),

n?BM=—xHy——z=0

222

所以點￡到平面BMBi的距離d==二=理

17.⑴萬

(2)10

答案第7頁，共11頁

—7A/3—VL5

「16

【分析】（1）由正弦定理和兩角和的正弦展開式可求；

（2）由三角形面積公式和同角三角函數(shù)關系求出sinC=Y6和劭=8,再由余弦定理解方

4

程組可得三角形邊長，進而求出周長；

（3）由余弦展開式和二倍角公式求出結(jié)果即可.

【詳解】（1）由￡=c°s,得至I」2a-acos2=2cos/,由正弦定理和兩角和的正弦展開式

b2-cosn

可得2sin/=sin4cos8+sinBcos力=sin(4+8)=sinC,

所以q=sin力_1

csinC2

(2)-S^ABC=-^sinC=V15,且cosC='，

24

由5m2。+852。=1,。>0,解得sinC=走,所以仍=8,

4

CosC_]_“2+/_/

又由余弦地理和上問c=2a可得<0°s42ab=>^2-3?2=4,

c=2a

將入目代入上式可得(3a2+⑹(a?_4)=0n“=2,

所以，b=c=4,所以V45C的周長為10.

vcos^25+^-j

=cos25cos--sin25sin—

⑶廠66①，

<31.

——cos2B----sino2DB

22

=V3cos2B-sin5cosB

2

由上問可知，等腰VZ5C,b=c=4,Q=2,

所以cos5=cosC=1,sin5=,

44

代入①可得—76一巫,

16

所以cos(2B+^]=-75VB

16

18.（1）證明見解析:

答案第8頁，共11頁

⑵不

⑶*

【分析】(1)取尸月中點。，借助三角形中位線性質(zhì)，結(jié)合平行公理，利用線面平行的判定

推理即得.

(2)借助面面垂直的性質(zhì)，以河為原點建立空間直角坐標系，求出平面尸兒必的法向量，

利用線面角的向量求法求出大小.

(3)連接。G,過點。作。z,平面/BCD,以。為坐標原點建立空間直角坐標系，結(jié)合空

間向量的坐標運算，以及法向量，列出方程，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)取PN中點。，連接NQ,M0,由N為網(wǎng)中點，得NQUAB,NQ=：AB,

依題意，MC/!AB,MC=^AB,%NQIIMC,NQ=MC,

于是四邊形CM0N是平行四邊形，CN//MQ,而MQ1平面尸NCa平面尸4W,

所以NC〃平面

(2)取4W中點G,連接尸G,由尸加=24=1,得尸G”AM,而平面P4W_L平面/8CZ),

平面P/Mc平面/8CD=4W,尸Gu平面,則尸G_L平面48CD,

過/作Mz//PG,貝UAfeJ_平面48C。，又u平面/BCD,于是Afe_LM4,Afc_LMS,

在矩形48CZ）中，MA=MB=C，+MB2=A=AB\則也_L奶，

以點”為原點，直線M4,Affi,分別為xj,z軸建立空間直角坐標系,

則M（0,0,0）,2（0,通,0）,C4[⑼,尸整，吟>

答案第9頁，共11頁

礪=（0?=（?0,當友二（一爭一*）,

m-MB=42b=0

設平面尸的法向量為菊=（應仇c）,貝卜—?V241，令。=1，得機=（1,O,T），

m.MP=—a+—c=Q

.22

_____V2

設直線?2所成的角為“…丘意式

所以直線3C與平面5所成角的大小為

6

（3）連接。G,由。4得。G_L4W,ffi]PG'AM,則NPG。為尸一一。的平

面角，BPZPGD=0,

過點。作Dz,平面/BCD,以。為坐標原點，直線。4OC,Oz分別為xj,z軸建立空間直

則4（1,0,0）,M（0,1,0）,C（0,2,0）,

顯然平面尸GO,nMu平面/BCD,則平面PGDL平面48cD,

在平面PGD內(nèi)過尸作尸〃，OG于點H,則PH1平面ABCM,

設尸（Xo，%,zo）,jTuPG=—,則P〃="sine，GH=—cos0,￡>//=—（1-cos

222